23.2 第4课时 坡角、坡度问题 教学课件 2026-2027学年沪科版九年级数学上册

第23章解直角三角形23.2

解直角三角形及其应用第4课时

坡角、坡度问题学习目标学习重难点重点难点1..加强对坡度、坡角、坡面概念的理解和认识，了解坡度与坡面陡峭程度间的关系.2.能把一些较复杂的图形转化为解直角三角形的问题.3.能解决堤坝等关于斜坡的实际问题，提高解决实际问题的能力.坡度、坡角、坡面的概念，了解坡度与坡面陡峭程度间的关系.利用解直角三角形的知识，解决与坡度有关的实际问题．回顾复习

创设情境如图，从山脚到山顶有两条路AB与BC，问哪条路比较陡？ABC如何用数量来刻画哪条路陡呢？例1如图，铁路路基的横断面是梯形ABCD，AD∥BC，路基顶宽BC=9.8m，路基高BE=5.8m，斜坡AB的坡度i=1∶1.6，斜坡CD的坡度i’=1∶2.5，求铁路路基下底宽AD的值(精确到0.1m)和斜坡的坡角α和β

的值(精确到1°).例题示范

例题示范例2如图，一山坡的坡度为i=1:2.小刚从山脚A出发，沿山坡向上走了240m到达点C.这座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米(角度精确到0.01°，长度精确到0.1m)？i=1:2ACB

例3某公园有一滑梯，横截面如图所示，AB表示楼梯，BC表示平台，CD表示滑道.若点E、F均在线段AD上，四边形BCEF是矩形，且，BF=3m，BC=1m，CD=6m.求：（1）∠D的读度数；（2）线段AD的长.

思考与测坝高相比，测山高的困难在于:坝坡是“直”的，而山坡是“曲”的，怎样解决这样的问题呢？我们设法“化曲为直，以直代曲”．我们可以把山坡“化整为零”地划分为一些小段，如图表示其中一部分小段，划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直”的，可以量出这段坡长l1，测出相应的仰角α1，这样就可以算出这段山坡的高度h1=l1sinα1.在每小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算出各段山坡的高度h1,h2,…,hn,然后我们再“积零为整”，把h1,h2,…,hn相加，于是得到山高h.

以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在数学中有重要地位，在今后的学习中，你会更多地了解这方面的内容．

随堂练习

第1题图第2题图BC3.如图，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为(

)A.米B.米C.5sinα

米D.米B4.小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上．如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为(

)A.米B.12米C.米D.10米A5．水库拦水坝的横断面是四边形ABCD，AD∥BC，背水坡CD的坡比i＝1∶1，已知背水坡的坡长CD＝24m，则背水坡的坡角α为______，拦水坝的高度为_______m.6．如图，在坡比为i＝1∶2的山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是6m，斜坡上相邻两树间的坡面距离是______m．45°拓展提升1.如图，某拦河坝截面的原设计方案为：AH∥BC，坡角∠ABC＝74°，坝顶到坝脚的距离AB＝6m．为了提高拦河坝的安全性，现将坡角改为55°，由此，点A需向右平移至点D，请你计算AD的长(精确到0.1m)．解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，在Rt△ABE中，,∴AE=ABsin∠ABE=6sin74°≈5.77.

,∴BE=ABcos∠ABE=6cos74°≈1.65.∵AH∥BC，∴DF=AE≈5.77.在Rt△BDF中，,

，∴AD=EF=BF－BE≈4.04－1.65≈2.4m.

归纳小结

归纳小结化整为零，积零为整，化曲为直，以直代曲的解决问题的策略解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情况灵活运用相关知识，例如，当我们要测量如图所示大坝的高度h时，只要测出仰角a