2025-2026年考研数学一概率统计非参数检验习题集

2025-2026年考研数学一概率统计非参数检验习题集一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将所选项前的字母填在题后的括号内。）1.设总体X服从均匀分布U[0,θ]，θ未知，X1，X2，…，Xn为样本，则下列统计量中不是θ的无偏估计量的是（）A.X（最大值）B.X（最小值）C.(n+1)X（最小值）/nD.(n-1)X（最大值）/n2.在样本容量n固定的情况下，要使样本均值X对总体均值μ的估计方差最小，样本应如何选取？A.任意选取B.选取方差较小的样本C.选取与总体分布一致的样本D.选取均匀分布的样本3.设总体X的概率密度函数为f(x;θ)=θx^(θ-1)，0<x<1，θ>0，则θ的矩估计量为（）A.1/n∑(Xi)^2B.1/n∑lnXiC.(1/n∑Xi)^(-1)D.(n/∑lnXi)^(-1)4.对于连续型总体X，若X1，X2，…，Xn为样本，则样本中位数Mdn是X的一个（）A.无偏估计量B.有效性估计量C.一致性估计量D.稳健估计量5.设总体X的概率分布为P(X=k)=C(k+1)θ^(k+1)/(1-θ)^(k+2)，k=0,1,2,…，θ∈(0,1)，则θ的极大似然估计量为（）A.1/(1+∑Xi)B.1/(1+∑ln(1-Xi))C.(1/∑Xi)^2D.(1/∑lnXi)^26.设总体X的概率密度函数为f(x;θ)=θe^(-θx)，x>0，θ>0，则θ的极大似然估计量的渐近分布为（）A.N(θ,θ^2)B.N(θ,1/θ^2)C.χ^2(2θ)D.F(2θ,1)7.对于非参数检验，下列说法正确的是（）A.需要假设总体分布已知B.只能处理小样本问题C.不需要关于总体分布的假设D.只能检验总体均值8.设总体X的概率密度函数为f(x;θ)=θ/(1+x^2)，θ>0，则θ的矩估计量为（）A.1/(1+∑Xi^2)B.1/(1+∑ln(1+Xi^2))C.(1/∑Xi^2)^2D.(1/∑ln(1+Xi^2))^29.对于符号检验法，下列说法正确的是（）A.需要假设总体分布对称B.只能处理两个样本的比较C.不需要关于总体分布的假设D.只能检验总体中位数10.设总体X的概率密度函数为f(x;θ)=θx^(θ-1)，0<x<1，θ>0，则θ的极大似然估计量的渐近方差为（）A.1/(nθ^2)B.1/(nθ^3)C.1/(n(θ-1)^2)D.1/(n(θ-1)^3)二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。请将答案填在题中横线上。）1.设总体X的概率密度函数为f(x;θ)=θe^(-θx)，x>0，θ>0，则θ的矩估计量为______。2.设总体X的概率密度函数为f(x;θ)=θ/(1+x^2)，θ>0，则θ的极大似然估计量为______。3.设总体X的概率分布为P(X=k)=C(k+1)θ^(k+1)/(1-θ)^(k+2)，k=0,1,2,…，θ∈(0,1)，则θ的矩估计量为______。4.对于连续型总体X，若X1，X2，…，Xn为样本，则样本中位数Mdn是X的一个______估计量。5.设总体X的概率密度函数为f(x;θ)=θx^(θ-1)，0<x<1，θ>0，则θ的极大似然估计量的渐近方差为______。6.对于符号检验法，若样本容量为n，正号个数为a，负号个数为b，则检验统计量T的分布为______。7.设总体X的概率密度函数为f(x;θ)=θ/(1+x^2)，θ>0，则θ的矩估计量的渐近方差为______。8.对于秩和检验法，若样本容量分别为n1和n2，则检验统计量W的渐近分布为______。9.设总体X的概率密度函数为f(x;θ)=θx^(θ-1)，0<x<1，θ>0，则θ的矩估计量的渐近分布为______。10.对于K-S检验法，若样本容量为n，检验统计量Dn的渐近分布为______。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。请将判断结果填在题后的括号内，正确的填“√”，错误的填“×”。）1.设总体X的概率密度函数为f(x;θ)=θe^(-θx)，x>0，θ>0，则θ的矩估计量为1/(1+∑Xi)。（）2.对于连续型总体X，若X1，X2，…，Xn为样本，则样本极差R是X的一个一致性估计量。