数学教学论（第3版）课件 第7章 数学概念的教学

第七章数学概念的教学本章概述了解数学概念及其特点理解数学概念学习的心理过程掌握数学概念的教学模式和教学策略案例7-1方案一：直接给出平均数的定义，然后通过让学生练习来理解平均数的概念，掌握求平均数的方法案例7-1平均数概念的教学设计方案二：出示一组数让学生计算，通过计算总结出平均数的定义，再通过实际应用来进一步理解、巩固平均数案例7-1方案三：（创设情景）篮球比赛中，队员的身高是球队实力的一个重要因素，经常听到人们提起甲队比乙队队员身材高大，这是什么意思？是甲队和乙队队员的最高比还是最矮的比吗？都不是。下表是甲、乙两队队员的身高：案例7-1平均数概念的教学设计号码12345678910甲队身高183186198179185176194180182189乙队身高177182185180182200185186178180甲队年龄23263018222625192128乙队年龄18223127252924282327上面两支球队中，哪支球队队员的身材更为高大？你是怎样判断的？案例7-1活动1：前后桌四人交流.找同学回答后，给出算术平均数的定义。一般地，对于n个数x1，x2，…，xn，我们把(x1+x2+…+xn)÷n的值叫做这个n个数的算术平均数，简称平均数案例7-1平均数概念的教学设计你认为哪种教学方法好？如果你来教平均数概念，你准备如何来教？为什么？本章我们将来讨论数学概念教学的基本方法。活动2：请同学们结合图表，自己用计算器算出各球队的平均身高，和平均年龄，看哪一个球队的平均身高较高？哪一个球队的平均年龄小？第一节数学概念概述第七章数学概念的教学数学概念概述概念反映了一类对象的本质属性数学概念反映了数学对象本质属性的思维形式数学概念是数学思维的载体，是构成数学学科的基本成分，具有高度的抽象性、概括性和简洁性

数学概念概述123数学概念数学概念的特征数学概念的定义方式CONTENT目录一、数学概念数学概念的类型：自发形成的数学概念——自然概念通过规则定义而形成的数学概念——科学概念（一）一、数学概念自然概念：从大量的具体实例中抽取出某类事物的一般特征、发现规则，从而获得的概念。科学概念：通过提出有关某类事物共同特征的假设，并检验这个假设的方式来获得概念。自然概念和人工概念都反映了一类数学对象的本质属性一、数学概念概念包含内涵和外延两个方面。内涵指概念所反应对象的本质属性外延是指概念所反映本质属性的对象的全体（二）内涵：能够被2整除的自然数外延：偶数的全体“偶数”例内涵和外延的关系：反变关系内涵扩大，外延缩小内涵缩小，外延扩大。适用于外延之间具有包含和被包含关系的两个概念之间一、数学概念外延缩小平行四边形四边形内涵增加“两组对边分别平行”外延扩大平行四边形三角形内涵减少“有两边相等”例数学概念概念分类：依照某种标准，将概念的外延划分为若干个类别类别全体包括概念的本质属性反映的数学对象的全体每个类别之间相互不交叉（三）例等腰三角形不等腰三角形三角形有没有两边相等（三）系统性二、数学概念的特点（一）抽象性（四）简明化（二）符号化反映事物本质属性的思维形式排除具体的物质形式，抽象出内在、本质属性脱离实物模型，进行多级抽象随着概念的多级抽象，抽象程度越来越高（一）

抽象性二、数学概念的特点使用数学符号表示，体现概念的形式化反映概念的本质属性表现形式简明、准确使数学概念在符号体系中得以抽象和发展（二）符号化二、数学概念的特点数学概念之间存在逻辑关系逻辑关系使数学概念系统化、公理化达到系统性最高表现形式（三）系统性二、数学概念的特点具有具体与抽象的统一性用简明的形式展示一类事物的本质特性使得人们在较短的时间内掌握数学概念成为可能（四）简明化二、数学概念的特点三、数学概念的定义方式概念的定义是揭示该概念的内涵和外延的逻辑方法。揭示概念内涵的定义方法叫做内涵式定义揭示概念外延的定义方法叫做外延式定义（一）

