数学教学论（第3版）课件 第8章 数学命题教学的基本内涵

第八章数学命题教学的基本内涵本章概述了解数学命题及其表述理解数学命题与概念、推理、证明的关系掌握数学命题教学的策略和方法引言：案例8-1⒈创设问题情境，引出问题：⑴回顾三角形全等的判别方法，着重突出“边角边”的判别方法。⑵引入问题：已知一个三角形的两条边及其夹角，如何计算出三角形的另一条边和另两个角。案例8-1余弦定理的证明及应用教学过程2探究并得出余弦定理：⑴了解可以用不同方法证明余弦定理。⑵体会向量方法证明的优势。⑶探究得出余弦定理。案例8-1余弦定理的证明及应用教学过程⒊比较余弦定理和勾股定理，发现二者的关系。⒋余弦定理的应用，结合例题进行教学，通过运用余弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。案例8-1余弦定理的证明及应用教学过程该教学设计突出了新旧知识的联系，贯彻了启发式的教学理念。可以在本章学习后，来进一步讨论上述教学设计。第一节数学命题教学的基本内涵第八章数学命题教学的基本内涵一、数学命题的定义与表述数学命题的教学，主要指数学公理、定理、公式、法则等数学真命题的教学，数学定理又包括推论、数学对象的性质等。由于数学命题是由概念组合而成，反映了数学概念之间的关系，因此就其学习的复杂程度来说，应高于数学概念的学习。12数学命题及其表述数学中的命题与概念、推理、证明的关系CONTENT目录一、数学命题的定义与表述（一）

数学命题的定义关于数学对象及其属性的判断叫做“数学判断”。在数学中，用来表示数学判断的陈述句或符号的组合叫做数学命题。由于判断有真假，所以数学命题也就有真命题和假命题之分（二）数学命题的表述基本事实（公理）01在数学中，对于命题的真实性，一般都需要加以证明。即要从一些已知为真的命题按逻辑规律推出。而这些为真的命题，其真实性又是通过另一些真命题证出的。如此追溯上去，必定要有一些命题，它们的真实性不能再用别的命题来证明，而它们却是证明其他真命题的依据。与引进原始概念的思想相类似，也必须设置一组不加证明的命题，作为证明其他一切命题的基础。这些不加证明而被承认其真实性的命题叫做“公理”。（二）数学命题的表述公理化方法02从尽可能少的基本概念和公理出发，应用形式逻辑的演绎推理，建立数学各分支理论体系的一种方法。在数学科学中，各专门分支研究各种特殊的结构，每一种结构由相应的公理体系确定。相容性完备性独立性123任何公理体系都必须满足三个性质：数学概念的作用相容性该体系的各公理之间没有矛盾完备性要求对公理体系中所有基本概念的性质，做出明确的规定，使得这个体系中的全部命题，都能毫无例外的在本系统中被证明。独立性指该体系中各公理是相互独立的，没有一个可以由其他公理推出。用公理化方法建立起来的理论体系，最终还是要经受实践的检验，以判定其真伪。（二）数学命题的表述公理是不证自明的，可以作为数学证明中的论据。举例“基本事实”《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出要求学生掌握的关于“图形与几何”的基本事实共9个，如“基本事实：两点之间线段最短”。《普通高中数学课程标准（2017年版）》把课改之前的公理全改为基本事实。基本事实不一定是公理如《课标2011版》的第32页的“基本事实：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”（二）数学命题的表述思想公理化思想程序化思想数学发展史上起重要作用的两种思想源于西方偏重于论证源于我国偏重于计算现在的中学数学，受到了公理化思想与程序化思想的深刻影响（二）数学命题的表述数学发展史上起重要作用的两种思想根据中学数学教学的严谨性与量力性相结合的原则，不能要求各分支都从给定的公理体系出发．即使对于从公理体系出发的中学平面几何，其公理体系也只满足相容性而不满足独立性和完备性。（二）数学命题的表述定理03定理：经过证明为真实的命题叫做定理。关于某个对象所给出的已知事项关于这一对象在所给条件下推出的事项定理条件结论（二）数学命题的表述定理03可由定理直接推出的真命题叫做推论。定理引理为证明一个主要定理做准备，常常先证明一个或几个“小定理”，把这种“小定理”称为引理。经过证明为真实的命题叫做定理。推论（二）数学命题的表述定理03证明题一个定理的逆命题未必为真，如果证明了是真实的，则称为原定理的“逆定理”。