【《单摆振幅、周期和相位的计算分析案例》5600字】

单摆振幅、周期和相位的计算分析案例单摆的振幅是指球向最高点的摆动与平衡点之间的垂直距离，通过振幅的大小，我们可以看出物体振动能量的大小。对同一物体而言，振幅会随着能量的增大而增大。如果振幅非常小，物体的振动幅度和该摆球的重量对做简谐振动的单摆周期的值影响很小，可以忽略不计。可以通过给定时间（或特定位置）的状态来确定余弦（或正弦）的物理量的数值称为相位。相位是单摆中的重要物理概念。从数值解里求单摆振幅、周期既然我们对单摆的运动有了初步的了解，接下来面对的挑战就更多了。前面，我们在小角度近似情况下，解出了周期，振幅和其他物理量。那么如何运用数值解求解他们呢？首先来看单摆的角振幅在给定初始条件下是多少？根据能量守恒这一问题可以得出严格的解析解，并列出方程QUOTEm∙L∙(1-cosθm)=1∙2∙θm为最大角度。这个参考角度我们可以根据如下程序来计算。QUOTEθmax=，ArcCos[acos]，rad”]在上面的程序中，使用了用来在屏幕上输出数据和信息的函数Print[]，格式为Print[项1，项2，…项n]程序中还出现了反函数ArcCos[]，这是用来求余弦的函数。注意，它输出的角度的单位是弧度。现在让我们用数值方法求出最大摆角。如果我们有了数值解，那我们就能求出角振幅。求解方法是求插值函数的最大值，过程如下：从数值解求最大摆角程序代码如图3所示从数值解求最大摆角程序代码从数值解求最大摆角的计算结果如图4所示从数值解求最大摆角的计算结果求函数局部极大值的函数是角振幅求解的关键，因为我们初步看到的结果的第一个极大值大概出现在0.5s的时间，所以取0.5为t的初始值，我们从本例结果Out[27]中看到的极值的结果是由于我们最初看到的结果的第一个最大值出现在大约0.5s处，因此将0.5用作t的初始值。我们从本例的Out[27]结果中看到的极值结果是这个结果以一维表的形式给出，其中只有两个元素，首先给出的第一个元素表示在范围内求出的最值，即求出以弧度为单位的角振幅。第二个元素表示极值发生的时间位置，这里是在0.614648s时摆角达到最大值。我们实际得到的角振幅与理论值几乎完全相同。既然我们有了该函数，我们立即就有希望就得振荡周期。只要找到两个相邻最大值的位置，则它们之间的时间差就为一个周期。因此我们只要找到方法把包含在数值解结果中的周期信息挖掘出来就可以了。可以用下面的程序，两次使用该函数执行这个任务，得到了相邻两个极大点的值，使用最初的时间分别为0.5s和3s。通过求相邻两个极值来求单摆周期程序代码如图5所示通过求相邻两个极值来求单摆周期程序代码通过求相邻两个极值来求单摆周期的计算结果如图6所示通过求相邻两个极值来求单摆周期的计算结果Out[34]和Out[35]结果表明：通过这两种不同计算方法求得的角振幅相同，说明荡幅值是相同的，也说明插值函数精确度足够高。最后求得周期的结果是2.45859s。要判断周期计算是否正确，我们可以拿另一个周期值用小角度近似的公式来计算比较。把所求的正确的角振幅用度表示为因为它小于5°，所以可以用周期公式（2）来计算它，如下所示：小角度近似下的周期如图7所示小角度近似下的周期求得的结果比数值解得到的周期要小，但相对差仅为

，如果要求不高，应该算是一个好结果，但毕竟数值解计算的结果大一些，角振幅计算值与理论值的差值相差较多，这个差值不能用“计算误差”回答，我们可以，直观地证明单摆的周期与角振幅有关，然后再来回答这个问题。最终获得的结果虽然低于通过数值解获得的周期，但差异很小仅为万分之1.7。如果要求不高，这个结果可以认为是不错的了，但最终数值解的计算结果还是稍大一些。和角幅度的计算值与理论值的差异相比相差较大，我们可以首先研究相位和“失步”现象，直接证明摆的周期与角振幅存在某种联系，再解决问题。相位与失步现象相位这一概念在振动问题中，有着不可或缺的地位，我们可以用两个量“角度”和“角速度”来研究它们的相位关系。观察角度与角速度之间的相位关系程序代码如图8所示观察角度与角速度之间的相位关系程序代码观察角度与角速度之间的相位关系的计算结果如图9所示观察角度与角速度之间的相位关系的计算结果程序中，我们可以将角度函数的导数θ'（t）用作绘图指令Plot[]中，就像常规的数学函数。这里，我们可以同时创建包括θ（t）和θ’（t）这两个物理量的时间变化图，用Plot[]函数就可以，将这两个量用逗号隔开并且一起括起来，。