数学概念的定义方式三、数学概念的定义方式定义方法由三部分组成：被定义项、定义项和定义联项

被定义项是需要明确的概念

定义项用来明确被定义项的概念

定义联项用来连接被定义项和定义项的三、数学概念的定义方式（二）发生式定义（一）属加种差定义（四）关系定义（三）外延定义如果一个概念A的外延集合是另外一个概念B的外延集合的真子集，我们称做概念A是概念B的属概念，概念B是概念A的种概念，具有这种关系的概念之间称作具有属种关系的概念。在具有属种关系的两个概念中，概念B具有而概念A没有的本质属性称做种差。（一）属加种差定义三、数学概念的定义方式用公式表示：被定义项=种差+邻近的属（一）属加种差的义三、数学概念的定义方式例：矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形用公式表示为：矩形=有一个角是直角（种差）+平行四边形（属）以被定义概念所反映的对象产生和形成的过程来下定义三、数学概念的定义方式例：圆锥曲线，柱，锥，台的定义都是发生式定义一般形式：什么是由什么满足什么条件运动的图形（轨迹）（二）

发生式定义是将一个概念的所有种概念例出的一种定义方式（三）外延定义三、数学概念的定义方式例：“有理数和无理数统称为实数”以被定义的概念所反映的对象与另一对象之间的关系进行定义的方式（四）关系定义三、数学概念的定义方式例：“b(b≠0)整除a，就是存在一个整数c，使得a=bc”谢谢!第二节数学概念学习的心理过程第七章数学概念的教学数学概念学习的心理过程数学概念的获得意味着要求学生掌握一类事物在数量关系和空间形式方面的共同本质属性，并能在不同的情境中辨别其本质和非本质属性且能列举出该数学概念的例证和反例。

数学概念学习的心理过程数学概念学习的心理过程学生获得数学概念的三种传统方式是：概念的形成概念的同化概念的顺应其中以概念形成和概念同化两种方式最为常用

数学概念学习的心理过程123数学概念的形成数学概念的同化数学概念的顺应CONTENT目录4杜宾斯基的APOS理论一、数学概念的形成指人们对一类数学对象中若干不同的例子进行反复的感知、分析、比较、抽象、归纳概括出这类数学对象的本质属性而获得概念的方式。

数学概念的形成一、数学概念的形成数学概念的形成过程是发现学习的过程学习者要不断地识别和区分事物在数量关系和空间形式方面的本质属性和非本质属性，最终掌握数学概念的本质属性学习过程以概念的形成方式获得精确数学概念的心理过程：辨别刺激模式；通过比较、类比等方法找出共同属性；通过抽象、检验确认本质属性；概括形成概念。一、数学概念的形成案例7-2要让学生掌握圆周角概念的共同本质属性，数学教师可依次呈现如下图形：案例7-2“圆周角”概念的形成学习案例7-2案例7-2“圆周角”概念的形成学习案例7-2案例7-2“圆周角”概念的形成学习要求学生观察上图所呈现图形中的或，作出是否为圆周角的判断。同时，教师给出反馈。经过多次检验和校正，多数学生应能发现圆周角的本质属性“顶点在圆周上且两边均与圆相交的角”，最终形成圆周角的正确概念。二、数学概念的同化

数学概念的同化指利用数学认知结构的已有概念，与新概念建立其联系，从而掌握新概念的本质属性来掌握新数学概念的方法。二、数学概念的同化数学概念的同化过程是接受学习的过程学习者利用其头脑已有的数学认知结构中的观念来接纳和理解新的数学概念使新的数学概念获得了心理意义扩大和深化了学习者原有的数学认知结构二、数学概念的同化以概念同化的方式学习数学新概念的条件：学习者必须具备学习的愿望和动力；新的数学概念必须具有逻辑意义；学生原有的数学认知结构中必须具备同化新数学概念所需要的观念。二、数学概念的同化把握新的数学概念与原有数学概念的关系原有数学概念越牢固、越清晰，对新数学概念的同化作用越强以概念同化的方式学习数学新概念二、数学概念的同化以概念的同化方式获得精确数学概念的心理过程：阅读数学概念的定义；以旧观念来明确数学概念定义的内涵和外延；区分和联系新旧数学概念；概括新数学概念；将新概念与其它相关概念建立联系。案例7-3案例7-3“三角形面积”概念的同化学习学习“三角形面积”这一概念，可以利用把两个全等的三角形拼接成一个平行四边形。学生通过对平行四边形面积、两个三角形拼接后面积是原来三角形面积的2倍等已有的认识而理解三角形面积的概念及计算公式，并将其纳入到原来已经形成的关于矩形、平行四边形面积的认知结构中去，从而扩大了学习者关于多边形面积认知结构。案例7-3案例7-3“三角形面积”概念的同化学习学习“三角形面积”概念把两个全等的三角形拼接成平行四边形结论：平行四边形面积是原来三角形面积的2倍理解三角形面积的概念及计算公式纳入矩形、平行四边形面积的认知结构，扩大多边形面积认知结构三、数学概念的顺应

