成都市2020级高中毕业班摸底测试

成都市2020级高中毕业班摸底测试

数学（文科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.设集合4={/£1\k1<工42},8={目可<1},则AcB二（）

A.{0,1}B.{x|-l<x<l}C.{0,1,2}D.{x[0<x<l）

1-i

2.复数z=——+2i（i为虚数单位）在复平而内对应的点位于（：

i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.若实数x,），满足约束条件,x+），21,则z=2x+），的最大值为（）

2x-y<2.

3

A.-B.2C.4D.6

2

i（iY，

4.设a=In-,b=—,C=log,3,则a,b,c的大小关系为（）

3

A.b<a<cB.a<b<cC.a<c<hD.c<h<a

5.从某小区随机抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的月用电量都在5O~3OOkw-h之间，适当

分组（每组为左闭右开区间）后绘制成如图所示的频率分布直方图.则直方图中x的值以及在被调查的用户中

月用电量落在区间[100,250）内的户数分别为（）

x2+a,x<0.//

r若/（/（一1））=4,且。>一1，则。=（）

{2,x0.

A.--B.0C.1D.2

2

7.已知焦距为4的双曲线夕―强■=1（。>0力>0）的一条渐近线与直线不一道），=0垂直，则该双曲线的方

程为（）

A.--y2=1B.--^-=1C.X2--=1D.--^-=1

8.若函数/（力=^一3心：+1在区间（1,+8）上单调递增，则实数上的取值范围是（）

A.B.C,[-1,+oc)D.[l,+co)

9.赵爽是我国古代著名数学之家，他用于证明勾股定理的“赵爽瑟图”是由四个全等的直角三角形和一个小

四边形44GA构成，如图所示.已知直角三角形的两条直角边长分别为3,4,若在“赵爽弦图”中随机取

一点，则该点取自四边形A4G。区域内的概率为（）

91,、164

A.—B.—C.—D.—

25252525

10.若数据9,〃?，6,5的平均数为7,则数据17,2m-\,11,9的平均数和方差分别为（）

A.13,5B.14,5C.13,10D.14,10

11.如图，已知正方体—的棱长为2,M,N分别为CD的中点.有下列结论:

①三极锥A-MND、在平面RDCG上的正投影图为等腰三角形：

②直线〃平面AQC；

③在棱BC上存在一点E,使得平面AEB11平面MNB；

④若尸为棱人8的中点，且三棱锥的各顶点均在同一求面匕则该球的体积为遍乃.

其中正确结论的个数是（）

A.0B,1C.2D.3

12.设函数八力=（工一1乂-一6）,g（x）=lnx-以，其中CYR.若对任意的正实数为，x2,不等式

/（芭）之且（七）恒成立，则a的最小值为（）

A.0B.1C.-D.e

e

第II卷（非选择题，共90分）

填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.

13.已知向量cib=（/?,4）,其中〃?，〃ER.若b=2a,贝的值为.

记函数/（%）的导函数是r（x）.若/（力="1）/一%则r（i）的值为.

14.

,1

x=1+弓八

厂2（/为参数）与抛物线C：y2=4x相交于A,8两点，点加（1,0）.则|A例+|MB|的

15.设直线/：＜

\/3,

值为.

16.已知椭圆+?=的左，右焦点分别为人,以坐标原点O为圆心，线段"人为

直径的圆与椭圆。在第一象限相交于点儿若|4用W2|A可，则椭圆C的离心率的取值范围为.

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）设函数/（i）=-gd+x2+（a—l）x—l,其中awR.若函数〃力的图象在x=0

处的切线与x轴平行.

（I）求a的值；

（II）求函数/（X）的单调区间.

18.（本小题满分12分）某建设行政主管部门对辖区内A,6,C三类工程共120个项目进行验收评估，规定

评估分数在85分及其以上的项目被确定为“险收合格”项目，未达到85分的项目被确定为“有待整改”项目.现

通过分层抽样的方法获得了三类工程的12个项目，其评估分数如下：

4类：88,90,86,87,79；B类:85,82,91,74,92；C类：84,90.

