23.1.1 第1课时 正切 教学课件 2026-2027学年沪科版九年级数学上册

第23章解直角三角形23.1

锐角三角函数第1课时

正

切1

锐角三角函数学习目标学习重难点重点难点1.理解锐角三角形函数中正切的概念及其与现实生活的联系.2.能在直角三角形中求出某个锐角的正切值，并进行简单计算.3.了解坡度、坡角的概念，能解决与坡度、坡角有关的问题.理解正切的意义，用正切值表示直角三角形中两边的比．从现实情境中理解正切的意义.创设情境想一想:你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？

根据生活常识，我们知道：当两个梯子上端在同一高度时，底端离墙体近的梯子更陡.探索新知

汽车免不了爬坡，爬坡能力是衡量汽车性能的重要指标之一．汽车的爬坡能力是指汽车在满载时所能爬越的最大坡度．如图，怎样描述坡面的坡度(倾斜程度)呢？接下来我们借助直角三角形研究坡面的坡度.交流1：如图，有两个直角三角形，直角边AC与A1C1表示水平面，斜边AB与A1B1分别表示两个不同的坡面．问题：坡面AB和A1B1哪个更陡？你是怎样判断的？因为AC=A1C1，所以只要比较BC和B1C1的长度即可，B1C1＞BC，所以坡面A1B1比坡面AB更陡．结合梯子考虑：当水平宽度一样,铅直高度越大,梯子越陡交流2：如图，有两个直角三角形，直角边AC与A1C1表示水平面，斜边AB与A1B1分别表示两个不同的坡面．问题：坡面AB和A1B1哪个更陡？你是怎样判断的？因为B1C1=BC，所以只要比较AC和A1C1的长度即可，A1C1＜AC，所以坡面A1B1比坡面AB更陡．结合梯子考虑：当铅直高度一样,水平宽度越小,梯子越陡交流3：如图，有两个直角三角形，直角边AC与A2C2表示水平面，斜边AB与A1B1分别表示两个不同的坡面．问题：坡面AB和A2B2哪个更陡？你是怎样判断的？

坡面A2B2比坡面AB更陡．根据前面的分析，可知：三角形③的坡面A2B2比三角形②的坡面A1B1更陡；三角形②的坡面A1B1比三角形①的坡面AB更陡.所以，三角形①和③比较，坡面A2B2比坡面AB更陡．问题：分别计算三个三角形的垂直高度与水平宽度的比值.

你有什么发现？

发现：三角形③的比值最大，并且通过观察，三角形③中∠A2最大.猜想：坡面的垂直高度和水平宽度的比值越大，坡面就会越陡．如何验证猜想？

如图，在锐角A的一边任取一点B，过点B作另一边的垂线BC，垂足为点C，得到Rt△ABC；再任取一点B1，过点B1作另一边的垂线B1C1，垂足为C1，得到另一个Rt△AB1C1……这样，我们可以得到无数个直角三角形，在这些直角三角形中，两邻边之比有怎样的关系？

锐角A的正切值可以等于1吗？为什么？可以大于1吗？ABC解：可以等于1，此时为等腰直角三角形；也可以大于1，甚至可逼近于无穷大.对于锐角A的每一个确定的值，tanA都有唯一的确定的值与它对应.定义中的几点说明：1.初中阶段，正切是在直角三角形中定义的，∠A是一个锐角.2.tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切.但∠BAC的正切表示为:tan∠BAC.∠1的正切表示为:tan∠1.3.tanA>0且没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中锐角∠A的对边与邻边的比（注意顺序：）.4.tanA不表示“tan”乘以“A”.5.tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关.对邻正切通常也用来描述山坡的坡度.

坡度越大，坡角越大，坡面就越陡.

小结：坡度(i=tanα)越大，坡角α越大，坡面就越陡．教材例题【例】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，

BC=3，求tan

A和tanB的值．

例题示范

例1如图，△ABC是等腰直角三角形，你能根据图中所给数据求出tanC吗？1.5ABCD3解：∵△ABC是等腰直角三角形,BD⊥AC，∴CD＝1.5，∴.例2

下图表示两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡?提示:在生活中,常用一个锐角的正切表示梯子的倾斜程度.解：甲梯中，

，

乙梯中，.

∵tanβ＞tanα,∴乙梯更陡.

ABCi＝1∶32米B随堂练习2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7，BC=5，则tanA=_____，

tanB=______．

A3.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100倍,tanA的值()A.扩大100倍B.缩小100倍C.不变D.不能确定4.如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤坝高BC=50m，则迎水坡面AB的长度是()A.100mB.100m

C.150mD.50mCA拓展提升解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，

∴在Rt△ABD中，

∵BD=5，AD=12.

∴.提示:过点A作AD垂直于BC于点D.求锐角三角函数时,勾股定理的运用是很重要的.1.在等腰△ABC中,AB=AC=13,

BC=10