《微积分》（第3版 上下册） 教案全套 刘强 第1-9章 函数、极限与连续- 微分方程

微积分I教案授课题目第一章函数：内容概述授课时长45+45分钟课程性质R公共基础课□专业必修课□专业选修课□其它教学模式线上线下混合式线上课程学习通道超星学习通系统的SPOC课程课程内容1.1函数1.2函数的基本特性1.3反函数与复合函数1.4初等函数1.5极坐标教学目标1.知识目标：使学生能够理解函数的概念；掌握函数的基本特性，熟练掌握基本初等函数的图像；理解反函数、复合函数及初等函数的概念；理解极坐标及其与直角坐标的关系；2.能力目标：培养严谨的逻辑思维能力和形象的空间想象力。教学重点1.函数的基本特性；2.基本初等函数的图像；3.反函数、复合函数及初等函数的概念。教学难点复合函数的分解教学方法启发式讲授法、直观演示法、分组合作讨论法教学手段线上线下混合教学：课前观看学习通SPOC课程视频预习、课堂老师讲解教学过程一、课程导入1.简要回顾高中数学函数的相关内容，引入第一章函数概述的内容。二、讲授函数1.给出实数及其绝对值的性质。2.给出定义1.1.1（邻域的概念）。3.给出定义1.2.1（函数的概念），并且对其进行简要推导说明。4.给出分段函数的概念，并介绍常见的分段函数：符号函数与取整函数。5.讲解例题。例1.2.4;例1.2.5三、讲授函数的基本特性1.给出函数四种基本特性：奇偶性，单调性，周期性和有界性的概念，并且对其进行简要推导说明。2.讲解例题。例1.3.1四、讲授反函数与复合函数1.对比函数的概念，给出定义1.4.1（反函数的概念），并且结合图像对其进行简要推导说明。2.通过两个具体函数的复合例子，给出复合函数的概念，并且对其进行简要推导说明。3.讲解例题。例1.4.1五、讲授初等函数1.讲授基本初等函数及其图像。2.讲授初等函数的概念。3.讲解例题。例1.5.1；例1.5.2六、讲授极坐标1.结合图像给出极坐标的概念。2.讲授极坐标与直角坐标的关系。图1-图1-25图1.23图1.23七、布置作业课后题：1（1）（2）；2（1）（3）；3（3）（4）八、布置下次课的视频学习学习通系统的2.1节：数列的极限课后总结学生认为复合函数的分解不容易掌握，需要从复合函数的定义、基本初等函数的概念、例题等多角度进行解释说明。微积分I教案授课题目§2.1数列的极限授课时长45+45分钟课程性质R公共基础课□专业必修课□专业选修课□其它教学模式线上线下混合式线上课程学习通道超星学习通系统的SPOC课程课程内容2.1.1数列的定义2.1.2数列的极限2.1.3子数列教学目标1.知识目标：理解数列极限概念并利用定义证明数列是否收敛；理解数列与子数列收敛性；2.能力目标：培养学生的理解归纳能力和严谨的逻辑思维能力。教学重点1.数列极限的概念；2.子数列的定义。教学难点

数列极限概念、利用数列极限定义证明数列是否收敛于指定的常数。教学方法启发式讲授法、直观演示法、讲练结合、分组合作讨论法教学手段线上线下混合教学：课前观看学习通SPOC课程视频预习、课堂老师讲解教学过程一、课程导入1.通过具体的实例，引出数列的概念；2.对视频学习做简要总结。二、讲授数列的定义1.给出数列的定义定义2.1.1当自变量按正整数顺序依次取值时，整标函数的相应取值构成的有序数串，，,，，称为数列，记作．其中称为数列的“一般项”或者“通项”．2.给出具体的数列，讲解数列的变化趋势。三、讲授数列的极限1.讲解具体的数列的变化趋势，给出数列极限的定义。定义2.1.2设有数列{}和常数，对于任意给定的，存在正整数，使得当时，恒有成立，则称数列以为极限，记作或．2.讲解利用数列极限定义证明数列是否收敛于指定的常数的例题。例2.1.1；例2.1.2四、讲授子数列1.给出子数列的定义定义2.1.3从数列中抽取无穷多项，在不改变原有次序的情况下构成的新数列称为数列的子数列，简称子列，记作：．其中表示在原数列中的位置，表示在子列中的位置．2.给出数列与子数列的收敛性之间的关系定理2.1.1(1)对于数列，的充要条件是对的任何子数列有.(2)对于数列，的充要条件是偶数子列和奇数子列满足．五、布置作业课后题：1（2）（4）；2（1）（2）；3；4六、布置下次课的视频学习学习通系统的2.2节：函数的极限课后总结(1).学生认为数列极限的定义难以理解，需要多讲解一些具体的数列的变化趋势进行解释；(2).利用数列极限定义证明数列是否收敛于指定的常数为难点，需要多讲解具体的实例让学生理解证明思路，以让学生对问题有更加深刻的认识。微积分I教案授课题目§2.2函数的极限授课时长45+45分钟课程性质R公共基础课□专业必修课□专业选修课□其它教学模式线上线下混合式线上课程学习通道超星学习通系统的SPOC课程课程内容2.2.1当时函数的极限2.2.1当时函数的极限2.2.3一般变量的极限的定义教学目标1.知识目标：使学生在直观理解函数极限的基础上掌握函数极限的“”定义和“”定义，并会用“”和“”的定义去证明极限；2.能力目标：培养学生的理解归纳能力和严谨的逻辑思维能力。教学重点1.从函数自变量的变化趋势来理解函数的极限的概念，体会极限的思想；2.利用函数极限定义证明函数是否趋于指定的常数。教学难点体会自变量不同变化情况下，函数极限的严格定义，并利用函数极限定义来证明函数是否收于指定的常数。教学方法启发式讲授法、直观演示法、讲练结合、分组合作讨论法教学手段线上线下混合教学：课前观看学习通SPOC课程视频预习、课堂老师讲解教学过程一、课程导入1.简要回顾数列极限的内容，归纳课前视频学习的知识点；2.对视频学习做简要总结。二、讲授当时函数的极限1.给出具体的函数，讲解当时函数的变化趋势。2.给出当时函数的极限的定义定义2.2.1设函数当大于某一正数时有定义，若有常数，对于任意给定的，存在正数，使当时，恒有成立，则称当时，的极限为，记作或．3.给出当时函数的极限的几何解释4.给出当和时函数的极限的定义。5.讲解利用当时函数的极限的定义证明函数是否趋于指定的常数的例题。例2.2.1；例2.2.26.给出当时函数的极限存在的充要条件定理2.2.1极限存在且等于的充分必要条件为．讲解例2.2.3三、讲授当时函数的极限1.给出具体的函数，讲解当时函数的变化趋势。2.给出当时函数的极限的定义定义2.2.2设函数在的某个去心邻域内有定义，若存在常数，对于任意给定的，存在，当时，恒有成立，则称当时的极限为，记作或．3.给出当时函数的极限的几何解释4.给出当和时函数的极限的定义。5.给出当时函数的极限存在的充要条件定理2.2.2极限存在且等于的充分必要条件为左、右极限都存在且都等于，即．讲解例2.2.56.讲解利用当时函数的极限的定义证明函数是否趋于指定的常数的例题。例2.2.4四、讲授一般变量的极限的定义给出变量的极限的定义定义2.2.3设有变量和常数，如果对于任意的，存在某个时刻，使得在那个时刻以后恒有成立，则称变量在此变化过程中以为极限，记作或．五、布置作业课后题：2（2）（3）（4）；3；4六、布置下次课的视频学习学习通系统的2.3节：无穷小量与无穷大量课后总结(1).学生认为函数极限的定义难以理解，需要多讲解一些具体的函数的变化趋势进行解释，并从几何上给出解释；(2).利用函数极限定义证明函数是否趋于指定的常数为难点，需要多讲解具体的实例让学生理解证明思路，以让学生对问题有更加深刻的认识。微积分I教案授课题目§2.3无穷小量与无穷大量授课时长45+45分钟课程性质R公共基础课□专业必修课□专业选修课□其它教学模式线上线下混合式线上课程学习通道超星学习通系统的SPOC课程课程内容2.3.1无穷小量的概念2.3.2无穷小量的性质2.3.3无穷大量的概念教学目标1.