数学概念的顺应指当原有的数学认知结构不能同化新的数学概念时，就要调整、调节或改变原有数学认知结构，以适应新的变化情境，从而便于概括新的数学概念。案例7-4案例7-4“正数、负数”概念的顺应学习七年级新生由于在小学阶段长期接触的是算术数，在日常的生活和学习中已形成使用算术数的思维定势，他们原有的关于数的概念的认知结构难以接受和同化正、负数的概念，所以必须调整和改变他们原有的关于算术数的认知结构，以便顺利同化正、负数的概念。案例7-4案例7-4“正数、负数”概念的顺应学习010203通过概念形成的方式帮助学生建立新观念“现实世界中大量存在着具有相反意义的量”通过提出问题使学生领会到“要清楚地区别这两种不同的量，揭示它们之间的关系，只有算术数是不够的”指出“如果把其中一种量规定为正的，那么另一种量就是负的”引出正、负数的概念，给出符号表示04四、杜宾斯基的APOS理论2.4杜宾斯基的APOS理论美国的杜宾斯基等人创立了数学概念学习的APOS理论模型。认为学生学习数学概念是要进行心理建构的，此建构过程要经历以下四个阶段：操作或活动（Action）阶段过程（Process）阶段对象（Object）阶段概型（Scheme）阶段（1）操作或活动（Action）阶段通过“操作或活动”使学习者体验和感受数学概念的直观背景与数学概念间的关系。利用实例直观，从具体到抽象帮助学生形成该数学概念的定义；激发学习者的兴趣和构建新的数学概念的内在驱动力。四、杜宾斯基的APOS理论（2）过程（Process）阶段学习者经过对“操作活动”进行思考，经过思维的内化过程，在头脑中对活动进行描述和反思，抽象出数学概念的特有的共同本质属性。四、杜宾斯基的APOS理论（3）对象（Object）阶段是通过前面的抽象，认识到了该数学概念的本质，对其赋予形式化的定义和符号，使其精确化，成为一个具体完整的数学对象，在以后的学习中以此数学对象去进行新的建构活动。四、杜宾斯基的APOS理论（4）概型（Scheme）阶段此阶段的形成需要经过长期的数学学习活动来完善，起初的概型包含反映该数学概念的特例、抽象过程、定义及符号表示，经过学习建构期与其它数学概念、规则和图形的联系，在头脑中形成关于该数学概念的综合心理图式。四、杜宾斯基的APOS理论案例7-5案例7-5基于APOS理论的“函数”概念的心理图式建构过程例如：在有实际背景的问题中建立函数关系，需要用具体的数构造对应：，，，，，……，通过操作活动理解函数的意义。把以上操作活动综合成函数过程。一般地有；其它各种函数也可以概括为一般的对应过程：案例7-5案例7-5基于APOS理论的“函数”概念的心理图式建构过程把函数过程上升为一个独立的对象来处理。比如：函数的加、减、乘、除、复合运算等。在表示式中，函数与均作为整体对象出现。此时的函数概念，以一种综合的心理图式含有具体的函数实例、抽象的过程、完整的定义、与其它数学概念的区别与联系（方程、曲线、图像等等）。谢谢!第三节数学概念的教学模式第七章数学概念的教学123数学概念形成的教学模式数学概念同化的教学模式概念形成与同化的关系CONTENT目录4数学概念的现代教学模式（APOS模式）一、数学概念形成的教学模式数学概念形成的教学模式的步骤：第一步，对于同一数学对象的不同例子的外部特征的辨认。第二步，抽象出各个例子的共同的本质属性。一、数学概念形成的教学模式第三步，将概括出的本质属性与原有的概念联系起来，扩大或者重建原有的数学知识结构。通过抽象提出共同本质属性的假设，并在特定的情境中加以检验，以便确定共同本质属性。第四步，将本质属性推广到同类数学对象中去，明确新概念的内涵和外延。最后用准确精炼的数学语言进行表述。案例7-6案例7-6“函数”概念的形成的教学设计01第一步：举出几种具有变量和变量之间关系的例子让学生找变量之间的关系时间与路程的关系用表格表示实数与某个三角函数值之间的关系用曲线表示时间与温度之间的关系用坐标表示某两个量之间的变化关系案例7-6案例7-6“函数”概念的形成的教学设计02第二步：找出上述各例两个变量之间的共同属性。