有些定理在证明别的定理时不常用到，在教材中通常列入例题或习题，作为推理论证的练习，这样的定理称为证明题。逆定理（二）数学命题的表述定理03用来确定某个对象存在的充分条件的定理，称为这一对象的判定定理。用来确定某个对象存在的必要条件的定理，称为这一对象的性质定理。性质定理判定定理数学定理是从现实世界空间形式和数量关系中抽象出来的，它反映了条件和结论之间的一种必然联系。（二）数学命题的表述公式04公式是用字母和符号表示的定理。公式的教学除了掌握一般的定理教学要点外，还有一些特殊性需要注意：分析公式外形的特点，以有助于记忆与正确运用；注意公式的正反使用；深刻理解公式中的字母既可以表示数，又可以表示式；在学习三角函数、指数、对数后，公式中的字母又可以代表超越式（二）数学命题的表述法则05法则是揭示对象之间普遍联系的一种命题形式。数学中的法则，一般都是围绕运算展开的。因此，数学法则的教学，重点是法则的应用，应当使学生了解法则的由来，弄清法则的条件和内容，熟练的运用法则进行计算与推理。（二）数学命题的表述法则05定义型公式型法则对有关运算所作的合理规定，以定义的形式给出如：有理数的加法法则和乘法法则经过一定的推理获得，具有公式的属性如：对数的运算法则（二）数学命题的表述法则05教学时要根据各类法则的不同特点，选取不同的教学方法。定义型公式型教学方法数学概念的教学方法数学公式的教学方法（二）数学命题的表述二、数学中的命题与概念、推理、证明的关系一部数学理论，即由一套概念、命题和命题的推理证明所组成，而数学中的命题与概念、推理、证明又有着密切的联系。因此，数学命题的教学是数学教学的重要组成部分。命题是由概念组成的，命题是概念与概念的联合，它反映了概念之间的关系；而概念是由命题来揭示的，因为概念的定义也是命题，它揭示了概念的本质属性。（一）命题与概念例：菱形的定义“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”，本身即是一个判断菱形的命题，同时它反映了两个概念平行四边形与菱形之间的包含关系。二、数学中的命题与概念、推理、证明的关系根据判断间的关系，从一个或几个已有的判断作出一个新的判断的思维过程叫做推理。其结构包括前提和结论两部分，所根据的已有判断叫做推理的前提，作出的新判断叫做推理的结论。在中学数学中，前提是已知的命题，结论是由推理作出的新命题。因此，命题是推理的要素，由推理又可获得命题。（二）命题与推理二、数学中的命题与概念、推理、证明的关系（二）命题与推理

二、数学中的命题与概念、推理、证明的关系数学证明是应用已确定其真实性的数学命题来论证某一数学命题的思维过程。数学证明的过程往往表现为一系列的推理。数学证明习惯上分成已知、求证、证明三个部分来写。已知即给定的已确定其真实性的数学命题，以及证明结论所引用的公理、定理等命题，求证有待于证明具有真实性的命题，证明即从已知得出求证真实性的推理过程。命题是证明的依据，而命题的真实性又需经证明而确认。（三）命题与证明二、数学中的命题与概念、推理、证明的关系谢谢!第二节数学命题教学的策略与方法第八章数学命题的教学数学命题教学的策略与方法数学概念的教学数学命题的教学数学问题解决的教学数学教学的分类数学命题的教学不仅是数学概念教学的展开与深化，同时也是数学问题解决教学的基础，而且是形成数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验，培养学生发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力的重要途径。数学命题教学的策略与方法数学概念的教学数学命题的教学数学问题解决的教学数学教学的分类数学命题教学的好坏，直接关系到数学教学质量的高低、关系到整个数学教学的成败、关系到学生学科核心素养的达成。12数学命题教学的策略数学命题教学的方法CONTENT目录一、数学命题教学的策略数学命题是数学知识的主要部分，研究数学命题的教学策略对于提高数学教学质量、推进数学素质教育、提升数学教师的素养具有重要意义。数学命题的教学的常见策略有：先行组织者策略、问题性策略、过程性策略、变式策略、系统化策略等。（一）先行组织者策略先行组织者，是先于具体的教学内容而向学生呈现的一种引导性材料。它要求比新知识本身具有较高的抽象、概括和综合水平，能清晰地说明学生认知结构中原有知识与新知识的关联，为新知识的学习提供认知框架。对数学这样特定的学科，引导性材料除要求保持应有的综合性外，可以不要求进一步的抽象概括性，而应当尽可能使用具体、形象的语言，用最基本的常识性的概念来勾勒整体轮廓，使学生得一个总印象即可。