知识目标：了解无穷小量和无穷大量的概念；理解无穷小量的性质；2.能力目标：培养学生的理解归纳能力和严谨的逻辑思维能力。教学重点无穷小量和无穷大量的概念教学难点无穷小量的性质教学方法启发式讲授法、直观演示法、讲练结合、分组合作讨论法教学手段线上线下混合教学：课前观看学习通SPOC课程视频预习、课堂老师讲解教学过程一、课程导入1.简要回顾极限的内容，归纳课前视频学习的知识点；2.对视频学习做简要总结。二、讲授无穷小量的概念1.定义2.3.1以为极限的变量称为无穷小量，简称无穷小．(1).讲解无穷小量是相对于自变量的某个变化过程而言的。(2).绝对值很小的数与无穷小量是不同的。2.给出极限与无穷小量之间的关系定理2.3.1的充要条件是，其中是同一变化过程中的无穷小量．三、讲授无穷小量的性质1.给出一般变量有界性的定义定义2.3.2如果存在某正数，满足，则称是有界的．如果存在某正数，使变量在变化到某时刻后总有，则称变量是局部有界的．2.给出无穷小量的性质定理2.3.2（1）若，是同一变化过程中的无穷小量，则也是无穷小量．（2）若是无穷小量，是对应于的同一变化过程范围内的局部有界变量，则是无穷小量．（3）若是无穷小量，,则为无穷小量．3.给出推论2.3.1常量与无穷小量的乘积是无穷小量．4.讲解例题2.3.1四、讲授无穷大量的概念1.通过具体的函数的变化趋势，引出无穷大量的概念2.给出无穷大量的定义定义2.3.2如果变量在某个变化过程中，对于任意的，存在某个时刻，使得在那个时刻以后恒有成立，则称为无穷大量，简称无穷大，记作或．3.讲解无穷大量和无穷小量之间的关系定理2.3.3在同一变化过程中，(1)若变量为无穷大量，则为无穷小量．(2)若变量为无穷小量()，则为无穷大量．五、布置作业课后题：1（1）（3）（4）；2；5六、布置下次课的视频学习学习通系统的2.4节：极限的性质与运算法则课后总结(1).学生认为无穷小量的性质难以理解，需要详细的讲解性质的证明过程以让学生能够有更清楚深刻的理解；(2).需要多讲解具体的无穷小量和无穷大量的实例，以让学生对问题有更加深刻的认识。微积分I教案授课题目§2.4极限的性质与运算法则授课时长45+45分钟课程性质R公共基础课□专业必修课□专业选修课□其它教学模式线上线下混合式线上课程学习通道超星学习通系统的SPOC课程课程内容2.4.1极限的性质2.4.2极限的四则运算法则2.4.3复合函数的极限运算法则教学目标1.知识目标：使学生能够理解极限的性质；熟练掌握极限的四则运算法则和复合函数的极限运算法则，并能够利用运算法则求出复合函数的极限；2.能力目标：培养学生的理解归纳能力和严谨的逻辑思维能力。教学重点1.极限的性质；2.极限的四则运算法则。教学难点复合函数的极限运算法则教学方法启发式讲授法、直观演示法、讲练结合、分组合作讨论法教学手段线上线下混合教学：课前观看学习通SPOC课程视频预习、课堂老师讲解教学过程一、课程导入1.简要回顾数列极限和函数极限的内容，归纳课前视频学习的知识点；2.对视频学习做简要总结。二、讲授极限的性质1.性质2.4.1（唯一性）若极限存在，则极限值唯一．2.性质2.4.2（有界性）如果存在，则是局部有界的．讲解推论2.4.1若数列极限存在，则是有界的．3.性质2.4.3（保号性）若极限，且（或），则自变量变化到某一时刻之后，恒有（或）．(1).讲解推论2.4.2若极限，且当自变量变化到某一时刻之后，恒有（或），则（或）．(2).推论2.4.3若，，且当自变量变化到某一时刻之后，恒有（或），则（或）．4.给出思考问题思考若，且在的某个空心邻域内恒有，是否一定有成立？为什么？5.讲解数列极限与函数极限之间的联系定理2.4.1（海涅定理）设在的某个空心邻域内有定义，则的充分必要条件为：对于的空心邻域内的任何数列，只要，则对应的函数值数列都收敛于，即．三、讲授极限的四则运算法则1.讲解极限的四则运算法则定理2.4.2若极限，均存在，则有(1)存在，且；(2)存在，且；(3)若，则存在，且．2.给出极限的四则运算法则的推论推论2.4.4；推论2.4.5；推论2.4.63.讲解利用极限的四则运算法则求极限的例题例2.4.1；例2.4.2；例2.4.3；例2.4.4；例2.4.5四、讲授复合函数的极限运算法则1.定理2.4.3（复合函数的极限运算法则）若，且在的去心邻域内有，则．2.讲解利用复合函数的极限运算法则求极限的例题例2.4.6；例2.4.7五、布置作业课后题：1（2）（4）（6）（7）（8）（10）（11）六、布置下次课的视频学习学习通系统的2.5节：极限存在准则与两个重要极限(一)课后总结(1).学生认为极限的性质难以理解，需要详细的讲解性质的证明过程以让学生能够有更清楚深刻的理解；(2).需要多讲解利用极限的四则运算法则和复合函数的极限运算法则求复合函数极限的例题，以让学生熟悉不同类型的求极限问题的方法和思路，从而对问题有更加深刻的认识。微积分I教案授课题目§2.5极限存在准则与两个重要极限(一)授课时长45+45分钟课程性质R公共基础课□专业必修课□专业选修课□其它教学模式线上线下混合式线上课程学习通道超星学习通系统的SPOC课程课程内容2.5.1-1极限存在准则1.迫敛性定理2.5.2-1重要的极限1.2.该重要极限的应用教学目标1.知识目标：使学生能够理解极限存在准则；能够应用迫敛性定理证明极限，明确其成立的条件，并能够利用该重要极限求出一些复合函数的极限，掌握其基本应用；2.能力目标：培养学生的理解归纳能力和严谨的逻辑思维能力。教学重点1.迫敛性定理；2.证明极限；3.利用该重要极限求出一些复合函数的极限。教学难点应用迫敛性定理证明极限教学方法启发式讲授法、直观演示法、讲练结合、分组合作讨论法教学手段线上线下混合教学：课前观看学习通SPOC课程视频预习、课堂老师讲解教学过程一、课程导入1.简要回顾极限的性质和极限运算法则的内容，归纳课前视频学习的知识点；2.对视频学习做简要总结。二、讲授极限存在准则1.讲解定理2.5.1(迫敛性定理)如果变量满足,且其中为某一常数，那么也存在且．2.讲解利用迫敛性定理求解变量极限的例题例2.5.1；例2.5.2；例2.5.3三、讲授重要的极限1.利用迫敛性定理和例2.5.3的求解过程和方法详细给出该重要极限的证明过程2.利用该重要极限求解一些其他函数的极限例2.5.5；例2.5.6；例2.5.7四、布置作业课后题：1（2）（3）（4）（5）（6）；3五、布置下次课的视频学习学习通系统的2.5节：极限存在准则与两个重要极限(二)课后总结(1).强调单调有界准则的重要性，需要一些实例讲解以让学生能够有更清楚深刻的理解；(2).需要多讲解利用该重要极限求解复合函数极限的例题，以让学生熟悉不同类型的函数求极限问题的方法和思路，从而对问题有更加深刻的认识。微积分I教案授课题目§2.5极限存在准则与两个重要极限(二)授课时长45+45分钟课程性质R公共基础课□专业必修课□专业选修课□其它教学模式线上线下混合式线上课程学习通道超星学习通系统的SPOC课程课程内容2.5.1-2单调有界准则2.5.2-2重要极限1.2.3.该重要极限的应用教学目标1.知识目标：使学生能够理解单调有界准则；应用单调有界准则证明极限，明确其成立的条件，并能够利用该重要极限求出一些复合函数的极限，掌握其基本应用；2.能力目标：培养学生的理解归纳能力和严谨的逻辑思维能力。