（）3.设总体X的概率分布为P(X=k)=C(k+1)θ^(k+1)/(1-θ)^(k+2)，k=0,1,2,…，θ∈(0,1)，则θ的极大似然估计量为1/(1+∑Xi)。（）4.对于符号检验法，若样本容量为n，正号个数为a，负号个数为b，则检验统计量T的分布为N(0.5n,0.25n)。（）5.设总体X的概率密度函数为f(x;θ)=θ/(1+x^2)，θ>0，则θ的矩估计量为1/(1+∑Xi^2)。（）6.对于秩和检验法，若样本容量分别为n1和n2，则检验统计量W的渐近分布为N((n1(n1+n2))/2,((n1n2(n1+n2))/12)^(1/2))。（）7.设总体X的概率密度函数为f(x;θ)=θx^(θ-1)，0<x<1，θ>0，则θ的矩估计量的渐近分布为N(θ,θ^2/n)。（）8.对于K-S检验法，若样本容量为n，检验统计量Dn的渐近分布为N(0,1)。（）9.设总体X的概率密度函数为f(x;θ)=θ/(1+x^2)，θ>0，则θ的矩估计量的渐近方差为1/(nθ^2)。（）10.对于游程检验法，若样本容量为n，游程数R的分布为N(2n/(n+1),2n(n-1)/(n+1)^2)。（）四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。请将答案写在答题卡上。）1.简述非参数检验的特点。2.简述矩估计法的基本思想。3.简述极大似然估计法的基本思想。4.简述符号检验法的原理。5.简述秩和检验法的原理。6.简述K-S检验法的原理。7.简述游程检验法的原理。8.简述样本中位数作为总体中位数估计量的优点。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分。请将答案写在答题卡上。）1.设总体X的概率密度函数为f(x;θ)=θe^(-θx)，x>0，θ>0，X1，X2，…，Xn为样本，求θ的矩估计量。2.设总体X的概率密度函数为f(x;θ)=θ/(1+x^2)，θ>0，X1，X2，…，Xn为样本，求θ的极大似然估计量。3.设总体X的概率分布为P(X=k)=C(k+1)θ^(k+1)/(1-θ)^(k+2)，k=0,1,2,…，θ∈(0,1)，X1，X2，…，Xn为样本，求θ的矩估计量。4.设总体X的概率密度函数为f(x;θ)=θx^(θ-1)，0<x<1，θ>0，X1，X2，…，Xn为样本，求θ的极大似然估计量。5.对于符号检验法，若样本容量为n，正号个数为a，负号个数为b，求检验统计量T的分布。6.对于秩和检验法，若样本容量分别为n1和n2，求检验统计量W的渐近分布。7.对于K-S检验法，若样本容量为n，求检验统计量Dn的渐近分布。8.对于游程检验法，若样本容量为n，求游程数R的分布。六、案例分析题（本大题共9小题，每小题2分，共18分。请将答案写在答题卡上。）1.某工厂生产一种零件，其长度X服从均匀分布U[0,θ]，θ未知。随机抽取10个零件，测得长度分别为：1.2，1.5，1.3，1.4，1.6，1.7，1.8，1.9，2.0，2.1。求θ的矩估计值。2.某医生研究一种新药对血压的影响，随机抽取10名患者，服药前后的血压分别为：服药前：150，148，152，146，150，148，152，154，150，148；服药后：145，147，151，145，149，146，150，148，147，145。试用符号检验法检验服药前后血压是否有显著差异。3.某公司生产两种型号的电池，随机抽取10个A型号电池和10个B型号电池，测得寿命分别为：A型号：50，52，53，54，55，56，57，58，59，60；B型号：45，47，49，51，53，55，57，59，61，63。试用秩和检验法检验两种型号电池的寿命是否有显著差异。4.某研究人员研究某地区成年男性的身高分布，随机抽取100名成年男性，测得身高数据。试用K-S检验法检验该地区成年男性身高是否服从正态分布。5.某公司生产一种产品，其质量指标X服从均匀分布U[0,θ]，θ未知。随机抽取20个产品，测得质量指标分别为：1.2，1.5，1.3，1.4，1.6，1.7，1.8，1.9，2.0，2.1，2.2，2.3，2.4，2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，3.0，3.1。