此时，此函数中有一部分称为PlotStyl即“选项”，里面的两个值来各自表示图中线条的粗细。值越高，线越粗；两个值的顺序位置对应绘图函数的顺序位置两个值的先后位置。所以，Out[5]中的粗线代表角度，细线代表角速度。现在仔细观察：图Out[5]中角和角速度处于不同的相位，也就是说它们达到最大和最小值时不在同一时间内，且没有同时在零点经过，但在当其中一个量在最大值的时候，另一个量刚好经过零点。从而确定其相位差约为90度，并且角速度的相位前于角度的相位。这在我们理论预期内，因为角度的时间导数与角速度值相等，所以当角度大致按正弦变化时，角速度就大致呈余弦变化，并且两者之间相差90度。引入了相位的概念后，返回到计算单摆的周期问题上，我们发现数值解解得的周期略大于小角度近似解得的周期，以将这种差异简单地归因计算误差吗？我们将从以下几个方面对这个问题将进行讨论，定量上，我们从以往学习的单摆的记忆就将被所得的结果纠正。我们首先研究摆球在初始速度不同的两种情况下的振荡曲线，把时间延长，并假设它们的初始位置和运动方向是相同的，也就是说，在它们开始计算的那一刻就同步了，如果它们振动幅度不同，并且周期随着发生改变。那么如果在较长时间下，则应出现“滞后”现象。结果在以下程序的输出图中显示。观察“失步”现象程序代码如图10所示观察“失步”现象程序代码观察“失步”现象的计算结果如图11所示观察“失步”现象的计算结果在这个程序中，由于单摆的振幅θ1在第一种情况下幅值太小，它在绘图前被放大十倍，但仍小于在第二种情况下振幅θ2。可以看出，随着时间的推移，两种振动峰值错位越来越大，而且摆角随着周期的增大而增大。还可以通过动画的形式来观察“失步”现象。Mathematica其中一个重要功能是动画的创建，首先形成动画的一种方式是连续生成一系列图像，选择所有图像后，按下按键中的快捷键让这些图像按顺序自始至终播放；还有一种是使用函数Animate[]，这是Mathematica中的动画函数，如下面的模拟编写程序。模拟“失步”现象程序代码如图12所示模拟“失步”现象程序代码在程序中，我们计算了两个摆球的摆角数值解，并分别用变量as和bs表示，这两个起始位置相同但是初始速度不同，且求解时间为20秒。替换后，分别用θ1和θ2表示这两个解的插值函数，接着运用函数Animate[]，其格式为在此示例中，expr是由三个语句组成的复合表达式，里面两个语句运用ListPlot[]函数绘制离散点，这些离散点可以在平面上的离散位置绘制，格式为这也是很重要的一个函数，本例中该函数使用两个选项，一个是PlotRange，规定坐标范围横竖都是四分之π，另一个是PlotStyle，包括了两项内容，一个是指名要画点的颜色，另一个是指定点的大小，两个点分别用a，b表示，并在随后用另一个函数Show[]将它们画在同一张图上，Show[]也是画图常用的函数，它能将已经画的图形重新显示，或者将几个图形画在一张图上，使用格式是这个函数同样不可缺少。在此示例中，两个选项出现在该函数：PlotRange（规定水平和垂直坐标范围均为π/4）和PlotStyle（具有两个内容，一个规定点的颜色：橘色和黄色；另一个是指定点的大小）。分别用a和b这两个点表示，然后使用另一个函数将这两个点绘制在同一张图像上。Show[]就是这个函数，它可以重新映现已经绘制过，也可以在一个图像上绘制多个图形，它也是绘制图片的惯用函数。格式为其中花括号中的项数，比如g1，g2等带表图形或图形元素表示图形或者图形要素。如果在末尾有分号的绘图函数都不会显示该图形。现在如果我们运行上面的程序，会看到一个动画，可能是下面图13-图15所示的图片之一，两个不同颜色的圆点代表两个摆球，它们沿着水平轴往复振荡，上部的指示条表示的是时间进度，小球的振荡速度可以通中间两个按钮来控制，放慢振荡速度，我们很容易看出两个具有不同振幅的小球的“失步”过程。现在，当我们运行上述程序时，我们可能看到图13-15中任何一个动画。颜色不同的两个点代表沿水平轴做往复运动的两个摆球。上方的显示栏显示时间进度。可以使用两个中间按钮控制球的摆动速度。减慢振动速度更方便我们看出两个摆球振幅不同时的“失步”过程。动画演示“失步”现象的计算结果初始时刻如图13所示动画演示“失步”现象的计算结果初始时刻动画演示“失步”现象的计算结果失步时刻如图14所示动画演示“失步”现象的计算结果失步时刻动画演示“失步”现象的计算结果步调不一致如图15所示动画演示“失步”现象的计算结果步调不一致周期与振幅的关系关于这个问题，曾经有不少人对此进行过探究和讨论，试图得出周期和角振幅之间的解析表达式。