教学重点1.单调有界准则；2.证明极限和；3.利用该重要极限求出一些复合函数的极限。教学难点应用单调有界准则证明极限教学方法启发式讲授法、直观演示法、讲练结合、分组合作讨论法教学手段线上线下混合教学：课前观看学习通SPOC课程视频预习、课堂老师讲解教学过程一、课程导入1.简要回顾极限存在准则的内容，归纳课前视频学习的知识点；2.对视频学习做简要总结。二、讲授极限存在准则1.给出数列单调性的定义定义2.5.1设有数列，如果对任意的都有，则称数列单调递增；如果对任意的都有，则称数列单调递减；2.讲解定理2.5.2（单调有界准则）单调有界数列必有极限．3.从几何上对单调有界准则给出解释4.讲解单调数列与其子数列的极限之间的关系定理2.5.3当是单调数列时，的充要条件是存在一个子数列满足．5.利用单调有界准则详细证明例2.5.4极限存在三、讲授重要的极限1.给出详细的证明推导过程2.给出变形形式3.利用该重要极限求解一些其他函数的极限，详细讲解一些例题。例2.5.8；例2.5.9；例2.5.10；4.讲解该重要极限的应用(1).例2.5.11连续复利问题;(2).例2.5.12四、布置作业课后题：2（2）（3）（4）（5）（6）；3（2）；5；7五、布置下次课的视频学习学习通系统的2.6节：无穷小量的比较课后总结(1).强调单调有界准则的重要性，需要一些实例讲解以让学生能够有更清楚深刻的理解；(2).需要多讲解利用该重要极限求解复合函数极限的例题，以让学生熟悉不同类型的函数求极限问题的方法和思路，从而对问题有更加深刻的认识。微积分I教案授课题目§2.6无穷小量的比较授课时长45+45分钟课程性质R公共基础课□专业必修课□专业选修课□其它教学模式线上线下混合式线上课程学习通道超星学习通系统的SPOC课程课程内容2.6.1无穷小量阶的定义2.6.2等价无穷小量的性质教学目标1.知识目标：使学生能够理解无穷小量的定义；掌握无穷小量的性质，能够运用性质进行极限的计算；2.能力目标：培养严谨的逻辑思维能力和形象的空间想象力。教学重点1.无穷小量阶的定义；2.无穷小量等价代换；教学难点无穷小量等价代换教学方法启发式讲授法、直观演示法、分组合作讨论法教学手段线上线下混合教学：课前观看学习通SPOC课程视频预习、课堂老师讲解教学过程一、课程导入1.简要回顾无穷小量的内容，归纳课前视频学习的知识点；2.使用学习通系统抢答问题：无穷小量和一个很小的数的区别是什么？3.对视频学习做简要总结。二、讲授无穷小量阶的定义讲解在同一个变化过程中，同样是无穷小量，但它们趋于的“速度”有快有慢．譬如说，当时，比趋于的速度快得多，由此引出了无穷小量阶的概念．三、讲授无穷小量阶的比较的判定方法和例题四、等价无穷小量的性质1.讲解定理并证明。定理2.6.1设，，是同一变化过程中的无穷小量，(1)若，则；(2)若，，则．2.讲解定理2.6.1在求极限中的重要应用：利用等价无穷小求极限。3.讲解利用等价无穷小求极限的例题。例2.6.1；例2.6.2例2.6.3五、布置作业课后题：1（1）-（4）；2（2）（3）（4）（6）六、布置下次课的视频学习学习通系统的2.7节课后总结(1)学生对于乘除法中的等价容易理解，但是对于加减法中一个子部分不能轻易等价后计算极限难以理解，需要提前简单介绍泰勒公式来解释。(2)需要使用实例来形象展示无穷小量，并与很小的数区分。微积分I教案授课题目§2.7函数的连续性授课时长45+45分钟课程性质R公共基础课R专业必修课□专业选修课□其它教学模式线上线下混合式线上课程学习通道超星学习通系统的SPOC课程课程内容2.7.1连续性的定义1.定义12.定义23.定义32.7.2函数的间断点1.间断点的三种情形2.间断点的分类2.7.3连续函数的性质1.四则运算2.反函数的连续性3.复合函数的连续性4.初等函数的连续性2.7.4闭区间上连续函数的性质1.最值定理2.有界性定理3.介值定理4.零点定理教学目标1.知识目标：使学生能够掌握函数连续性的定义；理解函数的间断点，熟练掌握连续函数的运算法则，能够运用闭区间上连续函数的性质进行实际计算。2.能力目标：培养学生举一反三的思维能力和怀疑一切的科学精神。教学重点1.函数连续性的定义；2.函数的间断点；3.连续函数的性质。教学难点闭区间上连续函数的性质教学方法启发式讲授法、实际案例教学法、分组合作讨论法教学手段线上线下混合教学：课前观看学习通SPOC课程视频预习、课堂老师讲解教学过程一、课程导入1.简要回顾函数的相关内容，概括课前视频学习的知识点；2.使用学习通系统发放思考问题：函数的连续性指的是什么？3.对视频学习做简要总结。二、讲授引例观察图2.7.1，引导学生分析x0，x1，x2，x3四个点的异同，并引出函数连续的定义。图2.7.1三、讲授连续性的定义给出定义1、定义2、定义3（函数的连续性），并且对其进行简要推导说明。四、讲授函数的间断点1.给出间断点的三种情形，并对其简要进行分析说明。微分与导数的关系定理，并且对其进行证明推导。2.讲解间断点的分类。具体对两大类分类点进行说明：3.讲解求间断点的例题。例3、4、5；4.课堂分组对练习题1进行合作讨论。五、讲授连续函数的性质1.讲述连续函数的四则运算法则，并给出证明思路。2.重点讲述反函数连续的性质，并通过举例加深学生理解。3.重点讲述复合函数连续的性质，并简要进行说明。4.简要介绍初等函数的连续性。5.通过例题6~14的讲解，巩固学生对这一部分内容的理解和认识，并归纳总结出常用的等价无穷小公式表。六、讲授闭区间上连续函数的性质1.给出闭区间上连续函数的最值定理（定理1）：即一定取得最大值和最小值。2.简要说明闭区间上连续函数的有界性定理。3.重点讲解闭区间上连续函数的介值定理，并给出几何解释：图2.7.24.重点给出并证明区间上连续函数的零点定理，并通过例题16和17对知识点加以巩固。七、布置作业课后题：2；3；5（1）（2）（3）（4）。线上学习——2.8节极限与连续习题课。课后总结(1)学生对函数在一点出的连续或间断类型的判断还需进一步巩固，应该适当拓展一些综合性题型；(2)闭区间上函数介值定理和零点定理的证明是难点，需要在第二章总复习题内容中进一步强调证明思路和综合性例题的讲解。微积分I教案授课题目§3.1导数的概念授课时长45+45分钟课程性质R公共基础课□专业必修课□专业选修课□其它教学模式线上线下混合式线上课程学习通道超星学习通系统的SPOC课程课程内容3.1.1引例1.变速直线运动的瞬时速度2.曲线在某点处切线的斜率3.1.2导数的定义3.1.3单侧导数3.1.4导数的几何意义3.1.5可导与连续的关系教学目标1.知识目标：使学生能够理解导数的定义以及导数的几何意义；理解导数与单侧导数的关系；能够熟练运用导数定义求导数；理解函数的可导性与连续性的关系。2.能力目标：培养学生由近似到精确、由量变到质变、由具体到抽象的逻辑思维能力和形象的空间想象力。教学重点1.导数的定义、导数的几何意义；2.导数与单侧导数的关系；3.可导性与连续性的关系。教学难点1.导数定义的理解；2.利用导数定义求导数。教学方法引导式教学法、启发式讲授法、直观演示法、分组合作讨论法教学手段线上线下混合教学：课前观看学习通SPOC课程视频预习、课堂老师讲解教学过程一、课程导入1.简要介绍导数思想的历史；2.对视频学习做简要总结。二、讲授引例1.讲授变速直线运动瞬时速度的求解.2.讲授曲线在某点处切线斜率的求解.