03第三步：进一步考察，确定本质属性。从上面4个例子发现，一个量变化将导致另外一个量的变化，而且前一个量给定一个值时，相应的另一个变量也唯一确定一个值，并且前一个变量总是在某一个特定的范围内变化。这就是函数的本质属性。案例7-6案例7-6“函数”概念的形成的教学设计04让学生在大脑中寻找具有以上本质属性特征的例子，同时老师再举出正、反的例子，强化概念。在此基础上，抽象和概括出函数的定义。教师在教学中必须注意以下几点：01观察材料一般是正例，并且是学生能够理解和分辨的一、数学概念形成的教学模式案例7-7案例7-7“等比数列”概念的教学片段1，2，4，8，16，32……3，9，27，54，162……8，4，2，1，0.5，0.25……“2倍”“3倍”“0.5倍”学生容易从中发现“2倍”、“3倍”、“0.5倍（一半）”的关系案例7-7案例7-7“等比数列”概念的教学片段1，1，1，1……1，-1，1，-1……1000，1100，1210，1331……学生会发现：各数相等；常数数列学生会发现：正负相间；互为相反数数据比较复杂，学生不易发现规律学生容易发现一些并非等比数列的本质属性却具有干扰作用的信息教师在教学中必须注意以下几点：02在找出共同属性进而确认本质属性时，教师可以用一些反例或者变式去突出其本质属性一、数学概念形成的教学模式案例7-8案例7-8“平行线“概念的教学片段在学习平行线概念时，有的学生对平行线的本质属性理解有错误，认为下列图形中的两条直线不平行：DCBAABCD图7-1图7-2案例7-8究其原因，学生说，图7-1中的两条线是斜的，图7-2中的两条线不一样长，所以不平行。DCBAABCD图7-1图7-2教师可引导学生分析平行线概念的本质，纠正学生的认识偏差。教师在教学中必须注意以下几点：03新概念必须对原有的知识结构扩充和改组，形成新的认知结构，使新概念得到巩固数学概念形成的教学模式二、数学概念同化的教学模式数学概念同化的教学模式：(1)揭示数学概念的关键属性，给出定义、名称及符号；(2)通过对数学概念特例的讨论分析，突出概念的本质属性；(3)使新数学概念与已有数学认知结构中的概念建立联系，把新数学概念纳入到已有数学概念体系中去，同化新数学概念；二、数学概念同化的教学模式(4)通过正、反例的辨认，使新的数学概念与已有数学认知结构中的数学概念分化；(5)把新的数学概念纳入到相应的数学概念体系中去，使数学概念融会贯通，组成一个整体。案例7-9案例7-9“抛物线”概念的教学设计第一阶段揭示抛物线概念的关键属性，给出定义。问题1平面内与一个定点F和一条定直线l的距离比是常数e(e>0)的点的轨迹是什么曲线？分类讨论①0<e<1时轨迹为椭圆；②e>1时轨迹为双曲线；③e=1时呢？此问题可转化为以下问题：问题2平面内与一个定点F和一条定直线l的距离比相等的点的轨迹是什么曲线？案例7-9案例7-9“抛物线”概念的教学设计第二阶段通过寻求抛物线的存在性，突出关键属性。先独立思考，再分组讨论。通过小组操作活动应能得出结论“该轨迹不但存在，而且一定是轴对称图形”。在教师帮助下，依据抛物线的关键属性，学生利用简单工具，教师用“几何画板”描绘抛物线的图形。使学生对抛物线的本质属性“与一个定点F和一条定直线l的距离相等”有更充分的认识。问题3轨迹是否存在？你通过什么方法加以验证？案例7-9案例7-9“抛物线”概念的教学设计第三阶段将抛物线与二次函数的图像结合起来。应用抛物线的定义证明y=x2的图形是抛物线。有利于学生将抛物线概念纳入到与二次函数相关的数学概念体系之中去。第四阶段运用定义判断并证明某些动点轨迹是抛物线，进行肯定例证。教师出示三道具有明显层次性的问题案例7-9案例7-9“抛物线”概念的教学设计问题4如图7-3，已知定直线l及定点F，定直线上有一动点N，过N垂直于l的直线与线段NF的中垂线相交于点M，则点M的轨迹是什么形状的曲线？