高中数学 第3章 三角恒等变形 2 2.3 两角和与差的正切函数教案 北师大版必修4

高中数学第3章三角恒等变形22.3两角和与差的正切函数教案北师大版必修4课题：XX科目：XX班级：XX年级课时：计划1课时教师：XX老师单位：XX一、设计思路本节课以“两角和与差的正切函数”为主线，通过回顾正切函数的基本性质，引导学生探究两角和与差的正切函数公式，进而运用公式解决实际问题。课程设计注重引导学生自主探究、合作交流，通过例题解析和变式训练，巩固学生对两角和与差的正切函数的理解和应用。二、核心素养目标分析本节课旨在培养学生的逻辑推理能力、数学抽象能力和数学建模能力。通过探究两角和与差的正切函数公式，学生能够运用数学语言表达数学思维，发展数学抽象思维；在解决问题的过程中，学会从实际问题中提取数学信息，建立数学模型，提升数学建模能力；同时，通过合作学习和自主探究，增强学生的数学思维品质和解决问题的能力。三、教学难点与重点1.教学重点，

①掌握两角和与差的正切函数公式；

②理解公式的推导过程，理解公式中各部分的关系；

③能够运用公式进行简单的三角恒等变形。

2.教学难点，

①理解两角和与差的正切函数公式的推导逻辑，特别是公式中正切函数的周期性和奇偶性；

②在解决实际问题时，能够灵活运用公式，避免公式使用错误；

③在复杂的多角函数问题中，能够识别并应用两角和与差的正切函数公式，进行有效的恒等变形。四、教学资源软硬件资源：电子白板、计算机、投影仪、三角函数图形计算器

课程平台：北师大版高中数学教学资源平台

信息化资源：两角和与差的正切函数公式推导动画、相关例题解析视频

教学手段：多媒体教学、小组合作学习、板书演示五、教学过程1.导入（约5分钟）

-激发兴趣：展示生活中常见的几何图形，如建筑物的角度、钟表的指针角度等，引导学生思考这些角度与正切函数的关系。

-回顾旧知：回顾正切函数的定义和性质，以及正弦和余弦的和差公式。

2.新课呈现（约25分钟）

-讲解新知：

-详细讲解两角和与差的正切函数公式，包括公式的推导过程和公式中各部分的关系。

-通过几何图形和三角函数图像，帮助学生直观理解公式。

-举例说明：

-通过具体的例子，如计算两个角度的和或差的正切值，展示公式的应用。

-使用几何模型或实际情境，让学生理解公式的实用价值。

-互动探究：

-分组讨论，让学生尝试自己推导两角和与差的正切函数公式。

-进行小组实验，使用计算器验证公式在不同角度下的正确性。

3.巩固练习（约20分钟）

-学生活动：

-学生独立完成练习题，包括应用两角和与差的正切函数公式解决实际问题。

-学生之间互相检查作业，互相纠正错误。

-教师指导：

-教师巡视课堂，观察学生的学习情况，及时给予个别学生指导和帮助。

-教师针对学生的共性问题进行讲解，确保全体学生都能理解。

4.拓展延伸（约10分钟）

-提供一些拓展题目，引导学生思考更复杂的问题，如应用两角和与差的正切函数公式解决三角形的边角关系问题。

-鼓励学生尝试将公式应用于其他数学领域，如解析几何或复数。

5.课堂小结（约5分钟）

-学生总结本节课所学内容，包括两角和与差的正切函数公式及其应用。

-教师点评学生的总结，强调本节课的重点和难点。

6.布置作业（约5分钟）

-布置与两角和与差的正切函数相关的练习题，要求学生独立完成。

-布置一些拓展性的思考题，鼓励学生课后继续探究。六、拓展与延伸六、拓展与延伸

1.提供与本节课内容相关的拓展阅读材料：

-《三角恒等式的应用》选自《高中数学拓展教程》，该材料详细介绍了三角恒等式的各种应用，包括两角和与差的正切函数在内的多种恒等式的应用实例，适合学生深入学习。

-《正切函数的图像与性质》摘自《数学分析导论》，介绍了正切函数的图像特征、周期性、奇偶性等性质，有助于学生更全面地理解正切函数。

-《三角函数在物理学中的应用》选自《高中物理学习指导》，探讨了三角函数在描述物理现象，如振动、波动等中的应用，让学生体会数学与物理的紧密结合。