（I）试估算A,B,C这三类工程中每类工程项目的个数：

（H）在选取的样本中，从8类的5个工程项目中随机选取2个项目进行深度调研，求选出的2个项目中既

有“验收合格”项目，乂有“有待整改”项目的概率.

19.（本小题满分12分）如图，在三棱锥P-4BC中，己知B4_L平面ABC,ZBAC=90°,D为PC上一

点，且PC=3PD.

（I）若£为4c的中点，求三棱锥P—A8c与三棱锥8-A£。的体枳之比：

（11）若B4=2,AC=2叵,证明：PC_L平面AB。.

20.（本小题满分12分）已知椭圆E:'+点■=的右焦点为尸2,上顶点为从。为坐标原点,

/0月鸟=30。，点（1弓）在椭圆七上.

（I）求椭圆E的方程；

（II）设经过点入且斜率不为0的直线/与椭圆E相交于A,8两点，点?（一2,0）,（2（2,0）.若M,N分别

S

为直线AP,3Q与），轴的交点，记△MPQ,△NPQ的面积分别为S~/Q,S：Q,求上侬的值.

$4NPQ

21.（本小题满分12分）已知函数/（广）=3^2+COSX.

（【）记函数”X）的导函数是r（x）.证明：当XNO时,r（x）>o；

（H）设函数g（x）:s#㈠2’2,尸（x）=c/（x）+g（x）,其中a<0.若0为函数尸（x）存在非

负的极小值，求a的取值范围.

22.（本小题满分10分）选修4一4：坐标系与参数方程

71

如图，在极坐标系ox中，圆。的半径为2,半径均为1的两个半网弧c「c?所在圆的圆心分别为旦h-

\2）

o21.—,M是半圆弧G上的一个动点.

（I）当NMOQ=2时，求点M的极坐标：

6

（II）以。为坐标原点，极轴Qx为x轴正半轴，OQ的方向为），轴正方向建立平面直角坐标系.若点N为

线段〃。2的中点，求点N的轨迹方程.

成都市2020级高中毕业班摸底测试

数学（文科）参考答案及评分意见

第I卷（选择题，共60分）

一、选择题：（每小题5分，共60分）

1.A：2.B：3.D：4.B：5.A；6.C；7.C：8.B：9.B：10.C：11.D：12.C.

第II卷（非选择题，共90分）

二、填空题：（每小题5分，共20分）

13.4；14.—1；15.—16.

3

三、解答题：（共70分）

17.解：（I）r（x）=—丁+21+4—1.•.•函数/（X）的图象在_¥=（）处的切线与X轴平行，

.•・7（0）=々_1=0,解得a=i.jlEiitf（0）=一1#0,满足题意.Aa=l.

（II）由（I）得/'（汇）=一9+2X二一式（工一2）.令/'（x）=0,解得x=0或x=2.

当x变化时，ff（x）,/（无）的变化情况如下表：

02

00

单调递减、单调递增/单调递减、

...函数“X）的单调递增区间为（0,2）：单调递减区间为（3c,0）,（2,-KO）.

18.解：（【）根据分层抽样的定义，有A类工程有120x9=50；8类工程有120x2二50：

1212

2

C类工程有120x—=20.「.A,B,C三类工程项目的个数可能是50,50,20.

12

<11）易知在3类工程抽样的这5个项目中，

被确定为“验收合格”的项目有3个，所得评估分数分别为85,91,92：

被确定为''有待整改”的项目有2个，所得评估分数分别为82,74.

记选H1的2个项目中既有“验收合格”项目，又有“有待整改”项目为事件M.

在B类工程的5个项目中随机抽取2个项目的评估分数数据组合有{85,91},{85,92}，{91,92},{85,82}，

{85,74},{91,82),{91,74},{92,82},{92,74},{82,74),共计10种结果.