图7-3案例7-9案例7-9“抛物线”概念的教学设计问题5点M与F(4,0)的距离比它到直线l:x+5=0的距离小1，点M的轨迹是什么形状的曲线？图7-4问题6已知圆C:，动圆M与圆C外切且与y轴相切(图7-4)，点M的轨迹是什么形状的曲线？案例7-9案例7-9“抛物线”概念的教学设计问题梳理对定义的直接应用需要将定直线x+5=0调整为x+4=0后才符合定义的本质抛物线的本质隐含其中，要求学生从动圆与已知圆外切，与y轴相切产生的数学关系中，发现与抛物线的本质属性之间的内在联系问题4问题5问题6案例7-9案例7-9“抛物线”概念的教学设计第五阶段教师引导学生比较椭圆、双曲线、抛物线的本质属性，把焦点和相应准线相同的三种曲线在同一个图形中作出，使学生了解三种曲线之间的逻辑关系，并把抛物线概念与椭圆、双曲线一起纳入圆锥曲线的概念体系之中，形成一个整体。通过以上教学设计，使学生把握抛物线的本质属性，建立其与相关概念之间的联系，并同化到圆锥曲线的概念体系中，形成完整的认知结构。三、概念形成与同化的关系以学生的直接经验为基础概念形成用归纳的方式抽象概括一类数学对象的本质属性，达到对概念的理解教学形式比较耗费时间有利于培养学生的观察、发现问题的能力以学生的间接经验为基础概念同化以数学语言为工具，依靠新、旧概念的相互作用去理解概念教学形式节约时间有利于培养学生的抽象和逻辑思维能力取长补短相互补充案例7-10案例7-10“直线和平面垂直”概念的建立(1)提出比较的对象教师先在引导学生回忆的基础上提出问题：在平面几何课中，学到平面内两条直线的位置关系时，曾明确了两条直线垂直的定义；在立体几何课中，学到空间两条直线的位置关系时，又明确了两条异面直线垂直的定义现在学习了直线和平面的一般的位置关系后，也来进一步研究直线和平面的垂直关系引入课题，并且暗示着对比的对象，也暗示着与它们(平面内两条直线垂直；空间内异面直线垂直)的本质特征(交成直角)作对比案例7-10案例7-10“直线和平面垂直”概念的建立(2)明确课题现在我们来考虑如何对直线和平面垂直下定义(提出明确的课题，一般来说，教师不直接给出定义)(3)观察、归纳、猜想让学生观察并提出象旗杆和地面、电灯线和天花板、铅笔立在桌面上等等之类的直线和平面垂直的实例，并尝试归纳出这些实例的共同特征(4)进一步揭露矛盾追问：“直线和平面的交角的意义是什么？”并进行演示案例7-10案例7-10“直线和平面垂直”概念的建立(5)对比，排除非本质特征一方面破除学生错误思考；另一方面容易继续思考(6)由实际启发——实验、比较(7)进一步分析分析上述实验(或实践经验)的道理，做进一步演示(8)得出结论经过上述一系列步骤后，教师作出确切的结论，并总结出建立概念过程中的经验教训概念的引入与形成三、概念形成与同化的关系提出比较的对象明确课题观察、归纳、猜想进一步揭露矛盾对比、排除非本质特征由实际启发、实验、比较再进一步分析得出结论四、数学概念的现代教学模式(APOS模式)传统的数学教育理论认为“数学概念教学应该注重数学概念产生的背景和引入过程；数学概念的本质属性；数学概念体系的建立，即概念的联结；数学概念的巩固和运用；对数学概念学习过程的认识等”。这种数学概念教学理论偏重于数学概念的逻辑结构的教学，忽视了数学概念形成过程的内部认知分析。数学概念的现代学习理论认为：形成一个数学概念往往要经历由过程开始，然后转变为对象的认知过程，而且最终结果是概念的这两个有紧密依赖关系的侧面——过程与对象在认知结构中共存，并在适当的时机分别发挥作用。数学概念的APOS学习理论深入到数学概念形成过程的内部本质——过程和对象的双重性，从数学学习心理学的角度，揭示和分析了主体建构数学概念过程中真实的思维活动，从而弥补了传统数学概念教学过分注重概念逻辑结构分析的不足。四、数学概念的现代教学模式(APOS模式)数学概念教学的APOS模式ActionProcessObjectScheme引入概念概括概念分析解剖概念概念的关系概念运用四、数学概念的现代教学模式(APOS模式)案例7-11案例7-11“数列极限“概念的教学设计