总结以上两个问题的解决思路，所求量都可以归结为当自变量的改变量趋于零时函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，引出导数的定义。三、讲授导数的定义给出定义3.1.1（点处的导数），并且对其进行简要推导说明。.四、讲授单侧导数1.给出单侧导数的定义3.1.2。2.给出导数与单侧导数的关系，并且对其进行简要推导说明。定理3.1.1在点处可导的充要条件是在点处的左导数与右导数都存在且相等．3.讲授导函数的概念。4.讲解求导数的例题。例3.1.1；例3.1.2；例3.1.3；例3.1.4；例3.1.5；例3.1.6五、讲授导数的几何意义1.结合引例2讲授导数的几何意义：表示曲线在点处的切线斜率。图3-2图3-22.讲解利用导数的几何意义求切线方程与法线方程的例题。例3.1.7六、讲授可导与连续的关系1.给出函数的可导性与连续性的关系定理，并且对其进行证明推导。定理3.1.2如果函数在点处可导，则在点处连续．2.讲解讨论函数可导性与连续性的例题以及利用可导性与连续性的关系求参数的例题。例3.1.8；例3.1.9；例3.1.10；例3.1.11七、布置作业课后题：1；2（1）（3）；3；4；5；6八、布置下次课的视频学习学习通系统的3.2节：求导法则课后总结(1)学生认为导数的定义难以理解，需要从几何意义、极限思想、例题等多角度进行解释；(2)利用导数定义求导数为难点，需要在充分解释导数定义的基础上，结合引例中两个问题的解决思路，让学生对问题有更加直观的认识，再通过例题加以巩固。微积分I教案授课题目§3.2求导法则授课时长45+45分钟课程性质R公共基础课□专业必修课□专业选修课□其它教学模式线上线下混合式线上课程学习通道超星学习通系统的SPOC课程课程内容3.2.1导数的四则运算法则3.2.2反函数的求导法则3.2.3复合函数的求导法则3.2.4导数的基本公式教学目标1.知识目标：使学生能够理解并熟记导数的基本公式；理解并熟练掌握导数的运算法则；2.能力目标：培养严谨的逻辑思维能力和扎实的数学计算能力。教学重点1.导数的运算法则；2.导数的基本公式。教学难点复合函数的求导法则教学方法启发式讲授法、分组合作讨论法教学手段线上线下混合教学：课前观看学习通SPOC课程视频预习、课堂老师讲解教学过程一、课程导入1.简要回顾导数的定义，归纳课前视频学习的知识点；2.使用学习通系统抢答问题：与的区别是什么？3.对视频学习做简要总结。二、讲授导数的四则运算法则1.给出导数四则运算法则的定理，并且对其进行证明推导。定理3.2.1设函数，在点处可导，则它们的和、差、积、商（分母不为零）在点处也可导，且(1)；(2)；(3)，其中．2.讲授推论3.2.1与推论3.2.2（定理3.2.1的特例）3.讲解运用四则运算法则求导数的例题。例3.2.1；例3.2.2；例3.2.3；例3.2.4；例3.2.5三、讲授反函数的求导法则1.给出反函数求导法则的定理，并且对其进行证明推导。定理3.2.2设单调连续函数在点处可导，且，则其反函数在对应点处可导，且或．2.讲解运用反函数求导法则求导数的例题。例3.2.6；例3.2.7四、讲授复合函数的求导法则1.给出复合函数的求导法则，并且对其进行简要推导说明。定理3.2.3如果函数在点处可导，而函数在对应点处可导，则复合函数在点处可导，且其导数为或．2.讲解运用复合函数求导法则求导数的例题。例3.2.8；例3.2.9；例3.2.10；例3.2.11；例3.2.12；例3.2.13五、讲授导数的基本公式结合导数定义、导数的四则运算法则、反函数的求导法则及复合函数的求导法则讲授导数的基本公式，并给出其简要推导说明。六、布置作业课后题：1（1）（4）（5）（6）（9）；2（1）（3）（6）（7）；3（1）（2）；4（1）（2）；6七、布置下次课的视频学习学习通系统的3.3节：隐函数的求导法则课后总结学生认为复合函数的求导法则难以理解，需要从复合函数的构成与分解、基本初等函数的导数公式、例题等多角度进行解释说明。微积分I教案授课题目§3.3隐函数的求导法则授课时长45+45分钟课程性质R公共基础课□专业必修课□专业选修课□其它教学模式线上线下混合式线上课程学习通道超星学习通系统的SPOC课程课程内容3.3.1隐函数的导数3.3.2对数求导法则教学目标1.知识目标：使学生能够理解隐函数的概念；理解并熟练掌握隐函数的求导法则，熟练掌握对数求导法则；2.能力目标：培养严谨的逻辑推理能力和抽象思维能力。教学重点1.隐函数的求导法则；2.对数求导法则。教学难点隐函数的求导法则教学方法启发式讲授法、分组合作讨论法教学手段线上线下混合教学：课前观看学习通SPOC课程视频预习、课堂老师讲解教学过程一、课程导入1.简要回顾显函数求导法则的内容，归纳课前视频学习的知识点；2.使用学习通系统抢答问题：隐函数和显函数的区别是什么？3.对视频学习做简要总结。二、讲授隐函数的概念通过二元方程引入隐函数的概念，并加以解释说明。.三、讲授隐函数的求导法则1.结合复合函数的求导法则，给出隐函数的求导法则。隐函数的求导法则：设，在上式两边同时对自变量求导，并将看作中间变量，即是的函数，运用复合函数的求导法则进行求导，从中解出隐函数的导数.2.讲解隐函数求导数的例题。例3.3.1；例3.3.2四、讲授对数求导法则1.通过引例并结合隐函数求导法则，给出对数求导法则。对数求导法则：先在函数的两边取对数，然后在等式两边同时对自变量求导，最后解出的导数.2.讲解运用对数求导法则求导数的例题。例3.3.3；例3.3.4；例3.3.5五、布置作业课后题：1（1）（2）（5）；2；3（2）（3）六、布置下次课的视频学习学习通系统的3.4节:高阶导数课后总结(1)学生认为隐函数的求导法则难以理解，需要结合复合函数的求导法则及例题进行解释说明；(2)对数求导法则学生也不易理解，需要结合复合函数的求导法则以及隐函数的求导法则进行解释说明。微积分I教案授课题目§3.4高阶导数授课时长45+45分钟课程性质R公共基础课□专业必修课□专业选修课□其它教学模式线上线下混合式线上课程学习通道超星学习通系统的SPOC课程课程内容3.4.1高阶导数的概念1.引例2.高阶导数的定义3.4.2高阶导数的运算法则教学目标1.知识目标：使学生能够理解高阶导数的定义；熟练掌握高阶导数的计算，熟记常用函数的高阶导数公式。2.能力目标：培养严谨的逻辑思维能力和高效的数学计算能力。。教学重点1.高阶导数的定义；2.高阶导数的运算法则。教学难点莱布尼茨公式教学方法启发式讲授法、分组合作讨论法教学手段线上线下混合教学：课前观看学习通SPOC课程视频预习、课堂老师讲解教学过程一、课程导入1.简要回顾一阶导数的内容，归纳课前视频学习的知识点；2.对视频学习做简要总结。二、讲授引例讲解作变速直线运动且路程函数为的物体的加速度问题，引出高阶导数的定义。三、讲授高阶导数的定义1.给出定义3.4.1（点x0处的二阶导数），并且对其进行简要推导说明。2.给出阶导数的定义。3.讲解例题例3.4.1；例3.4.2；例3.4.3；例3.4.4；例3.4.5；例3.4.6四、讲授隐函数的高阶导数1.回顾隐函数的一阶导数，引出隐函数的高阶导数。2.讲解隐函数高阶导数的例题。例3.4.7；例3.4.8五、讲授高阶导数的运算法则1.给出函数和以及函数差高阶导数的运算法则，并做简要推导说明。2.给出函数乘积高阶导数的莱布尼茨公式，并加以推导证明。3.