（一）先行组织者策略引导性材料不能为了要概括、抽象的统一而将离心率的三种不同情况作为统一的标准把三种曲线集于一体可以将这些曲线作为圆锥面被不同角度的平面所截得的截线来做总体直观介绍。而后，可概括地讲解这三种曲线统一的引出三个方程的原则。再依此原则讨论其性质，具体转入每一个数学命题的学习解析几何圆锥曲线解析几何圆锥曲线的教学（二）问题性策略在数学命题获得的教学中，教师为了引起学生注意，激发学生学习动机，调动学生积极情感，有利于学生利用原有知识和经验学习当前新命题而采取的一种教学策略。任何数学命题都有其产生的背景，它往往建立在解决某些问题的需要的基础上由难度适当的问题而引起的认知冲突，可以激发学生的求知欲和思维的积极性，提高学生的数学学习兴趣（二）问题性策略数学归纳法原理的产生逐项验证不可行经验归纳法不可靠能否找到一种严格的、非经验的推理方法，通过有限步骤证明一个有关任意自然数n的命题数学归纳法原理的学习（三）过程性策略在数学命题的证明阶段，教师通过适当的教学方式，启发学生直接或间接地感受、体验数学知识产生、发展、演变的动态过程，从而引导学生积极主动地进行思维活动的一种教学策略。这一策略是为了强化数学证明的发生过程，使学生加深对数学知识之间联系的把握和对数学命题“为什么”成立的理解。（三）过程性策略贯彻数学命题教学的过程性策略，要求教师在教学中通过暴露数学思维的过程、揭示数学命题的产生、推证过程及突出数学思想方法的提炼和应用过程。01在数学命题教学过程中，教师应当还原思维过程的本来面目，保留或再现思维活动中失败的部分，特别是要向学生暴露思维过程—数学命题的发现过程、证明思路的产生过程，遇到障碍改变思路的过程……对学生的发展有重要价值。02（三）过程性策略可以精心设计一系列有层次、由浅入深、前后衔接、相互呼应的梯度问题，将有些数学命题的证明过程变成问题解决过程，引导学生自己先对问题的可能结果进行研究，建立对命题的充分直觉，产生猜想并尝试加以证明。03类比在数学命题的猜想和证明中都有重要的作用。某些数学研究对象的本质存在相同或相似之处，通过与相似的数学命题的类比，可以在发现新数学命题的方向及其证明方法上得到启发，从而为新命题的理解和掌握打下基础。04（三）过程性策略距离大小”是研究绝对值不等式的出发点通过对问题的解决，使学生完整地经历绝对值不等式的产生背景、基本思想及其应用的过程，学生对这一不等式的理解自然会更加全面而深刻

（四）变式策略在数学命题应用的教学过程中，通过变式练习等多种方式，促进学生理解数学命题及其所蕴含的思想方法的本质特征的一种教学策略。通过设置变式，可以达到增加理解命题的角度和途径的目的。当学生解决了数学命题“是什么”、数学命题“为什么”成立的问题之后，那么在数学命题的应用阶段采取变式教学策略则主要用来解决数学命题“怎么办”的应用问题。（四）变式策略平行线分线段成比例定理在学习平行线分线段成比例定理时，学生在刚学习了定理之后，认识还不稳定，其认识往往受到非本质特征“两直线的交点”这样的因素干扰图8-1图8-2图8-3图8-4在对数学命题及其证明获得初步掌握之后，只有通过进一步的深化和熟练，才能切实理解和掌握它，变式应用就是使之深化、熟练的必要环节和基本途径。变式应用不仅有助于排除数学命题非本质特性的干扰,扩大数学命题的应用范围，更主要的是它有利于培养学生灵活转换、举一反三的能力，促进学生创新能力的培养和发展。（四）变式策略

（四）变式策略基本不等式变式学习余弦定理后，可进行构造应用，如证明（五）系统化策略教学中要注意引导学生把整理学习内容、建立新旧知识的联系作为必需的学习过程，及时将分散、孤立的知识进行整合，整理命题的系统。数学教学中的命题是一个有系统的知识体系，弄清各个命题在数学体系中的地位、作用，以及命题之间的相互关系，可以从总体上把握数学命题的全貌，加深对数学命题的理解。把命题整理成系统，才能更清楚地看出它们的来龙去脉、地位和作用，才能深入掌握，牢固记忆。（五）系统化策略揭示联系、整理系统的工作，可按纵、横两个方向进行：图8-51.纵向按命题间的逻辑层次关系整理（五）系统化策略图8-62.横向按处于同一层次的命题间的综合贯通的联系进行整理（五）系统化策略有些数学知识之间的逻辑关系并不一定就那么清晰可辨。有些知识原本存在某种层次关系，但因为内容组织或教学的需要，被置于不同专题下，这是就需要教师特别注意使用系统化策略，采取适当措施让学生意识到这种关系。