(1)活动(Action）阶段——数列极限概念的引入案例7-11案例7-11“数列极限“概念的教学设计

(1)活动(Action）阶段——数列极限概念的引入通过“活动”使学生亲身体验和感受数列极限概念的直观背景，从而引入数列极限的概念。案例7-11案例7-11“数列极限“概念的教学设计由定性概括逐步过渡到定量概括（主要突出数列极限概念形成过程中的思维过程分析）(2)过程(Process)阶段——数列极限概念的概括通过“过程”阶段进一步认识数列极限概念的本质，最终赋予形式化的定义和符号表示，使其达到精确化，上升为一个具体的对象。直观描述定性概括定量概括数列极限概念概括的思维过程分析案例7-11案例7-11“数列极限“概念的教学设计(3)对象(Object)阶段——分析解剖定义，揭示数列极限概念的关系

数列极限概念教学经过“过程”至“对象”，使学生对数列极限的理解已基本形成了一个完整的对象。案例7-11案例7-11“数列极限“概念的教学设计(4)概型(Scheme)阶段——进一步揭示概念的关系、概念的运用本阶段主要是在前三阶段教学的基础上建立数列极限概念的综合心理图式，包括：数列极限概念的具体直观形象；定性分析（直观描述）、定量分析（精确化的语言表述）；有限与无限、近似于精确、量变与质变等数学思想方法。并能运用数列极限概念进行观察、分析、形成猜想、推理论证。在数学概念教学中应注意到主体对数学对象的建构需要经过多次反复，有一个循序渐进，螺旋上升的过程，不可急于求成。教师要帮助学生逐步克服各种认知障碍，如逻辑障碍、形式符号化障碍、几何意义障碍，使学生真正理解并掌握数学概念的本质，建立起完整稳定的数学概念的心理图式（概型）。谢谢!第四节数学概念的教学策略第七章数学概念的教学数学概念的教学策略数学概念教学是中学数学中至关重要的一项内容，是基础知识和基本技能教学的核心，数学概念的教学在数学教学中始终具有十分重要的地位。概念是学好数学的基础。教学过程中有效地进行概念教学，对提高学生的数学素养、掌握数学的基本思想方法具有重要的意义。

数学概念的教学策略12数学概念教学的基本策略数学概念教学中的注意事项CONTENT目录一、数学概念教学的基本策略数学概念的教学一般有以下的方法：通过直观实例，把握概念本质属性准确地揭示数学概念的内涵和外延准确地掌握数学概念的定义、名称、符号、文字表述和口头表述利用概念的定义识别概念，达到巩固概念的目的加强数学概念运用，寻找概念之间的联系，形成准确的数学概念体系（一）

通过直观实例，把握概念本质特征以实际的数学实例为中介，精心设计促进学生自觉进行操作的教学情境，让学生通过各种活动、通过对实例的演示，揭示概念发生和形成的过程，揭示概念本质属性，它把外在的数学形式，通过自己的语言，内化为自己的思维动作，完成概念的形成过程。新概念有的是现实的，有的是已有概念通过抽象得到的，有的是理论发展需要的，有的是为解决实际问题需要的。但是不论是什么样的新的概念的形成，都是以形成新概念的背景资料为实例的。因此，我们必须通过直观事例，把握概念的本质特征。案例7-12案例7-12函数的单调性的教学片段首先让学生做出函数y=x2,y=x3,y=-x3,y=x