讲解例题例3.4.9；例3.4.10六、布置作业课后题：1（1）（3）；2（1）（4）；3（1）（2）；4（1）（3）5（1）（3）七、布置下次课的视频学习学习通系统的3.5节：：微分课后总结(1)学生认为运用定义求高阶导数不容易掌握；需要类比运用一阶导数定义求导数进行解释说明；(2)莱布尼茨公式的理解为难点，需要结合函数乘积一阶导数的运算法则进行理解，并对比二项式展开式的公式进行巩固记忆。微积分I教案授课题目§3.5函数的微分授课时长线上45分钟+线下45分钟课程性质R公共基础课□专业必修课□专业选修课□其它教学模式线上线下混合式（翻转课堂）线上课程学习通道超星学习通系统的SPOC课程课程内容3.5.1微分的概念1.引例2.微分的定义3.5.2可微的条件3.5.3微分的几何意义3.5.4基本公式与运算法则3.5.5微分在近似计算中的应用教学目标1.知识目标：使学生能够理解函数微分的定义；掌握函数可微的充要条件，理解微分的几何意义，熟练掌握微分的运算法则，能够运用微分进行近似计算；2.能力目标：培养严谨的逻辑思维能力和形象的空间想象力。教学重点1.微分的定义、微分的几何意义；2.可微和可导的关系；3.微分的运算法则。教学难点函数一阶微分的形式不变性教学方法启发式讲授法、直观演示法、分组合作讨论法教学手段线上线下混合结合翻转课堂：课前观看学习通SPOC课程视频学习、线下研讨展示教学过程一、课前视频自学阶段（45分钟）（一）讲授引例讲解方形薄片受热膨胀面积变化问题，求解面积改变量，并引出微分的定义（二）讲授微分的定义给出定义3.5.1（点x0处的微分），并且对其进行简要推导说明。（三）讲授可微的条件1.给出微分与导数的关系定理，并且对其进行证明推导。定理3.5.1函数在点处可微的充要条件是在点处可导，且．2.讲解定义3.5.2（函数的微分）。3.讲解求点的微分、函数的微分的例题。例3.5.1；例3.5.2（四）讲授微分的几何意义讲解微分几何意义：“以直代曲”图3.4图3.4（五）讲授微分的基本公式和运算法则1.根据微分的定义给出基本初等函数的微分2.给出四则运算的微分，并以加减法为例证明公式3.复合函数的微分法则：一阶微分形式不变性(1)推导得到复合函数的微分并给出一阶微分形式不变形结论(2)讲解例题：求复合函数的微分、隐函数的微分例3.5.3；例3.5.4；例3.5.5（六）讲授微分在近似计算中的应用1.给出微分近似计算的公式2.讲解例题例3.5.6；例3.5.7；例3.5.8二、课堂研讨阶段（45分钟）（一）课程导入1.简要回顾导数的内容，归纳课前视频学习的知识点；2.使用学习通系统抢答问题：微分和导数的区别是什么？3.对视频学习做简要总结。（二）自主学习测试（三）布置分组讨论任务从多角度分析微分与导数的区别不可微举例（四）分组讨论（五）分组展示与点评（六）重点知识讲解微分定义的直观理解微分的几何意义微分与导数的关系微分的计算微分在近似计算中的应用（七）布置作业课后题：1；2（1）（2）（4）（6）；3（2）；4（2）（八）布置下次课的视频学习学习通系统的3.6节课后总结(1)学生认为微分的定义难以理解，需要从几何意义、曲线特征、例题、反例等多角度进行解释；(2)函数一阶微分形式不变性的理解为难点，需要通过对比复合函数求导数的求解思路，让学生对问题有更加直观认识，再利用微分定义严谨推导解释其本质内容。微积分I教案授课题目§3.6导数在经济学中的应用授课时长45+45分钟课程性质R公共基础课□专业必修课□专业选修课□其它教学模式线上线下混合式线上课程学习通道超星学习通系统的SPOC课程课程内容3.6.1常用的经济函数1.需求函数与供给函数2.成本函数、收入函数及利润函数3.6.2边际分析与弹性分析1.边际分析2.弹性分析教学目标1.知识目标：使学生能够理解边际概念与弹性概念及其相应的经济意义；理解并熟练掌握导数在边际分析与弹性分析中的应用。2.能力目标：培养严谨的逻辑思维能力和较强的数学实践能力。教学重点1.边际成本、边际收入、边际利润；2.需求价格弹性。教学难点弹性的定义教学方法启发式讲授法、直观演示法、分组合作讨论法教学手段线上线下混合教学：课前观看学习通SPOC课程视频预习、课堂老师讲解教学过程一、课程导入1.简要回顾导数的定义，归纳课前视频学习的知识点；2.使用学习通系统抢答问题：边际和弹性的区别是什么？3.对视频学习做简要总结。二、讲授常用的经济函数1．结合经济现象介绍需求函数、供给函数以及供需平衡的概念。2.讲解例题例3.6.1；例3.6.23.介绍成本函数、收入函数及利润函数的概念。4.讲解例题例3.6.3；例3.6.4三、讲授边际分析1.给出边际概念，并且对其进行简要推导说明。2.结合边际概念给出边际成本、边际收入、边际利润的定义，并对相应的经济意义进行解释说明。3.讲解例题。例3.6.5；例3.6.6四、讲授弹性分析1.回顾边际概念，引入弹性概念。2.给出定义3.6.1（弧弹性及点弹性的定义），并解释弹性的经济意义。3.给出定义3.6.2（点弹性函数的定义）。4.讲解求弹性的例题。例3.6.75.给出定义3.6.3（需求价格弹性的定义），并且对其进行简要推导说明。.6.解释说明需求价格弹性的经济意义并介绍其分类。7.讲解求需求价格弹性的例题。例3.6.8五、布置作业课后题：2；3；4；5六、布置下次课的视频学习学习通系统的4.1节：微分中值定理课后总结(1)学生认为弹性的定义难以理解，需要从弹性的经济意义及导数的定义进行解释说明；让学生对弹性概念有更加直观的认识。(2)需求价格弹性经济意义中需求量变化的百分比，学生往往容易出错，需要结合弹性定义进行解释与强调。微积分I教案授课题目§4.2洛必达法则授课时长45+45分钟课程性质R公共基础课□专业必修课□专业选修课□其它教学模式线上线下混合式线上课程学习通道超星学习通系统的SPOC课程课程内容4.2.1004.2.2∞∞4.2.3其他类型未定式的计算教学目标1.知识目标：使学生能够理解洛必达法则的使用；掌握基本类型00，∞∞2.能力目标：培养严谨的逻辑思维能力和运算能力。教学重点1.基本类型00，∞∞2.其他类型未定式求法教学难点其他类型未定式求法以及结合无穷小代换的综合方法。教学方法启发式讲授法、分组合作讨论法教学手段线上线下混合教学：课前观看学习通SPOC课程视频预习、课堂老师讲解教学过程一、课程导入1.未定式概念；2.如何快速求解未定式的极限二、讲授001.定理内容设函数和满足(1)；(2)和在点的某空心邻域内可导，且；(3)存在（或为无穷大），则有2.举例三、讲授∞∞1.定理内容设函数和满足(1)，；(2)和在点的某空心邻域内可导，且；(3)存在（或为无穷大），则有．2.举例四、其他类型未定式的计算1.五种类型2.求解思想：转化为型或型未定式3.举例4.2.8；4.2.10；4.2.12；4.2.13；4.2.14五、布置作业课后题：1（2）（6）（7）（8）（11）（12）（14）；2（1）（3）（5）（7）（9）（10）（11）；3六、布置下次课的视频学习学习通系统的4.3节泰勒公式课后总结学生使用洛必达法则时，有时是生搬硬套，要注意不适宜用洛必达的情况及求极限的方法的综合灵活运用；(2)注意其他类型未定式的计算与运用重要极限e求解极限的区别。微积分I教案授课题目§4.3泰勒公式（上）授课时长45+45分钟课程性质R公共基础课□专业必修课□专业选修课□其它教学模式线上线下混合式线上课程学习通道超星学习通系统的SPOC课程课程内容4.3.1带皮亚诺型余项的泰勒公式4.3.2常用基本公式推导教学目标1.知识目标：使学生能够理解泰勒公式的基本思想；掌握将函数在一点展成泰勒公式的基本方法2.能力目标：培养学生严谨的逻辑思维能力。