抽取的2个项目中既有“验收合格”项目，又有“有待整改”项目的评估分数数据组合有{85,82},{85,74},

{91,82},{91,74},{92,82},{92,74},共计6种结果.

故所求概率为P（M）=^=|

19.解：（I）由题意有匕78c为4c的中点，・・・S△八昭二^S》8「

J4

2

乂PC=3尸。，・••点。到平面ABC的比离为

3

.I12I

=X

,,^R-AED=Vf)-ABETT^^ARC^^=-SAABCPA.

1v.PA

...但”=^----------=3.・•・三棱锥P-A8C与三极锥8—AEO的体枳之比为3：1.

AEDS

LL9△,,/lRotCPA

(H)•・•PA_L平面A8C,A8u平面ABC,APA1AB.

VZBAC=90°,：.AC±AB.

•・・A4cAC=A,PA,4。匚平面布。，.・.43_1平面％心

又夕Cu平面以C,/.PC±AB.

在RtZ\E4C中，由尸A=2,AC=2后,得PC=,2?+(2&了=26.

2x/3

又PC=3PD,得尸O=，PC=拽.A—=^-=—.

33PA23

DAo/QpnDA

V—=-5==—,乂ZA尸D=NC孙，•••△mAs4PAC.

PC2G3PAPC

AZPDA=90°,即PC_L4D.

又AZ)C/W=A,AZ),A8u平面ABD,・•.PC_L平面ABO.

20.解：(I)由NOH鸟=3()。，得〃=J5c(。为半焦距)，

•.•点fl,1)在椭圆E上，则1+匚=].

I2)a-4bZ

又/=〃2+/,解得〃=2,b=6，c=l.

••・椭圆E的方程为《+二=1.

43

（H）由（I）知月（1,0）.设直线心九二阳+1,4（%,y），8（毛,.乃）.

x=my+\,

由，f>2消去心得(3〃y+4b2+6⑸，-9=0.显然4=144(m2+i)>o.

143

-6m

则>i+%=E,）叫=茄石...冲%=

由P（—2,0）,2（2,0）,得直线4尸的斜率K二二一,直线80的斜率为k,二」~

x.+2X2-2

乂同=符网=符吁阿=2，

.幽=闻.包丝二如胆竺!=幽=应

•・阿飞「•S4NPQ；|P°HON|同

13

X十

2-2-

..K_y（♦-2）y（〃明-1）〃%％-y_.V2

飞飞+2)%一(冲+3)%，叫为+3%-孤+幻+3:5+第一3

.S4MPQ_1

••------=一•

°q4NPQJ3

21.解：(I)/'(x)=x-sinx.令〃(_¥)=/'(_¥),则//(x)=l-cosx.

•・・cosx«Tl],・・・”(x)“恒成立,即r(x)在R上为增函数.

・20,・・・r(x)2r(O)=O-sinO=O.，八力“.

(II)Fz(x)=^'(x)+f(x)=«(x-sinx)+=(x-sinx)«+.

由（］）知r（x）在R上为增函数.

.••当工<0时，有/1X)</，(())=(),即x-sinx<0：

当x〉0时，有/'(x)>/'(O)=O,即x-sinx>().

(?A2

当。<0时，由/'(x)=0,解得百=0,占=［一工〉且)，=〃+/在R上单调递减.

①当一2<〃<0时，x2>0.

二•当_r40时，有F'(x)vO：当OVTVG时,有产'(1)>0：当时.有尸'(x)vO,

.••函数*X)在(YO,0)上为减函数，在(0,玉)上为增函数，在(天,网上为减函数.

.・.满足0为函数F(x)的极小值点；

②当〃=一2时，£=0.

.•・xwR时，有工0恒成立，故尸(工)在R上为减函数.

函数”(X)不存在极小值点，不符合题意；

③当4V—2时，々<0.

•・•当了<42时，有当'(%)<0；当/<工<0时，有当'(x)>0；当x>0时，有