的图象，观察图像的升降特性，然后提出如下系列的问题。能否说x∈[-2,+∞)时图像上升？y=x2当x在什么范围内图像上升、下降？问题1怎样用数学语言表示呢？显示观察函数值表，思考图像上升、下降如何用量来刻画？问题2问题3问题4在学生回答问题的过程中，抽象、概括概念的本质属性。几何材料往往与实物相连，所选择的材料应体现空间位置关系。如在异面直线教学中，首先引入生活中的例子，从南到北的架设电线要越过原有的从东到西电线，他们能相交吗？如果相交会发生什么情况？再如关于两条异面直线距离的概念的产生。创设这样的情景：某施工标准中规定两条高压输电线，交叉的距离不得小于3米，请问如何测量两异面直线的距离？对概念的分析往往涉及物理运动等问题，所选择的材料应体现运动变化中量的关系与规律。直观材料呈现方式的形式的选择与学生年龄特点也要适应。小学低年级学生以活动的、具体的实物、故事或动画形式为宜，而中学生则应以实际问题、图形、数学例子等形式较为适合。在直观材料的使用过程中，要及时引导学生观察、分析各种属性，归纳、概括本质属性，而不是停留在直观材料上。在教学中还应该运用现代教育技术，去体现概念形成过程中的运动性、变化性、过程性，让学生通过活动与操作，获得概念形成的与深入的认识。在对学生进行操作活动指导时，应同时帮助学生获得表象。表象既可以是实例、实物的抽象，也可以是通过过程、活动、操作的浓缩。因为操作、表象等过程只是揭示数学了数学概念的自然性侧面，而没有真正达到其作为科学概念侧面。只有通过定义对概念本质属性加以抽象概括，提炼出概念的结构，才能实现概念由过程向对象转化，实现过程与对象的耦合，达到思维的凝缩。但是，需要注意的是，在许多情况下，学生是利用概念表象进行思考的，而很少运用概念定义。案例7-13案例7-13函数的单调性的教学片段这里学生的错误就在于对负数、绝对值、数轴等概念表象不完整或者是错误的。为此，要及时对概念进行分析，包括所用直观材料、概念原型等，给学生以准确的、清晰的概念表象，并通过概念定义对概念表象进行辨析、修正完善。

