2027高中数学必修1培训讲义3.2.2 奇偶性（含解析）

1知识点1函数的奇偶性一般地，设函数f(x)的定义域为I,如果Vx∈I,都有-x∈I,且f(-x)=f(x),那么函数fx)叫做偶函数.一般地，设函数f(x)的定义域为I,如果Vx∈I,都有-x∈I,且f(-x)=-f(x),那么函数f(x)叫做奇函数.既不是奇函数又不是偶函数的函数，称为非奇非偶函数.定义域必须是关于原点对称的区间.(2)奇偶函数的图象特征(几何意义)②偶函数的图象特征：若一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数.相反的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的②若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数.(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.(2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.2(1)图象关于点成中心对称图形：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数知识点3函数的周期性与对称性T=4(b-a).3【例1】下列函数中是偶函数的是()A.y=2|x|-1,x∈[-2,2]B.y=xC.y=x³D.y=x²,x∈(-2,0)U(0,1]对于A:令h(x)=f(x)+g(x),对于B:令A(x)=f(x)·g(x),则2(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·g(x)=-h(x),故2(x)=f(x)·g(x)对于C:令h₃(x)=f[g(x)],则h₃(-x)=f[8(-x)]=f[-g(x)]=f[8(x)]=h₃(x),故h₃(x)=f[8(x)]为对于D:令h₄(x)=8[f(x)]4【变式1-2】设函,则下列函数中为奇函数的是()A.f(x-1)+1B.f(x+1)+1C.f(x-1)-1对于D,x∈(-∞,-1)U(-1,+∞),【变式1-3】下列函数中，既是奇函数又在区间(0,+∞)上为增函数的是()A.B.y=x²+2xC.D.y=-5A.f(x)=x(x+1)C.f(x)=-x(x+1)【答案】【解析】设-3<x<0,则3>x>0,则有f(-x)=x(-x+1)=-x(x-1),又因为f(x)=-f(-x),所以f(x)=x(x-1),又f(0)=0,所以故答案为：A.x²+2xC.—x²-2x6A.3B.1A.-1,所以a-b=2.7则2(b-3)x=0,即b=3,所以a+b【变式3-4】已知函数f(x)=ax⁵+bx³+cx+5,【解析】由函数f(x)=ax⁵+bx³+cx+5,令g(x)=f(x)-5,则g(x)=ax⁵+bx³+cx,x∈R,故g(-2)=f(-2)-5=2,则g(2)=-2,所以f(2)=g(2)+5=-2+5=3,故选：C8则m的取值范围为()f(2)=0,则不等式xf(x)>0的解集是()C.(-∞,-2)U(0,2)D.(-∞,-2)U(2,+∞)9f(3x-4)<6的解集为()A.(-1,5)B.(-∞,-1)U(C.(-∞,-1)U(2,5)D.(-1,2)U(5,+∞)【变式5-1】定义在R上的函数f(x),g(x),并且满足[f(x)]³=g(x²),则下列一定正确的是()A.f(x)是奇函数B.f(x)是偶函数A.f(0)=1C:令x=0结合换元法可得f(-x),f(x)的关系，由此可判断出奇偶性；D:根据C中f(-x)进行判断.对B,令x=6,y=3,则f(6)-f(3)=f(6-3)+2(6-3)×3,所以Vx∈R,f(x)+f(-x)≥0,故D正确. 排除B,【变式6-2】函的图像大致为()可求解.即f(x)=f(4-x),所以-f(-x3【详解】(1)因为的定义域为[-2,2],关于原点对称，(2)略令y=-x可得：f(0)=f(x)+f(由题意x>0时，有f(x)>0,x₂-x>A.-4B.4C.-2A.-2B.-1CA.-2027B.2C.0所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=因为2027=4×506+3,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2027)=506×[f(1)+f(2)+f(3=506×0+[f(1)+f(3)]+f(2)=【变式8-4】(多选)已知函数y=f(x)满足：对任意实数x,y都有2f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y),且C.f(x)+f(1-x)=0D.f(1)+f(2)求解判断；对C,令,可得再令,可判断；对D,由B、C的解析可得函数f(x)的周期为2,从而可判断D.对于B,令x=0,得2f(0)·f(y)=f(y)+f(所以f(