求θ的极大似然估计值。6.某研究人员研究某地区成年女性的体重分布，随机抽取100名成年女性，测得体重数据。试用游程检验法检验该地区成年女性体重是否服从正态分布。7.某工厂生产一种零件，其直径X服从均匀分布U[0,θ]，θ未知。随机抽取15个零件，测得直径分别为：1.2，1.5，1.3，1.4，1.6，1.7，1.8，1.9，2.0，2.1，2.2，2.3，2.4，2.5，2.6。求θ的矩估计值。8.某医生研究一种新药对体温的影响，随机抽取10名患者，服药前后的体温分别为：服药前：37.0，37.2，37.4，37.6，37.8，38.0，38.2，38.4，38.6，38.8；服药后：36.8，37.0，37.2，37.4，37.6，37.8，38.0，38.2，38.4，38.6。试用符号检验法检验服药前后体温是否有显著差异。9.某公司生产两种型号的灯泡，随机抽取10个A型号灯泡和10个B型号灯泡，测得寿命分别为：A型号：1000，1020，1040，1060，1080，1100，1120，1140，1160，1180；B型号：980，1000，1020，1040，1060，1080，1100，1120，1140，1160。试用秩和检验法检验两种型号灯泡的寿命是否有显著差异。七、论述题（本大题共11小题，每小题2分，共22分。请将答案写在答题卡上。）1.论述非参数检验的优点和缺点。2.论述矩估计法的基本思想和步骤。3.论述极大似然估计法的基本思想和步骤。4.论述符号检验法的原理和应用。5.论述秩和检验法的原理和应用。6.论论K-S检验法的原理和应用。7.论述游程检验法的原理和应用。8.论述样本中位数作为总体中位数估计量的优点和缺点。9.论述非参数检验在实践中的应用价值。10.论述非参数检验与参数检验的区别和联系。11.论述非参数检验的发展趋势。【标准答案及解析】一、单项选择题1.D解析：θ的极大似然估计量为(1/∑lnXi)^2，而不是(n-1)X（最大值）/n。2.C解析：样本均值X对总体均值μ的估计方差为θ^2/n，要使其最小，应选取与总体分布一致的样本。3.B解析：总体X的期望为E(X)=1/θ，故θ的矩估计量为1/n∑lnXi。4.D解析：样本中位数Mdn对总体分布的假设较少，是一种稳健估计量。5.A解析：似然函数为L(θ)=θ^(n∑(Xi+1))/(1-θ)^(n∑(Xi+1))，取对数后对θ求导，得θ的极大似然估计量为1/(1+∑Xi)。6.B解析：θ的极大似然估计量的渐近分布为N(θ,1/θ^2)。7.C解析：非参数检验不需要关于总体分布的假设。8.A解析：总体X的期望为E(X)=θ/(1+θ)，故θ的矩估计量为1/(1+∑Xi^2)。9.C解析：符号检验法不需要关于总体分布的假设。10.B解析：θ的极大似然估计量的渐近方差为1/(nθ^3)。二、填空题1.1/(1+∑Xi)解析：总体X的期望为E(X)=1/θ，故θ的矩估计量为1/n∑Xi=1/(1+∑Xi)。2.1/(1+∑Xi^2)解析：似然函数为L(θ)=θ^(n)/(1+∑(Xi^2))^(n)，取对数后对θ求导，得θ的极大似然估计量为1/(1+∑Xi^2)。3.1/(1+∑Xi)解析：总体X的期望为E(X)=θ/(1-θ)，故θ的矩估计量为1/n∑Xi=1/(1+∑Xi)。4.稳健解析：样本中位数Mdn对总体分布的假设较少，是一种稳健估计量。5.1/(nθ^3)解析：θ的极大似然估计量的渐近方差为1/(nθ^3)。6.二项分布B(n,0.5)解析：检验统计量T为正号个数a，负号个数b，故T～B(n,0.5)。7.1/(nθ^2)解析：θ的矩估计量的渐近方差为1/(nθ^2)。8.N((n1(n1+n2))/2,((n1n2(n1+n2))/12)^(1/2))解析：检验统计量W的渐近分布为N((n1(n1+n2))/2,((n1n2(n1+n2))/12)^(1/2))。9.N(θ,θ^2/n)解析：θ的矩估计量的渐近分布为N(θ,θ^2/n)。10.N(0,1)解析：检验统计量Dn的渐近分布为N(0,1)。三、判断题1.×解析：θ的矩估计量为1/(1+∑Xi)，而不是1/(1+∑Xi)。2.√解析：样本极差R是X的一个一致性估计量。3.×解析：θ的极大似然估计量为1/(1+∑Xi)，而不是1/(1+∑Xi)。4.√解析：检验统计量T为正号个数a，负号个数b，故T～B(n,0.5)。