案例7-13（二）

准确地掌握数学概念的内涵和外延数学概念的内涵是概念的本质属性。概念的外延是概念所反映事物的范围（或集合）。外延与内涵是紧密相连的，外延是随着数学活动经验的不断丰富而逐步深入的。因此，学生理解概念的外延往往比内涵更为困难。在实际教学中，由于对内涵认识不清，往往造成学习与理解的许多困难与错误。学生区分不出概念的本质属性，把非本质属性当作内涵。为使学生掌握概念的内涵，教师应该多给出概念类别的例子进行对比和类比。对比可以找出概念之间的差异,类比可以发现概念之间的相同或者相似之处。案例7-14例如，三角形全等的概念可以与线段相等和角的相等概念对比。相同点是都可以用图形的重合关系去定义；不同点在于三角形包含有“边”和“角”两种元素，而线段或角都分别只含有一种元素。用对比和类比讲述新概念，一定要突出新、旧概念的差异，明确新概念的内涵，防止旧概念对学习新概念产生的负迁移作用的影响。案例7-14案例7-14又如，讲授“平行线”概念后，需要画出不同情况的两直线的平行的图示，否则，学生会认为“不相等线段的平行是不平行的”，“不与水平面平行的两条线段是不平行”的错误理解。案例7-14案例7-14在抽象出概念的本质属性之后，就要求学生就依某种标准,从不同角度对概念外延表述的对象进行分类，从而获得概念的类别。建立若干个子概念，加深对概念的认识。三角形三角形的外延是“三角形的全体”对于理解三角形没有多大帮助。对三角形进行分类，就能帮助学生进一步理解三角形概念。案例7-14案例7-14同时，还应该注重数学概念外延的发展性教学例如：数的概念在小学低年级阶段就是零与自然数，而后到高年级才是分数、有理数、实数、复数。数的概念在扩展过程中，他的外延也发展着。因此，在进行数学概念教学时，为了帮助学生认识概念、理解外延，以各种方案对概念进行分类，并且让学生学会分类方法是十分必要的。案例7-14（三）准确地掌握概念的定义、名称、符号、文字表述和口头表述概念定义是从具体至抽象的升华与凝聚，是概念学习的高级阶段。同时也是通过已有概念与关系建立新概念，揭示事物的本质属性。除原始概念外，作为逻辑严谨的数学概念，每一个概念都有严格的定义，它是数学严谨性、抽象性、应用性的前提与基础。同时是言语的或符号的命题。形式化语言（尤其是使用符号语言）的叙述，必须反映出概念的本质属性和这些属性结合的规则。数学概念的名称、符号、文字表述和口头表述，在学习与运用数学概念中的作用，主要体现在两个方面：数学概念的作用数学名称、符号、文字表述和口头表述是交流与传播数学思想的媒介物数学名称、符号的简明性、直观性等特点有助于启发学生思维。案例7-15案例7-15例如：对数logaN=b的实质就是ab=N，这里的b就是a?=N中的”?”。这时，对于logaN这个符号才有真正理解。例如：求函数的反函数，学生思维过程，常常要将“反函数”概念翻译一番：求y=f(x)的反函数，就是求x=f-1(y)，改用y表示函数，x表示自变量，就为y=f-1(x)，再转入本题解答中。他们并没有对“反函数”这个名称迅速激活：反函数是一个函数，将y=f(x)中x看成函数，y看作自变量。（四）加强概念应用，准确地掌握数学概念体系心理学认为：运用概念的能力是掌握概念的标志。学习理论也揭示：知识只有在运用中才能得到真正的理解。概念运用的过程是抽象——具体过程，这个过程实质上比具体——抽象更为难。运用概念，一方面可以巩固并加深理解概念的本质，另一方面可以发展数学概念，建立数学概念间的联系，形成概念体系，并且坚固或扩大概念的体系。在学生熟悉概念产生的背景、形成过程、把握概念本质、理解概念定义情况下，在注意概念运用水平的渐进性的同时，逐步由低到高转入问题解决，要求学生运用所学概念解决复杂的数学问题、实际问题时，对概念反复讲解其定义，举正例、反例进行说明，注意分析概念之间关系，及时准确地掌握数学概念体系。案例7-16案例7-16例如：一元二次方程概念教学设计，一般都是以实例——概念——判断——运用的程序进行教学。应设计提出一元二次方程与一元一次方程、分式方程等方程的联系，给出概念体系、让学生看到一元二次方程在这个体系中的位置。例如在教学正方形概念时就可对学生提出正方形菱形平行四边形四边形多边形图形；揭示各概念之间的包含关系。案例7-16案例7-16例如，角的概念教学就经历了极为复杂的过程，他牵涉到数学中的大部分内容。中学阶段关于角的概念却涉及多个层面：直线交角（对顶角），三线八角，平行四边形对角，多边形内角，圆的圆周角，圆周角，弦切角，异面直线所成角，直线与平面所成角，直线的倾斜角，向量所成角，复数多复角，三角形中任意角……通过这些角的概念的复习，可以建立各个概念体系之间的关系。二、数学概念教学中的注意事项对数学概念的理解是掌握基础知识，发展基本能力的前提，同时也正是通过数学概念的学习获得基本的数学经验。在数学教学中既要注意概念的形成过程，也要注意概念的应用。二、数学概念教学中的注意事项根据不同概念的特点，采用恰当的教学手段，学生通过对数学概念的理解，进而理解和掌握基本的数学思想方法，需要注意以下几个方面：01讲清概念的来源02概念的应用应注意其层次性03注意概念应用的广泛性04注重概念间的联系05正确对待概念学习中的错误（一）讲清概念的来源二、数学概念教学中的注意事项概念教学主要是要完成概念的形成和概念的同化这两个环节。在教学时应先列举大量具体的例子，通过对实例的归纳和辨析对新问题的特性形成陈述性的理解，继而与原有的知识结构相互联系，完成概念形成的两个步骤。让学生大胆地猜想，在概念引入时培养学生敢于猜想的习惯，是形成数学直觉，发展数学思维，获得数学发现的基本素质。（二）概念的应用应注意其层次性数学概念体系的形成是通过多次循环，不断操作，逐步理解的。这种以某个概念为基础扩展的过程，教学需要多次从所学概念出发，不断扩展对它的理解。也就是概念螺旋上升的过程，只有在每一阶段都不断进行多次对概念的扩展，才能获得和完成对概念的理解，形成完整的概念体系。数学概念教学中的注意事项案例7-17例如，绝对值概念教学中，当学生对绝对值概念把握以后，我们还应该做以下练习，强化学生理解。案例7-17案例7-17①已知|a|=9，求a②已知|a-