应用基础数值 11

第七讲方阵的特征值和特征向量应用数值分析2乘幂法

34教学小结提纲Jacobi方法1问题引入一问题引入对于n阶方阵A，若存在常数

和n维非零向量x，满足

Ax=x则称

为A的一个特征值，称x为A的对应于特征值

的特征向量。在线性代数中,求矩阵A的特征值

，则有特征多项式（或特征方程）故特征值也称为特征根，特征值是唯一的。特征向量不唯一，若x是特征向量，则对任意非零实数k,kx也是特征向量。定理1

若是A的特征值，是的某一多项式，则矩阵的特征值为特别定理3

若A为实对称矩阵，则A的所有特征值均为实数，不同特征值对应的特征向量正交。且存在正交矩阵Q，使定理2

若|P|0，B=P-1AP，称A，B相似，相似矩阵具有相同的特征值。其中Q的第j列是所对应的特征向量，且二乘幂法定理5.1.1

设矩阵A具有n个线性无关的特征向量x1,x2,…,xn，其相应的特征值

1,2,…,n满足乘幂法用来求矩阵按模最大的特征值和相应的特征向量。则对任取的一初始非零向量v0由产生的向量序列满足1乘幂法证由于x1,x2,…,xn线性无关，故n维向量v0必可由它们线性表示,设设α1≠0，当k充分大时有注1收敛速度由比值(称此比值为收敛比)确定，比值越小收敛速度就越快，比值越接近于1，收敛速度就越慢。注2当矩阵的按模最大特征值是重根时，定理的结论仍然成立。注3

从上式可以看出，当|λ1|>1时，迭代向量{vk}的第一个分量将随着|λ1|k变得很大而发散。当|λ1|<1时，迭代向量{vk}的各个分量将随着|λ1|k变得很小vk成为零向量。为克服此弊端，有改进的乘幂法。2改进的乘幂法设v

为非零向量，将其规范化得到向量其中max(v)表示向量v

的绝对值（或模）为最大的分量，因此有计算公式。因此有注5在定理的证明中，我们假设了A具有n个线性无关的特征向量，当A不具有n个线性无关的特征向量时，乘幂法不适用,但事前无法判断这一点。应用乘幂法时，如发现不收敛或收敛很慢时，则考虑可能出现了此种情况，需改变初始值重新计算。注4在定理的证明中，我们假设α1≠0，,即使有α1=0，由于计算误差的影响，将会使在迭代在某一步会产生的vk，它在x1方向上的分量不为零，这时以后的迭代仍会收敛。例1

求矩阵解计算结果见下表按模最大的特征值和相应的特征向量

k

vk

uk0111111112.0027.0056.000.21430.4821128.35719.9844.570.18750.4483138.16819.6043.920.18600.4463148.15719.5743.880.18590.4460158.15719.5743.880.18590.44601故有，接模最大的特征值为43.88，及对应的按无穷范数模为1的特征向量为3

反幂法只要求出A-1的按模最大的特征值，也就求出了A的按模最小的特征值，及其相应的特征向量。反幂法用来求矩阵A的按模最小特征值及其相应的特征向量。设A是非奇异矩阵，其特征值的次序为相应的特征向量为则A-1的特征值满足任取初始非零向量向量v0，构造向量序列注可用解方程组反幂法也可用来计算矩阵A对应于一个给定的近似特征值的特征向量。设是矩阵A的特征值的一个近似值。满足设矩阵是非奇异矩阵，对矩阵利用反幂法求出其按模最小特征值，和相应的特征向量。来完成三Jacobi方法Jacobi方法用来求实对称矩阵的所有特征值和相应的特征向量。若A为实对称矩阵，则A的所有特征值均为实数，不同特征值对应的特征向量正交。且存在正交矩阵Q，使其中Q的第j列是所对应的特征向量，且1平面旋转矩阵例5.2.1

将双曲线转化为标准形式。解进行坐标轴旋转，取2

n

阶实对称矩阵的对角化Jacobi方法就是寻找一系列正交矩阵，使这样就有{Tk}是相似矩阵序列，分别用定义1选择矩阵序列{Tk}的准则为

所以Tk的选择取决于矩阵Sk的选择，现选择平面旋转矩阵Sk=S(p,q),它的几何意义是由S(p,q)定义的线性变换，使n维空间的第p个坐标轴和第q个坐标轴所构成的坐标平面旋转了的角度。S(p,q)是正交矩阵，且变换S(p,q)TA

S(p,q)只改变了矩阵A的第p行、第q

行和第p列、第q

列的元素，而矩阵A的其它元素保持不变。也称S(p,q)为Givens矩阵。由

有计算公式适当的选择使，只须取就有定理5.2.1

按上述计算公式构造的线性变换满足3

经典的Jacobi方法经典的Jacobi方法的特点是每次变换将绝对值最大的非对角元素化为零。按前述的公式做一次计算，可将矩阵A中的一对非主对角元素

和

化为零，但在下一次计算中，前面已经化为零的元素，又可能变为非零元素。所以需要多次循环计算才能达到预定精度。计算步骤为（1）首先在A中选择绝对值最大的非对角线元素，设选择平面旋转矩阵使的非对角线元素（2）再在

T1

中选择绝对值最大的非对角线元素，设又选择平面旋转矩阵

使

的非对角线元素（3）重复以上过程，直到满足预定精度为止。此时的

又可能变换成了非零元素。例2

用Jacobi方法计算矩阵的所有特征值和特征向量，精确到0.0005。解

（1）先将矩阵A

中的

化为0（2）将矩阵T1

中的

化为0(3)将矩阵T2

中的化为0由此得A的精确到0.0005的三个特征值

1=-0.016647，

2=1.4801，

3=2.5366。同时也求出了以下三个精确到0.0005的特征向量继续以上计算过程有4Jacobi过关法经典的Jacobi方法每次选取的是矩阵中绝对值最大的非对角元素作为消去对象，需要在所有的非对角线元素中进行比较选择，计算工作量相当大。Jacobi过关法也称为“阀“Jacobi方法，是一种改进方法。计算（1）设置阀值，也称为“关”扫描矩阵所有非对角线元素，对绝对值小于阀值v1的元素，就让其过“关”，暂不作处理。对绝对值大于等于阀值v1的元素，就构造平面旋转矩阵，并利用旋转变换将其变为零。多次扫描非对角元素，直到所有的非对角线元素的绝对值都小于阀值v1为止。（2）缩小阀值多次扫描矩阵从（1）所得矩阵的非对角线元素，并做相应的平面旋转变换。直到所有的非对角线元素的绝对值都小于阈值v2为止。............................（k）设置阀值vk其中ε为给定的误差精度。多次扫描矩阵从（k-1）步变换所得矩阵的非对角线元素，并做相应的平面旋转变换。直到所有的非对角线元素的绝对值都小于阀值vk