2027版三维设计 高中总复习数学第三章重难专攻4　函数的零点问题

重难专攻4函数的零点问题重难解读

利用导数研究函数的零点问题是高考的热点，主要涉及判断、证明或讨论函数零点的个数、已知函数零点存在情况求参数及由函数零点性质研究其他问题等，多以解答题的形式出现，难度较大.数形结合法研究函数的零点（师生共研过关）

（2025·天津高考20题改编）已知函数f（x）＝ax－（ln

x）2.（1）a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

（2）若f（x）有3个零点，试求a的取值范围.

当x变化时，g'（x），g（x）的变化如表所示：x（0，1）1（1，e2）e2（e2，＋∞）g'（x）－0＋0－g（x）单调递减0单调递增单调递减

含参数的函数零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，可

将参数分离出来后，用自变量x表示不含参数的函数，作出该函数的图

象，根据图象特征求参数范围.

函数性质法研究函数的零点（师生共研过关）

因为x＝0时，f（x）＝0，当x→＋∞时，f（x）→－∞，且f（x0）＞f

（0）＝0，所以f（x）在（x0，＋∞）上有唯一的零点，所以f（x）在（0，＋∞）

上有唯一的零点.

（1）讨论f（x）的单调性；

当a≥0时，因为x＞－1，所以x＋1＋a≥x＋1＞0，即f'（x）＞0，则f

（x）在定义域（－1，＋∞）上单调递增；当a＜0时，由f'（x）＜0⇒－1＜x＜－1－a；由f'（x）＞0⇒x＞－1－

a，所以f（x）在（－1，－1－a）上单调递减，在（－1－a，＋∞）上单

调递增.综上，当a≥0时，f（x）在定义域内单调递增；当a＜0时，f（x）在（－1，－1－a）上单调递减，在（－1－a，＋

∞）上单调递增.（2）若f（x）在区间（－1，0）内恰有一个零点，求a的取值范围.解：由（1）知，当a≥0时，f（x）在（－1，＋∞）上单调递增，且注

意到f（0）＝0，因此f（x）在区间（－1，0）内无零点；当a＜0时，考虑到f（0）＝0，x→－1时，f（x）→＋∞，为使f（x）

在（－1，0）内有零点，则极小值点小于零，即－1－a＜0⇒a＞－1，结合a＜0，得a的取值范围为（－1，0）.构造法研究函数的零点（师生共研过关）

当x∈（0，e）时，g'（x）＞0，此时g（x）单调递增；当x∈（e，＋∞）时，g'（x）＜0，此时g（x）单调递减.

在研究较复杂函数的零点（求较复杂方程的根）时，需构造出相应的

函数，依据该函数的性质（单调性、极值等）求出函数的零点（方程的

根），或利用函数的零点（方程的根）求参数的取值范围.训练3已知f（x）＝ax2（a∈R），g（x）＝2ln

x，若方程f（x）＝g

（x）在区间[1，e]上有两个不相等的解，求a的取值范围.

课时跟踪检测（时间：45分钟，满分：50分）1.

（10分）（2025·山东烟台一模节选）已知函数f（x）＝x（x－3）2，

若函数g（x）＝f（x）＋a有三个不同的零点，求实数a的取值范围.解：由f（x）＝x（x－3）2，求导可得f'（x）＝3（x－1）（x－3），令f'（x）＝0，解得x＝1或x＝3，当x变化时，f（x），f'（x）的变化情况如表所示.x（－∞，1）1（1，3）3（3，＋∞）f'（x）＋0－0＋f（x）单调递增4单调递减0单调递增1234所以函数f（x）的极大值为f（1）＝4，极小值为f

（3）＝0，函数g（x）＝f（x）＋a存在三个零点，等价于函数f

（x）图象与直线y＝－a存在三个交点，作出f（x）的图象，如图.由图可得0＜－a＜4，则－4＜a＜0.故a的取值范围是（－4，0）.12342.

（10分）已知函数f（x）＝（x－1）ex－x2，试求f（x）的零点个数.解：由题可得f'（x）＝xex－2x＝x（ex－2），令f'（x）＝0，解得x＝0或x＝ln

2，令f'（x）＜0，解得0＜x＜ln

2；令f'（x）＞0，解得x＜0或x＞ln

2，所以f（x）的单调递减区间为（0，ln

2），单调递增区间为（－∞，

0），（ln

2，＋∞）.由于f（0）＝－1＜0，则f（x）在（－∞，0）上无零点；由于f（ln

2）＝2（ln

2－1）－（ln

2）2＜0，则f（x）在（0，ln

2）上无

零点；由于f（2）＝e2－4＞0，则f（x）在（ln

2，2）上存在唯一零点.综上，函数f（x）在R上存在唯一零点.12343.

（15分）已知函数f（x）＝ln

x＋ax＋2.（1）若函数f（x）在x＝1处取得极值，求a的值；

1234（2）若函数f（x）在定义域内存在两个零点，求a的取值范围.

1234

12344.

（15分）已知函数f（x）＝ax与g（x）＝logax（a＞0，且a≠1