1.1.2空间向量的数量积运算 教学设计-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册_第1页
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第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1.2空间向量的数量积运算教学设计一、教学目标1.了解空间向量的夹角、模的概念及其表示；2.掌握空间向量的数量积及其运算律；3.能运用向量的数量积解决立体几何中的垂直、夹角、距离或长度等问题.二、教学重难点1.教学重点数量积的计算及其应用.2.教学难点将立体几何问题转化为向量的计算问题.三、教学过程（一）新课导入上节课我们类比平面向量的概念及其线性运算，推出了空间向量的概念及其线性运算，得出任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，那么，两个空间向量的夹角和数量积是否可以像平面向量那样来定义呢？（二）探索新知如下图，已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作，则叫做向量a，b的夹角，记作.如果，那么向量a，b互相垂直，记作.已知两个非零向量a，b，则叫做a，b的数量积，记作.即.零向量与任意向量的数量积为0.由向量的数量积定义，可以得到：；.也记作.如图（1），在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，，向量c称为向量a在向量b上的投影向量.类似地，可以将向量a向直线l投影（如图（2））.如图（3），向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为，得到向量，向量称为向量a在平面β上的投影向量.这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角.空间向量的数量积的运算律：；（交换律）；（分配律）.例1如图，在平行六面体中，，.求：（1）；（2）的长（精确到0.1）.解：（1）.（2），所以.例2如图，m，n是平面α内的两条相交直线.如果，求证：.证明：在平面α内作任意一条直线g，分别在直线l，m，n，g上取非零向量l，m，n，g.因为直线m与n相交，所以向量m，n不平行.由向量共面的充要条件可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使.将上式两边分别与向量l作数量积运算，得.因为，所以，所以，所以.所以.这就证明了直线l垂直于平面α内的任意一条直线，所以.（三）课堂练习1.对于空间向量a，b，c和实数，下列命题中真命题是()A.若，则或 B.若，则或C.若，则或 D.若，则答案：B解析：对于选项A，还包括的情形；对于选项C，结论应是；对于选项D，也包括垂直的情形.故选B.2.在正方体中，有下列命题：①；②；③与的夹角为.其中真命题的个数是()A.1 B.2 C.3 D.10答案：B解析：根据向量数量积的定义，知①②为真命题；与的夹角为，③为假命题.故选B.3.在空间四边形中，，则()A. B. C. D.答案：D解析：，.故选D.4.已知空间向量a，b，，，若，则的值为_______.答案：解析：由题意知，，由得，即，解得.5.如图，在三棱锥中，底面边长与侧棱长均为a，M，N分别是棱AB，CD上的点，且，求的长.答案：，，即.（四）小结作业小结：空间向量数量积的

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