上海华二附中2025-2026学年高一下学期数学期末试卷（2026.6）（含答案）

华师大二附中2025-2026学年第二学期高一年级数学期末2026.6一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）1．若是第二象限角，则是第______象限角．2．函数的频率是______．3．已知复数，则______．4．已知，，则在方向上的数量投影为______．5．若复数z满足，且，则______．6．在等差数列中，，则______．7．若，则函数的值域为______．8．已知，，，当向量与夹角为锐角时，实数的取值范围为______．9．函数的最小正周期为______．10．设数列的前n项和为，对于任意正整数n，在定义域内有唯一的零点，则______．11．若，，则的取值范围为______．12．对于任意给定的实数，…，，令表示上述个实数中不同数值的数量，例如．若定义“自洽数列”为：，，则所有“自洽数列”的个数为______．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）13．复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限14．设为无穷等比数列，则“”是“为严格单调递减数列”的（）条件．A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要15．已知非零向量，，满足：，且不等式恒成立，则实数的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．416．对于任意实数集，分别记，．设S是由6个正整数构成的集合．命题1：不存在正整数构成的有限集合T，其中，使得；命题2：不存在正整数构成的有限集合T，其中，使得．则下面说法正确的是（）A．命题1正确，命题2正确 B．命题1正确，命题2错误C．命题1错误，命题2正确 D．命题1错误，命题2错误三、解答题（本大题共有4题，满分78分）17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在△ABC中，已知．（1）求C；（2）若，△ABC的面积为，求△ABC的周长．18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知复数，．（其中，i为虚数单位，）（1）若为纯虚数，求m的值；（2）若是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值．19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知数列是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知，M是BC的中点（1）若，求向量与向量的夹角的余弦值；（2）若O是线段AM上任意一点，且，求的最小值；（3）若点P是∠BAC内一点，且，，，求的最小值．21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）1946年，数学家Erdös提出了著名的单位距离问题：在平面上放置个点，最多能有多少点对的距离恰好为1？该问题至今未被完全解决，但人们发现了一类基于正三角形网格的经典构造．正三角形网格是用边长为1的等边三角形无重叠、无缝隙地铺满整个平面，所有三角形的顶点称为格点．在该网格中有如下定义：（ⅰ）两个格点称为相邻的，如果连接这两点所成线段长度为1；（ⅱ）从当前格点移动到其相邻格点的过程称为走一步；（ⅲ）从一个格点A到另一个格点B的网格距离，定义为从A出发，每次走一步到达相邻格点，最终抵达B所需的最少步数．现从上述网格中取定一个格点，记为O．对于任意正整数k，令为到O的网格距离不超过k的所有格点构成的集合，其中的元素个数为，为中距离为1的不同点对的个数（两个点只算一对，不区分顺序）．（1）计算和的值；（2）分别求数列和数列的通项公式；（3）从网格中任取n个格点（），记，其中为这n个格点之间距离恰好为1的点对个数．求的最小值．

参考答案一、填空题1.一;2.;3.;4.;5.;6.;7.;8.;9.;10.；11.12..11．若，，则的取值范围为______．【答案】【解析】如图所示，以为邻边作平行四边形，且，，设，∴在中，由余弦定理可得实数

当时，与的夹角∴与的夹角取值范围为．故答案为：．12．对于任意给定的实数，…，，令表示上述个实数中不同数值的数量，例如．若定义“自洽数列”为：，，则所有“自洽数列”的个数为______．【答案】【解析】显然，数列满足如下条件：①数列中的所有项的值均是中的整数；②当数列中的某一项是时，其后所有项均为.由条件③可以知道，当数列中有一项为时，则数列所有项都为，符合题意；当数列中没有时，设数列中的最大项为，则其后的个数中，只能取遍的个数，与该项为矛盾，故满足条件的数列仅有个.二、选择题13.C14.A15.D16.C三、解答题17.（1）（2）18.（1）（2）19.（1）（2）20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知，M是BC的中点（1）若，求向量与向量的夹角的余弦值；（2）若O是线段AM上任意一点，且，求的最小值；（3）若点P是∠BAC内一点，且，，，求的最小值．【答案】（1）（2）（3）6【解析】因为，所以，以为累点，所在直或为点，所在直或为轴建立平面直角坐标系（图略）.

（1），分，所以．

设向量与向量的夹角为，所以

（2）因为，所以.设，

所以当时，取量最小值，为.

（3）设，而，因为，所以，所以当且仅当即时，取得最小值21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）1946年，数学家Erdös提出了著名的单位距离问题：在平面上放置个点，最多能有多少点对的距离恰好为1？该问题至今未被完全解决，但人们发现了一类基于正三角形网格的经典构造．正三角形网格是用边长为1的等边三角形无重叠、无缝隙地铺满整个平面，所有三角形的顶点称为格点．在该网格中有如下定义：（ⅰ）两个格点称为相邻的，如果连接这两点所成线段长度为1；（ⅱ）从当前格点移动到其相邻格点的过程称为走一步；（ⅲ）从一个格点A到另一个格点B的网格距离，定义为从A出发，每次走一步到达相邻格点，最终抵达B所需的最少步数．现从上述网格中取定一个格点，记为O．对于任意正整数k，令为到O的网格距离不超过的所有格点构成的集合，其中的元素个数为，为中距离为1的不同点对的个数（两个点只算一对，不区分顺序）．（1）计算和的值；（2）分别求数列和数列的通项公式；（3）从网格中任取n个格点（），记，其中为这n个格点之间距离恰好为1的点对个数．求的最小值．21．【答案】（1）（2）（3）【解析】⑴正三角形网格中，每个格点周围有个相邻格点，且这个格点形成以该格点为中心的正六边形，故⑵将⑴中的正六边形进行扩张，则第层的范围形成一个边长为的正六边形，该正六边形上的所有格点均符合条件，故为第层范围内所有边长为的线段数，前层单圈距离为的点对个数与点数相同，第层和第层之间边长为的线段数条，故即⑶易有，当且仅