教学重点1.带皮亚诺型余项的展开；2.常用基本公式教学难点泰勒展开的思想教学方法启发式讲授法教学手段线上线下混合教学：课前观看学习通SPOC课程视频预习、课堂老师讲解教学过程一、课程导入多项式逼近函数的思想二、讲授带皮亚诺型泰勒公式1.定理内容定理4.3.1若函数在点处具有阶导数，则存在的某邻域，使得对任意，有其中．提示学生注意证明中的最后一步，需要注意的点2.常用的5个基本公式三、直接展开法与间接展开法例4.3.4四、布置作业课后题：2，5，6，7五、布置下次课的视频学习学习通系统的4.3（下）节带拉格朗日型余项的泰勒公式课后总结注意引导学生理解泰勒展开的思想；(2)间接展开法的运用。微积分I教案授课题目§4.4泰勒公式（下）授课时长45+45分钟课程性质R公共基础课□专业必修课□专业选修课□其它教学模式线上线下混合式线上课程学习通道超星学习通系统的SPOC课程课程内容4.3.3带拉格朗日型余项的泰勒公式4.3.4泰勒公式简单应用教学目标1.知识目标：使学生能够理解泰勒公式的基本思想；掌握将函数在一点展成泰勒公式的基本方法2.能力目标：培养学生严谨的逻辑思维能力。教学重点1.带拉格朗日型余项泰勒公式的展开；2.利用泰勒公式求极限教学难点利用泰勒公式求极限。教学方法启发式讲授法教学手段线上线下混合教学：课前观看学习通SPOC课程视频预习、课堂老师讲解教学过程一、课程导入回顾皮亚诺余项的泰勒公式二、讲授带拉格朗日型泰勒公式1.定理内容设函数在含有的某个开区间内具有直到（）阶的导数，则对任意，有其中，为介于与之间的某个数．2.举例基本公式的展开式三、利用泰勒公式求极限例4.3.5四、布置作业课后题：3，8五、布置下次课的视频学习学习通系统的4.4节函数的单调性课后总结注意引导学生体会两种不同余项的泰勒公式的适用情形；(2)利用泰勒公式求极限，要注意展开阶数的确定。微积分I教案授课题目§4.4函数的单调性授课时长45+45分钟课程性质R公共基础课□专业必修课□专业选修课□其它教学模式线上线下混合式线上课程学习通道超星学习通系统的SPOC课程课程内容4.4.1函数单调性判别法4.4.2函数单调性应用举例教学目标1.知识目标：使学生能够掌握函数单调性判别的充分条件、充要条件2.能力目标：培养学生严谨的逻辑思维能力。教学重点1.函数单调性判别法；2.利用单调性证明不等式及讨论方程根的情况教学难点函数单调性判别法的思想。教学方法启发式讲授法教学手段线上线下混合教学：课前观看学习通SPOC课程视频预习、课堂老师讲解教学过程一、课程导入通过对函数图形的直观观察，引入问题。二、讲授单调性判别法1.定理内容定理4.4.1设函数在上连续，在内可导．若在内恒有，则在上单调增加（单调减少）．定理4.4.2设函数在上连续，在内可导，则在上单调增加（单调减少）的充分必要条件是，，并且在的任何子区间上不恒为零．2.单调区间求法举例例4.4.3三、讲授单调性在证明不等式及讨论方程根的问题中的应用例4.4.4，例4.4.5四、布置作业课后题：1（2）（3），2，3，4，5五、布置下次课的视频学习学习通系统的4.5节函数的极值与最值课后总结注意引导学生理解函数单调性判别法的思想；(2)引导学生体会好利用单调性证明不等式及讨论方程根的思路。微积分I教案授课题目§4.5函数的极值与最值授课时长45+45分钟课程性质R公共基础课□专业必修课□专业选修课□其它教学模式线上线下混合式线上课程学习通道超星学习通系统的SPOC课程课程内容4.5.1函数的极值及其求法4.5.2函数的最值及应用举例教学目标知识目标：使学生能够理解函数极值、最值的定义，会求函数的极值、最值.能力目标：培养学生严谨的逻辑思维能力和具体的解决问题的能力。教学重点1.函数极值第一充分条件、第二充分条件；2.最值在经济学中的应用教学难点极值的两个充分条件教学方法启发式讲授法教学手段线上线下混合教学：课前观看学习通SPOC课程视频预习、课堂老师讲解教学过程一、课程导入通过对函数图形的直观观察，引入问题。二、讲授极值的定义及两个充分条件1.极值第一充分条件设函数在点的某空心邻域内可导，并且在点处连续．（1）若当时，；当时，，则在点处取得极大值；（2）若当时，，当时，，则在点处取得极小值；（3）若在内，恒为正或恒为负，则在点处不取极值．2.极值第二充分条件例4.4.3设函数在点处具有二阶导数，且，，则（1）当时，在点处取得极大值；（2）当时，在点处取得极小值．三、讲授函数最值及其在经济学中的应用例4.5.5，例4.5.6，例4.5.7四、布置作业课后题：1（2）（3），2（1）（3），3，5五、布置下次课的视频学习学习通系统的4.6节曲线的凹凸性课后总结注意引导学生理解函数极值的两个充分条件及使用情形；(2)注意解释清楚求解最值的思路。微积分I教案授课题目§4.6曲线的凹凸性授课时长45+45分钟课程性质R公共基础课□专业必修课□专业选修课□其它教学模式线上线下混合式线上课程学习通道超星学习通系统的SPOC课程课程内容4.6.1曲线凹凸的定义、拐点的定义4.6.2曲线凹凸的判别法教学目标知识目标：使学生能够理解曲线凹凸的定义，会求凹凸区间、拐点.能力目标：培养学生严谨的逻辑思维能力和解答能力。教学重点1．曲线凹凸的判别法；2.凹凸性证明不等式教学难点曲线凹凸定义的解读教学方法启发式讲授法教学手段线上线下混合教学：课前观看学习通SPOC课程视频预习、课堂老师讲解教学过程一、课程导入通过对函数图形的直观观察，引入问题。二、讲授曲线凹凸的定义及凹凸区间求法1.凹凸的定义设函数在区间上连续，若对于上任意两点恒有，则称在上的图形是（向上）凹的（或凹弧）．若对于上任意两点恒有，则称在上的图形是（向上）凸的（或凸弧）．2.凹凸区间求法设函数在上连续，在内有二阶导数，那么（1）若在内，则在上的图形是凹的；（2）若在内，则在上的图形是凸的．三、举例凹凸区间求法及凹凸性证明不等式例4.6.2，例4.6.3四、布置作业课后题：1（5）（6），2，3五、布置下次课的视频学习学习通系统的4.7节函数图形的绘制课后总结注意引导学生理解函数凹凸的定义；(2)注意解释清楚凹凸区间判别法的思想。微积分I教案授课题目§4.7函数图形的绘制授课时长45+45分钟课程性质R公共基础课□专业必修课□专业选修课□其它教学模式线上线下混合式线上课程学习通道超星学习通系统的SPOC课程课程内容4.7.1曲线的渐近线4.7.2函数图像的绘制教学目标知识目标：使学生掌握求渐近线的思路，会做出函数图形.能力目标：培养学生严谨的逻辑思维能力和解题能力。教学重点1．渐近线求法；2.函数作图教学难点曲线渐近线的求法教学方法启发式讲授法，小组合作讨论教学手段线上线下混合教学：课前观看学习通SPOC课程视频预习、课堂老师讲解教学过程一、课程导入通过对函数图形的直观观察，引入问题。二、讲授曲线渐近线定义及其求法1.渐近线的定义若曲线上的某动点沿曲线无限远离原点时，该动点与某直线的距离无限趋近于零，则称该直线为曲线的一条渐近线．渐近线可分为水平渐近线、垂直渐近线与斜渐近线三种情形，2.渐近线的求法（1）若函数满足或，其中为常数，则称直线为曲线的水平渐近线．（2）如果函数满足或，则称直线为曲线的垂直渐近线．（3）如果函数满足或，其中为常数，且，则称直线为曲线的斜渐近线．其中，，或者，举例4.7.1三、函数作图及举例步骤：（1）确定的定义域．考察函数的某些特性，如奇偶性、周期性等，并求出和．（2）求出、不存在的点、以及不存在的点，并用这些点将函数定义域分成若干个子区间．