2.鼓励学生进行课后自主学习和探究：

-学生可以尝试推导两角和与差的正切函数公式的逆公式，并分析其应用。

-探究正切函数在其他三角函数恒等式中的应用，如正弦和余弦的和差公式。

-通过计算器或软件，绘制不同角度的正切函数图像，观察图像的周期性和奇偶性。

-分析在解决实际问题中，如何选择合适的三角恒等式进行变形，提高解题效率。

-研究正切函数在工程学、天文学等领域的应用，撰写小论文，分享学习心得。

-学生可以尝试将正切函数与其他三角函数（如正弦、余弦）进行组合，探究是否存在类似的和差公式，并尝试证明或反证。

3.课外实践项目：

-设计一个基于正切函数的应用项目，如设计一个简单的角度测量工具，利用正切函数计算物体的高度。

-组织一次小组讨论，探讨如何将两角和与差的正切函数公式应用于解决实际问题，如计算复杂几何图形的角度。七、教学评价与反馈1.课堂表现：观察学生在课堂上的参与度、回答问题的积极性以及解决问题的能力。学生能否准确回忆起正切函数的基本性质，是否能在教师的引导下推导出两角和与差的正切函数公式，是否能在练习中正确应用公式进行计算和变形。

2.小组讨论成果展示：评估学生在小组讨论中的表现，包括是否能够积极参与讨论、是否能够提出有建设性的观点、是否能够有效地与同伴合作解决问题。通过小组讨论的成果展示，观察学生对两角和与差的正切函数公式的理解和应用能力。

3.随堂测试：设计一套随堂测试题，包括基础知识和应用题，评估学生对本节课内容的掌握程度。测试题应涵盖两角和与差的正切函数公式的推导、应用以及相关的三角恒等变形。

4.学生自评与互评：鼓励学生进行自我评价和相互评价，反思自己在课堂上的学习表现，包括对知识点的理解程度、参与课堂活动的积极性以及解决问题的能力。通过互评，学生可以学习到他人的优点，同时也能发现自身的不足。

5.教师评价与反馈：针对学生在课堂上的表现和随堂测试的结果，教师进行评价和反馈。对于表现优秀的学生，给予肯定和鼓励；对于存在困难的学生，提供个别辅导，帮助他们克服学习障碍。同时，教师应关注学生的学习态度和方法，提出改进建议，如加强基础知识的学习、提高解题技巧等。八、内容逻辑关系①本文重点知识点：

-两角和与差的正切函数公式

-公式的推导过程

-公式中各部分的关系

②关键词：

-和差公式

-正切函数

-恒等变形

③重点句子：

-“两角和与差的正切函数公式是解决三角恒等变形问题的重要工具。”

-“通过推导公式，我们可以更好地理解正切函数的性质。”

-“在解决实际问题时，灵活运用公式能够简化计算过程。”课后作业1.已知tan(α)=3/4，tan(β)=4/3，求tan(α+β)的值。

解：tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)=(3/4+4/3)/(1-3/4*4/3)=(9/12+16/12)/(1-1)=25/0，由于分母为0，说明tan(α+β)不存在。

2.若tan(α-β)=1/2，且tanα=3，求tanβ的值。

解：tanβ=tan(α-β+β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)=(3-tanβ)/(1+3tanβ)。设tanβ=x，则3-x=2x+1，解得x=1/3，所以tanβ=1/3。

3.已知tan(α+β)=1，tanα=2，求tanβ的值。

解：tanβ=tan(α+β-α)=(tan(α+β)-tanα)/(1+tan(α+β)tanα)=(1-2)/(1+1*2)=-1/3。

4.若tan(α+β)=-1/3，tanα=1/2，求tanβ的值。

解：tanβ=tan(α+β-α)=(tan(α+β)-tanα)/(1+tan(α+β)tanα)=(-1/3-1/2)/(1-1/3*1/2)=(-5/6)/(5/6)=-1。

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