可是这对不熟悉椭圆积分的人来说太过于抽象，。但是，如果我们用数值计算，那么结果就显而易得了。在前面计算周期的程序中，既然可以从数值解中得到角振幅和周期的信息，那么只要改变角振幅就可以得到不同的周期，，甚至还可以通过拟合来得到多项式的关系。下面，先根据能量守恒原则计算摆角为90°时所需的初始速度：关于这个问题，许多人都对单摆周期与角振幅关系进行了研究和讨论，并试图得出它们之间的解析表达式。可是，如果对椭圆积分不够熟悉，这就过于抽象，无法理解。不过，当我们使用数值计算时，结果是显而易见的。在先前的周期计算程序中，由于可以从数值解中获得周期和角振幅的相关信息，因此可以根据角振幅的改变从而得到各种周期解，从而做出他们之间的关系，并且拟合后可以得到多项式关系。如果摆角为90°，则根据能量守恒，计算出的初始速度为：之后，初始速度范围的选择，尽量不超出最大初速度值。然后编写程序用于计算各种摆角振幅条件下的振荡周期，再根据振幅周期值执行多项式拟合。计算90度以内的周期与角振幅之间的关系程序代码如图16所示计算90度以内的周期与角振幅之间的关系程序代码计算90度以内的周期与角振幅之间的关系的计算结果如图17所示计算90度以内的周期与角振幅之间的关系的计算结果我们可以看到Out[48]上有很多的粗点，这些粗点都是代表各个角振幅条件下的计算周期值，根据点的排列走向可以看出：单摆的周期虽然变化缓慢，但确实随着角振幅的增加而增加。程序的核心组织是由控制重复，初始速度的范围控制在每秒0.1到5.4米内，每0.1米每秒就取一个速度，接着计算出相应的单摆振幅和周期，将它们在θT这一数据表中存储，然后使用表作图并曲线拟合。在Do[]循环中，…是一个复合语句，表示循环体的意思，并且每个语句之间用分号连接。从图中可以看出，计算的数据点与拟合曲线重合得很好，说明该拟合公式可用于计算一般角振幅下的振荡周期。周期拟合公式所揭示的秘密起初，假如θ=0，则可以马上解出周期值为245818s，该值非常接近由小角度近似公式得到的2.445817s的周期值，表明小角度的周期值可以通过拟合公式得到一个正确的值。其次，利用拟合公式可以在从多个角度下计算周期，将其排列后，同时比较根据数值计算获得的周期值，仔细观察其中的规律，程序和结果如下：观察周期的计算值和拟合计算值与角振幅的关系如图18所示观察周期的计算值和拟合计算值与角振幅的关系程序中新出现Table[]和Partiton[]两个函数，Table[]这个函数的作用是组织一个表，使用的格式为在本种情况下，函数Table[]取QUOTEθTθT中各个元素{QUOTEθm，Tθm，T}，并将根据拟合公式计算的周期Tfit在后面添加上，组合在一起，就是{QUOTEθm，T，Tfitθm，T，Tf}，并组成包含由这些元素的表格。而Partiton[]格式是QUOTEθT，4]中，新的QUOTEθT拆分成拆分成四个一组，作为形成三维表中新的元素，然后根据TableForm，Out[58]的数据就排列出来了。在本表中，角幅的最大值约为24°，最小值约为1.5°，通过比较两种方法算出的周期，我们可以总结出两个推论：首先，角振幅单摆周期增加，也会增加，其增加的速率数值甚至比所给的图更能清晰看出；在6位有效数字的情况下，两种方法在各个角度下得到的周期完全相同，这表明用拟合公式得出的振荡周期可靠性足够牢固。最后，以同样的方法将比较范围扩大到1.5°以下，设定初始速度之间的间隔为0.01

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s，研究结果如下：从表中看出，单摆周期低于0.5°时没有什么改变，它的恒定值与公式（2）得到的值非常接近，从而可以知道：Mathematica单摆周期的数值计算仅在非常接近0°才与近似小角度周期相同。在6位有效数字情况下，“小角度”被认为是低于0.5°的角度。由此，就规定了单摆“小角度”的范围值。单摆振动与正弦振动的差别我们思考一下这样的问题：之前随时间变化的摆角图，看起来像是一个正弦曲线，但毕竟，正弦函数并不是方程（1）的解。所以，这条曲线肯定不是正弦函数，那么，通过数值解得出的曲线和相同周期的正弦曲线之间有什么区别?这值得研究。实际上可以看出，这个差异随角振幅增大而增