5.√解析：θ的矩估计量为1/(1+∑Xi^2)。6.√解析：检验统计量W的渐近分布为N((n1(n1+n2))/2,((n1n2(n1+n2))/12)^(1/2))。7.√解析：θ的矩估计量的渐近分布为N(θ,θ^2/n)。8.√解析：检验统计量Dn的渐近分布为N(0,1)。9.×解析：θ的矩估计量的渐近方差为1/(nθ^2)，而不是1/(nθ^2)。10.×解析：游程数R的分布为N(2n/(n+1),2n(n-1)/(n+1)^2)，而不是N(2n/(n+1),2n(n-1)/(n+1)^2)。四、简答题1.简述非参数检验的特点。非参数检验的特点是不依赖于总体分布的具体形式，适用于数据不服从特定分布的情况，检验效率较高，但检验精度较低。2.简述矩估计法的基本思想。矩估计法的基本思想是用样本矩估计总体矩，进而得到总体参数的估计量。3.简述极大似然估计法的基本思想。极大似然估计法的基本思想是选择使样本似然函数达到最大的参数值作为参数的估计值。4.简述符号检验法的原理。符号检验法的原理是通过比较样本中正负符号的个数来检验两个样本是否来自同一总体。5.简述秩和检验法的原理。秩和检验法的原理是通过比较两个样本的秩和来检验两个样本是否来自同一总体。6.简述K-S检验法的原理。K-S检验法的原理是通过比较样本分布函数与理论分布函数的偏差来检验样本是否服从特定分布。7.简述游程检验法的原理。游程检验法的原理是通过比较样本中游程的个数来检验样本是否服从特定分布。8.简述样本中位数作为总体中位数估计量的优点。样本中位数作为总体中位数估计量的优点是对总体分布的假设较少，是一种稳健估计量。五、应用题1.设总体X的概率密度函数为f(x;θ)=θe^(-θx)，x>0，θ>0，X1，X2，…，Xn为样本，求θ的矩估计量。解：总体X的期望为E(X)=1/θ，故θ的矩估计量为1/n∑Xi。2.设总体X的概率密度函数为f(x;θ)=θ/(1+x^2)，θ>0，X1，X2，…，Xn为样本，求θ的极大似然估计量。解：似然函数为L(θ)=θ^(n)/(1+∑(Xi^2))^(n)，取对数后对θ求导，得θ的极大似然估计量为1/(1+∑Xi^2)。3.设总体X的概率分布为P(X=k)=C(k+1)θ^(k+1)/(1-θ)^(k+2)，k=0,1,2,…，θ∈(0,1)，X1，X2，…，Xn为样本，求θ的矩估计量。解：总体X的期望为E(X)=θ/(1-θ)，故θ的矩估计量为1/n∑Xi=1/(1+∑Xi)。4.设总体X的概率密度函数为f(x;θ)=θx^(θ-1)，0<x<1，θ>0，X1，X2，…，Xn为样本，求θ的极大似然估计量。解：似然函数为L(θ)=θ^(n)∏(Xi)^(θ-1)，取对数后对θ求导，得θ的极大似然估计量为1/n∑lnXi。5.对于符号检验法，若样本容量为n，正号个数为a，负号个数为b，求检验统计量T的分布。解：检验统计量T为正号个数a，负号个数b，故T～B(n,0.5)。6.对于秩和检验法，若样本容量分别为n1和n2，求检验统计量W的渐近分布。解：检验统计量W的渐近分布为N((n1(n1+n2))/2,((n1n2(n1+n2))/12)^(1/2))。7.对于K-S检验法，若样本容量为n，求检验统计量Dn的渐近分布。解：检验统计量Dn的渐近分布为N(0,1)。8.对于游程检验法，若样本容量为n，求游程数R的分布。解：游程数R的分布为N(2n/(n+1),2n(n-1)/(n+1)^2)。六、案例分析题1.某工厂生产一种零件，其长度X服从均匀分布U[0,θ]，θ未知。随机抽取10个零件，测得长度分别为：1.2，1.5，1.3，1.4，1.6，1.7，1.8，1.9，2.0，2.1。求θ的矩估计值。解：θ的矩估计量为1/(1+∑Xi)，代入数据得θ的矩估计值为1/(1+1.2+1.5+1.3+1.4+1.6+1.7+1.8+1.9+2.0+2.1)=1.0。2.某医生研究一种新药对血压的影响，随机抽取10名患者，服药前后的血压分别为：服药前：150，148，152，146，150，148，152，154，150，148；服药后：145，147，151，145，149，146，150，148，147，145。试用符号检验法检验服药前后血压是否有显著差异。解：正号个数为a=5，负号个数为b=4，检验统计量T=a+b=9，查表得临界值为7，由于9>7，拒绝原假设，即服药前后血压有显著差异。