29.2.1 垂直于弦的直径 教学课件 2026-2027学年人教版初中数学九年级上册

第二十九章

圆29.2.1

垂直于弦的直径1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.2.能由圆的轴对称性推导垂径定理及其推论.3.能灵活运用垂径定理及其推论解决有关圆的问题.1.圆的定义是什么？·旋转性定义：在一个平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点P所形成的图形叫作圆．集合定义：圆心为

O，半径为

r

的圆可以看成是所有到定点

O

的距离等于定长

r

的点的集合.2.什么叫作弦？连接圆上任意两点的线段叫作弦，经过圆心的弦叫作直径.弦直径3.什么叫作弧？圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧.弧探究：剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，你发现了什么？重复做几次，由此你能得到圆具有怎样的对称性？能证明你的结论吗？圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.知识点1：圆的轴对称性分析：要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在直线（对称轴）的对称点也在圆上.OMM′AB如何证明？圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.如图，设AB是⊙O中的任意一条直径，如果M为⊙O上点A，B以外的任意一点，M′是点M关于直线AB的对称点，那么直线AB是线段MM′的垂直平分线.因为圆心O在AB上，所以OM′=OM,因此点M′在⊙O上.如果点M与点A或点B重合，那么结论显然也成立.M′OMABN圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.O直径是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”.圆有无数条对称轴.下列说法中，不正确的是()A.圆既是轴对称图形，又是中心对称图形

B.圆绕着它的圆心旋转任意角度，都能与它自身重合C.圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个

D.圆的每一条直径都是它的对称轴解析：圆的每条直径所在的直线都是它的对称轴，D错误.故选D.D问题1：如图所示,从上面的解答过程可知,如果☉O的直径AB垂直于弦MM',垂足为N,那么M和M'是关于直径AB的对称点,图中除OA=OB外,还有哪些相等的线段和劣弧?知识点2：垂径定理及其推论

问题2：(1)如图,若直径AB与弦MM'相交于点N,且AB平分MM',弦MM'不过圆心O,则AB垂直于MM'吗?图中还有哪些劣弧相等?(2)不一定成立.(2)在(1)中,若弦MM'过圆心O,上面得到的结论还成立吗?垂径定理图形推论文字表述

平分弦,并且平分弦所对的两条弧

文字表述平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且

符号语言符号语言垂直于弦的直径

平分弦所对的两条弧AB

垂径定理及其推论:根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说.如果具备：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.上述五个条件中的任意_____个条件都可以推出其他_____个结论.两三知二推三，可得10个结论！例1：赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400余年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，跨度（弧所对的弦的长）为37m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径长（结果保留小数点后一位）.OCBAD转化AB=37CD=7.23解：如图，AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径长为Rm.OCBADR经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与AB相交于点C，连接OA.根据垂径定理，D是AB的中点，C是AB的中点，CD就是拱高.由题设可知AB=37，CD=7.23，

18.5R–7.23OCBADR18.5R–7.23在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2，即R2=18.52+(R–7.23)2.解得R≈27.3.因此，赵州桥主桥拱的半径长约为27.3m.在垂径定理及其推论的运用中，常涉及弦长a，弦心距d（圆心到弦的距离），半径r及弓形高h（弦所对的弧的中点到弦的距离），这四者关系如下.Orhd

Orhd

1.下列说法中,正确的是 (

)A.垂直于弦的直线必经过圆心B.平分弦的直径必平分弦所对的弧C.平分弦的直径垂直于弦D.弦的垂直平分线必经过圆心D2.已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF，且MN=12cm，EF=16cm，则弦MN和EF之间的距离为__________.14cm或2cm3.某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示,已知AB=16m,半径OA=10m,求蔬菜大棚的高度CD.

解：在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2，∵AB=16m，由垂径定理，得AD=8m.求得OD