（3）列表讨论和在以上各子区间内的符号，并由此确定在各子区间上的单调性和凹凸性，极值点及拐点．（4）讨论函数的渐近线．（5）描出曲线上的特殊点，如曲线与坐标轴的交点、极值点、拐点等，综合以上结果进行作图，必要时可适当补充一些辅助点．例4.7.2，例4.7.3四、布置作业课后题：1（2）（3），2（3）（5）五、布置下次课的视频学习学习通系统的本章习题课，提前练习课后总结注意引导学生理解函数渐近线的求解思路；(2)注意函数作图步骤。微积分I教案授课题目§4.1微分中值定理授课时长45+45分钟课程性质R公共基础课□专业必修课□专业选修课□其它教学模式线上线下混合式线上课程学习通道超星学习通系统的SPOC课程课程内容4.1.1罗尔定理1.定理讲解2.罗尔定理应用举例4.1.2拉格朗日中值定理1.定理及其推论讲解2.构造法证明思想及举例2.拉格朗日定理应用举例4.1.3柯西中值定理1.定理讲解2.柯西中值定理应用举例教学目标1.知识目标：使学生能够理解三个中值定理的内容；掌握罗尔中值、拉格朗日中值定理的几何意义，能够运用罗尔定理、拉格朗日定理解决相关题目；2.能力目标：培养严谨的逻辑思维能力和抽象思维能力。教学重点1.罗尔定理的内容及相关运用；2.拉格朗日定理的内容及相关运用。教学难点构造法证明；需要讲清楚构造的思路，反向推导的过程。教学方法启发式讲授法、分组合作讨论法教学手段线上线下混合教学：课前观看学习通SPOC课程视频预习、课堂老师讲解教学过程一、课程导入1.简要介绍中值定理在本章中的地位、作用；2.拉格朗日故公式的图片引入，激发兴趣二、讲授罗尔定理1.内容与几何解释定理4.1.1（罗尔（Rolle）定理）若函数满足以下三个条件：(1)在闭区间上连续，(2)在开区间内可导，(3)，则在内至少存在一点，使得2.罗尔定理在根的问题中的应用三、讲授拉格朗日中值定理1.内容与几何解释定理4.1.2（拉格朗日（Lagrange）中值定理）若函数满足条件：(1)在闭区间上连续，(2)在开区间内可导，则在内至少存在一点，使得2.构造法证明及例4.1.63.推论及其应用例4.1.3及例4.1.4四、讲授柯西中值定理1.构造法证明2.定理使用的条件与情形3.举例4.1.5五、布置作业课后题：1（2）；2（2）；3；5；6；7；9（3）；10；13；14六、布置下次课的视频学习学习通系统的4.2节洛必达法则课后总结(1)学生认为三个中值定理均很抽象，需要从几何意义、曲线特征、例题等多角度进行解释；(2)构造函数证明是难点，让学生理解构造的思想，学会逆向推导。微积分I教案授课题目§5.1不定积分的概念与性质授课时长线上45分钟+线下45分钟课程性质R公共基础课□专业必修课□专业选修课□其它教学模式线上线下混合式（翻转课堂）线上课程学习通道超星学习通系统的SPOC课程课程内容5.1.1原函数5.1.2不定积分的概念5.1.3不定积分的几何意义5.1.5基本积分公式教学目标1.知识目标：使学生能够理解原函数的定义、不定积分的定义、不定积分的性质、不定积分的几何意义，掌握不定积分的直接积分法。2.能力目标：培养严谨的逻辑思维能力和形象的空间想象力。教学重点1.原函数的定义、不定积分的定义；2.不定积分的几何意义；3.不定积分的性质；4.不定积分的直接积分法。教学难点不定积分的直接积分法教学方法启发式讲授法、直观演示法、分组合作讨论法教学手段线上线下混合结合翻转课堂：课前观看学习通SPOC课程视频学习、线下研讨展示教学过程一、课前视频自学阶段（45分钟）（一）讲授原函数定义5.1.1设是定义在区间上的函数，如果存在一个函数，使得对于任意一点，都有或，则称函数是函数在区间上的一个原函数．（二）讲授不定积的定义定义5.1.2函数在区间上的全体原函数称为在区间上的不定积分，记作．其中符号“”称为积分号，称为积分变量，称为被积函数，称为被积表达式．（三）讲授不定积分的几何意义表示一族积分曲线，称其为的积分曲线族（四）讲授不定积分的性质重点讲解性质5.1.1性质5.1.1（1）或（2）或（五）讲授微分的基本公式和运算法则1.根据微分的定义给出基本初等函数的微分2.给出四则运算的微分，并以加减法为例证明公式3.复合函数的微分法则：一阶微分形式不变性(1)推导得到复合函数的微分并给出一阶微分形式不变形结论(2)讲解例题：求复合函数的微分、隐函数的微分例3.5.3；例3.5.4；例3.5.5（六）讲授不定积分的直接积分法1.给出基本积分公式2.利用基本积分公式以及不定积分的性质，求一些简单函数的不定积分。讲解例题注：需要讲解被积分函数的变形技巧。例5.1.4-例5.1.9二、课堂研讨阶段（45分钟）（一）课程导入1.简要回顾不定积分概念的有关内容，归纳课前视频学习的知识点；2.对视频学习做简要总结。（二）自主学习测试使用学习通系统抢答问题：不定积分和原函数的区别是什么？（三）布置分组讨论任务不定积分的几何意义是什么？何种函数存在不定积分？（四）分组讨论（五）分组展示与点评（六）重点知识讲解1.原函数的定义、不定积分的定义；2.不定积分的几何意义；3.不定积分的性质；4.不定积分的直接积分法。（七）布置作业课后题：1(1)(2)(4);2;3；4（八）布置下次课的视频学习学习通系统的5.2节课后总结(1)学生对一个函数的原函数、函数自身和导函数的认识不够清晰，需要举例强调。(2)不定积分的计算中函数变形技巧需要总结说明，套用不定积分公式时三角函数尤其是切、割函数不够熟练，需要加强练习。(3)学生有些内容学懂了，但是分组展示时表达不够准确，需要加强对数学问题的表达能力。微积分I教案授课题目§5.2换元积分法（一）授课时长45+45分钟课程性质R公共基础课□专业必修课□专业选修课□其它教学模式线上线下混合式线上课程学习通道超星学习通系统的SPOC课程课程内容1.复习不定积分的概念、基本积分公式2.凑微分法3.常见的凑微分公式4.补充基本积分表教学目标1.知识目标：使学生能够理解第一类换元积分法的思想，熟练掌握利用凑微分法来进行不定积分的计算。2.能力目标：培养逆向思维，让同学们理解逆运算的思想。教学重点1.凑微分核心思想的理解；2.常见的凑微分的情形。教学难点凑微分法的实际应用教学方法启发式讲授法、直观演示法、讲练结合法教学手段线上线下混合教学：课前观看学习通SPOC课程视频预习、课堂老师讲解、学生练习。教学过程一、课程导入1.复习不定积分的概念、基本积分公式；2.使用学习通系统抢答问题：现在所学的不定积分的求解方法有哪些？3.对视频学习做简要总结。二、讲授引例求不定积分是一种技巧性较高的运算，而利用直接积分法只能计算一些比较简单的不定积分。因此，有必要寻求其他更有效的积分方法，给出例子：三、讲授第一类换元法的定理讲解定理5.2.1，对其进行简要推导说明，明确由复合函数微分的逆运算得到凑微分法。。四、采用讲练结合法进行举例计算1.讲解例题5.2.4到例题5.2.7，并指出这些都是常用的积分公式。2.补充例题：求解答：3.课堂练习互动，讲练结合。练习1：练习2：练习3：练习4：练习5：练习6：结合练习4-6，引导学生中总结当三角函数的次数不一样时，处理方式不一样。五、总结常见的凑微分公式六、补充基本积分表；；。七、布置作业课后题：2（4）（5）（7）（10）八、布置下次课的视频学习学习通系统的5.2（2）节课后总结(1)学生认为求解不定积分是一种技巧性较高的运算，常常没有思路。需要帮助学生理解换元积分法是复合函数微分法的逆运算，熟练掌握常见函数的导数求解，进而熟练掌握常见的凑微分公式。(2)要求学生进行错题订正。