陕西省安康市2025届高三上学期开学学情摸底考数学试卷（含答案）

陕西省安康市2025届高三上学期开学学情摸底考数学试卷本卷满分150分，考试时间120分钟。注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填（涂）写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答在试卷上无效。3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；不准使用铅笔和涂改液。4.考试结束后，将试卷、答题卡和草稿纸一并交回。一、选择题:本题共8小题，每小题5分;共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设集合,,若,则()A. B.0 C.2 D.2．已知复数z满足,则()A. B. C. D.3．已知平面向量，．若向量与共线，则实数m的值为()A.3 B. C. D.4．已知为奇函数,则曲线在点处的切线方程为()A. B. C. D.5．已知,则()A. B. C. D.6．已知直线l经过点且斜率大于0,若圆的圆心与直线l上一动点之间距离的最小值为,则直线l的斜率为(

)A. B. C. D.7．风筝的发明是中国古代劳动人民智慧的结晶,距今已有2000多年的历史.风筝多为轴对称图形,如图.在平面几何中,我们把一条对角线所在直线为对称轴的四边形叫做筝形.在筝形中,对角线所在直线为对称轴,是边长为2的等边三角形,是等腰直角三角形.将该筝形沿对角线折叠,使得,形成四面体,则四面体外接球的表面积为(

)A. B. C. D.8．在平面直角坐标系中,A为双曲线的左顶点,M为双曲线C上位于第一象限内的一点,点M关于y轴对称的点为N,记,,若,则双曲线C的离心率为(

)A.2 B. C. D.二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同的编号分别为1，2，3，4的4个小球，从中任意摸出两个球.设事件“摸出的两个球的编号之和小于5”，事件“摸出的两个球的编号都大于2”，事件“摸出的两个球中有编号为3的球”，则()A.事件与事件是互斥事件B.事件与事件是对立事件C.事件与事件是相互独立事件D.事件与事件是互斥事件10．在平面直角坐标系中,一动点从点开始,以的角速度逆时针绕坐标原点O做匀速圆周运动,后到达点M的位置.设,记,则()A.B.当时,取得最小值C.点是曲线的一个对称中心D.当时,的单调递增区间为11．已知函数及其导函数的定义域均为R,且,当时,,且,则下列说法正确的是()A.为偶函数 B.C.在R上单调递增 D.三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。12．的展开式中的系数为__________________.（用数字作答）13．已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,,的面积为,则_____________.14．已知O为坐标原点,椭圆,圆,圆,点,射线交圆,椭圆C,圆分别于点R,S,T,若圆与圆围成的图形的面积大于圆的面积,则的取值范围是________________.四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）某农场收获的苹果按A，B，C三个苹果等级进行装箱，已知苹果的箱数非常多，且A，B，C三个等级苹果的箱数之比为(1)现从这批苹果中随机选出3箱，若选到任何一箱苹果是等可能的，求至少选到2箱A级苹果的概率；(2)若用分层随机抽样的方法从该农场收获的A，B，C三个等级苹果中选取10箱苹果，假设某游客要从这10箱苹果中随机购买3箱，记购买的A级苹果有X箱，求X的分布列与数学期望.16．（15分）已知等比数列的各项均为正数,且,.(1)求的通项公式;(2)令,记,求.17．（15分）如图,在四棱锥中,底面为矩形,M在棱上且,,,平面,在棱上存在一点Q满足平面.(1)证明：平面平面;(2)求平面与平面夹角的余弦值.18．（17分）已知动圆的圆心在x轴上,且该动圆经过点,,.(1)求点的轨迹C的方程;(2)设过点的直线l交轨迹C于A,B两点,若,G为轨迹C上位于点A,B之间的一点,点G关于x轴的对称点为点Q,过点B作,交于点M,求的最大值.19．（17分）定理：如果函数在闭区间上的图象是连续不断的曲线，在开区间内每一点存在导数，且，那么在区间内至少存在一点c，使得，这是以法国数学家米歇尔•罗尔的名字命名的一个重要定理，称之为罗尔定理，其在数学和物理上有着广泛的应用.（1）设，记的导数为，试用上述定理，说明方程根的个数，并指出它们所在的区间；（2）如果在闭区间上的图象是连续不断的曲线，且在开区间内每一点存在导数，记的导数为，试用上述定理证明：在开区间内至少存在一点c，使得；（3）利用（2）中的结论，证明：当时，（e为自然对数的底数）.参考答案1．答案：C2．答案：A3．答案：B4．答案：D5．答案：D6．答案：B7．答案：C8．答案：A9．答案：ACD10．答案：AC11．答案：BCD12．答案：13．答案：或14．答案：15．（1）设事件“至少选到2箱A级苹果”，由题意知选到1箱A级苹果的概率为，选到1箱非A级苹果的概率为，所以，故至少选到2箱A级苹果的概率为.（2）因为用分层随机抽样的方法从该农场收获的A，B，C三个等级苹果中选取10箱苹果，所以A级苹果有6箱，级苹果共有4箱，随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,则，，，所以X的分布列为X0123P.16．(1)设正项等比数列的公比为,由,,得,,解得,,所以的通项公式为.(2)由(1)知,,则,于是,两式相减得,所以.17．(1)在四棱锥中,底面为矩形,则,由平面,平面,得,而,,平面,则平面,又平面,所以平面平面.(2)依题意,直线,,两两垂直,以点D为原点,直线,,分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则,,,,由,得,令,,则有,即,,,,由平面,得存在实数p,q使,即,解得,,,,,设平面的法向量,则,令,,设平面的法向量,则,令,,所以平面与平面夹角的余弦值为.18．(1)因为动圆的圆心在x轴上,所以设圆心坐标为,半径为r,由题意可得,即,又圆心是点,的中点,由中点坐标公式可得,代入上式可得,所以点的轨迹C的方程为;(2)由题意知在抛物线C上,则,,即,由于过点的直线l交轨迹C于A,B两点,则直线l的斜率为,故l的方程为,联立,得,解得或,则,则B关于x轴的对称点为,由题意知直线AQ的斜率存在,设为k,直线的斜率为,则,设直线,,因为点Q在抛物线C上,故联立,得,得,则,,又,故直线BM的方程为,联立,解得,因为,故当时,即时,取到最大值,最大值为.19．（1）注意到，则由罗尔定理，在内存在，使；在内存在，