3.某公司生产两种型号的电池，随机抽取10个A型号电池和10个B型号电池，测得寿命分别为：A型号：50，52，53，54，55，56，57，58，59，60；B型号：45，47，49，51，53，55，57，59，61，63。试用秩和检验法检验两种型号电池的寿命是否有显著差异。解：合并样本并排序，得秩和为W=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100，查表得临界值为90，由于100>90，拒绝原假设，即两种型号电池的寿命有显著差异。4.某研究人员研究某地区成年男性的身高分布，随机抽取100名成年男性，测得身高数据。试用K-S检验法检验该地区成年男性身高是否服从正态分布。解：计算样本分布函数与理论分布函数的偏差，得Dn=0.05，查表得临界值为1.36，由于0.05<1.36，不能拒绝原假设，即该地区成年男性身高服从正态分布。5.某公司生产一种产品，其质量指标X服从均匀分布U[0,θ]，θ未知。随机抽取20个产品，测得质量指标分别为：1.2，1.5，1.3，1.4，1.6，1.7，1.8，1.9，2.0，2.1，2.2，2.3，2.4，2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，3.0，3.1。求θ的极大似然估计值。解：θ的极大似然估计量为1/(1+∑Xi)，代入数据得θ的极大似然估计值为1/(1+1.2+1.5+1.3+1.4+1.6+1.7+1.8+1.9+2.0+2.1+2.2+2.3+2.4+2.5+2.6+2.7+2.8+2.9+3.0+3.1)=1.0。6.某研究人员研究某地区成年女性的体重分布，随机抽取100名成年女性，测得体重数据。试用游程检验法检验该地区成年女性体重是否服从正态分布。解：计算游程数R，得R=50，查表得临界值为44和56，由于50在44和56之间，不能拒绝原假设，即该地区成年女性体重服从正态分布。7.某工厂生产一种零件，其直径X服从均匀分布U[0,θ]，θ未知。随机抽取15个零件，测得直径分别为：1.2，1.5，1.3，1.4，1.6，1.7，1.8，1.9，2.0，2.1，2.2，2.3，2.4，2.5，2.6。求θ的矩估计值。解：θ的矩估计量为1/(1+∑Xi)，代入数据得θ的矩估计值为1/(1+1.2+1.5+1.3+1.4+1.6+1.7+1.8+1.9+2.0+2.1+2.2+2.3+2.4+2.5+2.6)=1.0。8.某医生研究一种新药对体温的影响，随机抽取10名患者，服药前后的体温分别为：服药前：37.0，37.2，37.4，37.6，37.8，38.0，38.2，38.4，38.6，38.8；服药后：36.8，37.0，37.2，37.4，37.6，37.8，38.0，38.2，38.4，38.6。试用符号检验法检验服药前后体温是否有显著差异。解：正号个数为a=5，负号个数为b=4，检验统计量T=a+b=9，查表得临界值为7，由于9>7，拒绝原假设，即服药前后体温有显著差异。9.某公司生产两种型号的灯泡，随机抽取10个A型号灯泡和10个B型号灯泡，测得寿命分别为：A型号：1000，1020，1040，1060，1080，1100，1120，1140，1160，1180；B型号：980，1000，1020，1040，1060，1080，1100，1120，1140，1160。试用秩和检验法检验两种型号灯泡的寿命是否有显著差异。解：合并样本并排序，得秩和为W=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100，查表得临界值为90，由于100>90，拒绝原假设，即两种型号灯泡的寿命有显著差异。七、论述题1.论述非参数检验的优点和缺点。非参数检验的优点是不依赖于总体分布的具体形式，适用于数据不服从特定分布的情况，检验效率较高，但检验精度较低。非参数检验的缺点是检验精度较低，对于小样本问题，检验效果较差。2.论述矩估计法的基本思想和步骤。矩估计法的基本思想是用样本矩估计总体矩，进而得到总体参数的估计量。步骤如下：首先计算样本矩，然后建立样本矩与总体矩的方程，最后解方程得到总体参数的估计量。3.论述极大似然估计法的基本思想和步骤。极大似然估计法的基本思想是选择使样本