遇到积分表中没有公式的积分运算时，需要寻找新的计算方法，并指出在现实生活中也是一样的，遇到难题时，就需要冷静下来仔细分析，寻找新的解决问题的途径。微积分I教案授课题目§5.2换元积分法（二）授课时长45+45分钟课程性质R公共基础课□专业必修课□专业选修课□其它教学模式线上线下混合式线上课程学习通道超星学习通系统的SPOC课程课程内容1.复习不定积分的概念、基本积分公式和第一类换元法2.学习第二类换元积分法3.补充基本积分表教学目标1.知识目标：使学生能够理解第二类换元积分法的思想，熟练掌握利用根式代换、三角代换和倒代换来进行不定积分的计算。2.能力目标：培养逆向思维，以及类比和归纳的能力。教学重点1.第二类换元积分法的思想理解；2.常见的第二类换元积分法的情形。教学难点第二类换元积分法的实际应用教学方法启发式讲授法、直观演示法、讲练结合法教学手段线上线下混合教学：课前观看学习通SPOC课程视频预习、课堂老师讲解、学生练习。教学过程一、课程导入1.复习不定积分的概念、基本积分公式和凑微分法；2.使用学习通系统抢答问题：复合函数微分法和换元积分法的关系是什么？3.对视频学习做简要总结。二、讲授引例问题：解决方法：去根式。，可以通过恰当的变量替换，将不定积分转化为容易求解的形式，这种求解不定积分的方法习惯上称为第二类换元法。三、讲授第一类换元法的定理1.讲解定理5.2.2，对其进行简要推导说明，明确定理存在的条件。2.强调第二类换元法具体求解过程如下：．四、采用讲练结合法进行举例计算1.讲解例题5.2.14和5.2.15，并总结在第二类换元法中常用到如下两种替换规律．（1）若被积函数含有，可令，消去根号；（2）若被积函数含有的不同根指数的根式，为了同时消去根号，可令，其中是这些根指数的最小公倍数。2.讲解常见的三种三角代换方法。当被积函数含有二次根式，，时，可利用三角代换消除根号，简化计算.（1）讲解例题5.2.16，指出当被积函数含有时，可令；（2）讲解例题5.2.17，指出当被积函数含有时，可令；（3）讲解例题5.2.18，指出当被积函数含有时，当时，令,;当时，可作代换。3.补充倒代换。讲解补充例题，求解。解答：令则有，4.有时两类换元法结合使用才有好的效果.例题：。解答：原式五、补充基本积分表六、布置作业课后题：2（13）（14）（15）（16）（17）（19）（20）七、布置下次课的视频学习学习通系统的5.3节课后总结(1)求解不定积分是一种技巧性较高的运算，尤其考验学生观察和分析的能力。实际计算中，仍有部分学生存在换元后忘记回代的问题。(2)用已知求解未知，是数学中常见的思想方法。引导学生把常用求导公式和基本积分表结合起来记忆。微积分I教案授课题目§5.3分部积分法授课时长45+45分钟课程性质R公共基础课□专业必修课□专业选修课□其它教学模式线上线下混合式线上课程学习通道超星学习通系统的SPOC课程课程内容1.分部积分公式2.分部积分法函数和的选取3.结合换元积分法和分部积分法求解不定积分问题教学目标1.知识目标：使学生能够理解分部积分法的思想，熟练掌握利用分部积分法来进行不定积分的求解。2.能力目标：培养逆向思维，培养学生善于观察、分析和总结的习惯。教学重点1.分部积分法思想的理解；2.分部积分法及其应用教学难点如何恰当选取函数和教学方法启发式讲授法、直观演示法、讲练结合法教学手段线上线下混合教学：课前观看学习通SPOC课程视频预习、课堂老师讲解、学生练习。教学过程一、课程导入1.复习不定积分的概念、基本积分公式和换元积分法；2.使用学习通系统抢答问题：写出两个函数乘积的微分公式并拍照上传。3.对视频学习做简要总结。二、讲授引例讲解分部积分公式：三、结合例题讲解并总结选取函数和的规律1.讲解例题5.3,1，5.3.2。规律1：幂函数与指数函数、三角函数相乘，指数函数、三角函数凑微分。2.讲解例题5.3,3，5.3.4。规律2：幂函数与对数函数、反三角函数相乘，幂函数凑微分。3.讲解例题5.3,3，5.3.5。规律3：指数函数与三角函数相乘，都可以凑微分，利用循环积分法。4.总结：使用分部积分公式求解不定积分，关键在于恰当地选取函数和，使待求的不定积分的被积表达式容易凑成的形式，即，，而且不定积分容易求出。四、采用讲练结合法进行综合计算训练五、布置作业课后题：1（2）（3）（6）（7）（10）（11）（13）（14）（15）（17）（18）；2；3（1）（3）六、布置下次课的视频学习学习通系统的5.4节课后总结(1)总结分部积分法和两个函数乘积的微分公式的关系，分部积分法的难点在于选择哪个函数凑微分，需要善于总结、观察和分析。(2)实际面对的不定积分问题有时候需要结合多种方法进行求解，鼓励学生大胆想象实践，遇到问题勤于思考、勇于创造。微积分I教案授课题目§5.4有理函数的积分授课时长45+45分钟课程性质R公共基础课□专业必修课□专业选修课□其它教学模式线上线下混合式线上课程学习通道超星学习通系统的SPOC课程课程内容5.4.1有理函数的概念5.4.2真分式的分解5.4.3部分分式的积分教学目标1.知识目标：使学生能够理解有理函数的概念，熟练掌握有理函数不定积分问题的求解。2.能力目标：培养学生化繁为简的思想，善于思考和总结的习惯。教学重点1.真分式的分解2.部分分式的积分教学难点利用待定系数法进行真分式的分解教学方法启发式讲授法、直观演示法、讲练结合法教学手段线上线下混合教学：课前观看学习通SPOC课程视频预习、课堂老师讲解、学生练习。教学过程一、课程导入1.复习分部积分法；2.使用学习通系统抢答问题：现在所学的不定积分的求解方法有哪些？3.对视频学习做简要总结。二、讲授有理函数的定义1.讲解有理函数的定义。两个多项式的商表示的函数称为有理函数，，其中和都是非负整数；且。总假定分子多项式与分母多项式之间是没有公因式的。当时，为假分式；当时，为真分式。2.给出结论：一个假分式总可以利用多项式除法化为多项式与真分式之和.3.讲解并板书演示多项式除法：。三、讲授真分式的分解1.指出任一真分式总可分解为若干个部分分式之和．其中部分分式是指如下四种“最简真分式”：（1）；（2）；（3）；（4）2.讲解定理5.4.1，由此得出任一真分式总可分解为若干个部分分式之和。3.分解过程中有两点问题值得注意：（1）当分母中含有时，则分解后有下列个部分分式之和：，（3）当分母中含有（），则分解后有下列个部分分式之和．，4.通过讲解例题5.4.1，讲授如何利用待定系数法来进行真分式的分解。待定系数可以采用系数比较法或者赋值法进行求解。四、讲授部分分式的积分1.总结类型（1）和（2）的部分分式的不定积分是容易求出的：（1）；（2）．2.通过讲解例题5.4.2和5.4.3，说明类型（3）和（4）的部分分式的不定积分的求解方法，可用配方化简的方法求得。五、讲解例题5.4.5，总结进行有理函数积分的一般步骤：1.将有理函数分解为多项式与真分式之和；2.将真分式分解为若干个部分分式之和；3.求多项式与部分分式的不定积分．六、布置作业课后题：1（4）（5）（6）（8）（9）（10）（11）七、布置下次课的视频学习学习通系统的6.1节课后总结(1)总结求解有理函数不定积分的一般步骤。由于求解有理函数不定积分相对繁琐，在具体问题中应结合被积函数的形式特点，尽可能地灵活变形以简化求解过程。(2)鼓励感兴趣的同学可以自主学习三角函数有理式的不定积分，利用万能公式，可以把三角有理式的积分化为有理函数的积分。微积分II教案授课题目§6.1定积分的概念授课时长45+45分钟课程性质R公共基础课□专业必修课