在命题教学过程中，可通过单元小结、一章小结或阶段复习、总复习，把学过的知识整理成系统的知识体系，形成命题的知识链，使学生在命题的结构体系中掌握命题。还可以通过讨论一些公式、定理的推广方法来表现命题知识的系统性。二、数学命题教学的方法数学命题教学的基本任务，是使学生认识命题的条件和结论，掌握命题推理证明的方法，运用所学的命题进行计算、推理论证并解答实际问题，在此基础上使学生熟悉基本的数学思想和数学方法，弄清数学命题的关系，把学过的命题系统化，形成结构紧密的知识体系。（一）数学公理基本事实的教法数学公理基本事实在命题体系中所处的地位与作用，和原始概念在概念体系中所处的地位作用相当。因此，在中学数学教学中，基本事实公理的教学类似于原始概念的教学。（一）数学公理基本事实的教法010203数学基本事实的教学，首先应当使学生了解什么是数学基本事实，体会到引入数学基本事实的必要性。数学基本事实的真实性是人们从长期的生产实践中总结出来的，是不加证明的，在教学中应该让学生理解这种真实性，再者是理解并记住数学基本事实的内容。在数学基本事实引入的教学中要注意，必须使学生明确数学基本事实的意义，它是“数学需要用作自己出发点的少数思想上的规定”。（二）定理、公式的教法数学中的定理、公式是从现实世界的空间形式和数量关系中抽象出来的一般规律。定理、公式的引入方法直接关系到教学的效果。按照现代教育原理和心理学原则，在教学中，不宜由教师直接给出定理的现成内容，而是应该启发学生，通过实验、观察、演算、分析、类比、归纳、作图等步骤，自己探索规律，建立猜想，发现命题。(一)定理、公式的引入几种比较好的引入方法在一元一次方程和它的解法一节。教移项法则时，学生已经据同解原理，解了方程(1)通过对具体事物观察和实验与实践活动，作出猜想

这时，不必由教师直接给出移项法则，因为学生在上述过程中，已感到这样写太麻烦，而产生了潜在的简化愿望。这时如果问：“能不能简化写法?你能看出规律吗?”那么学生中会有人能“发现”出移项法则的(2)通过推理直接发现结论几种比较好的引入方法由公理直接推出“三角形任何两边的和大于第三边”，由公理“两点之间，线段最短”直接推出。“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”多边形的内角和定理由三角形的内角和定理通过推理得出由演绎推理直接推出通过归纳或类比推理再作出猜想的办法引入定理、公式“商的算术平方根的性质”(3)通过命题间的关系，由一个命题制作出它的逆命题几种比较好的引入方法例如，教过线段垂直平分线的性质定理以后，在学判定定理时，可引导学生把已学过的性质定理作为原命题，让学生制作出它的逆命题，再加以证明定理、公式引入的教学注意点：定理、公式引入的教学注意点01由学生探索规律，作出猜想而“发现”定理、公式的教学方法使用也应适当，因为并非事事都能直接发现。教师要根据教学内容，有所选择地使用这种引入方法02在启发学生“发现”的过程中，教师使用的语言必须准确，避免学生产生误解，以为猜想出的就是事实定理、公式引入的教学注意点：03采用“发现法”来引入定理、公式时，学生进行探索之后，教师必须作出确切的结论，并对探索的过程加以总结04注意命题间的关系，渗透必要的逻辑知识。例如，讲逆命题时，不仅要使学生懂得一个真命题的逆命题未必真，而且要弄清互逆的两个命题实质是不同的，即使都是真命题，也是两回事（三）定理、公式证明的教学引导学生切实分清定理、公式的条件与结论，既是弄清命题本身的要求，又是对命题进行证明的前提，也是应用命题来解决问题的需要。1．引导学生切实分清定理、公式的条件与结论定理、公式是为真的条件命题，一般地，前提是结论的充分条件，具有“若p则q”的形式。但有一些定理的表述采取的是简化形式，这是为了语句简练，可同时却又使条件和结论变得不十分明显，学生开始时会感到难以掌握。在教学中，许多学生由于没有很好地掌握定理、公式的条件，以致应用起来产生严重错误。1．引导学生切实分清定理、公式的条件与结论每个数学定理、公式都有相应的适用范围，都是在某些条件下或某个范围内成立的相对真理。对于用文字叙述的定理，分清条件和结论后还要进一步用数学符号表达出来。在教学中注意分清定理的条件和结论，注意对关键的词语加以分析，有助于学生养成认真读题、审题的良好习惯。1．引导学生切实分清定理、公式的条件与结论2．弄清与定理、公式有关的概念、关键词的意义弄清与定理、公式有关的概念，是学习定理、公式的前提”例如，学习定理“在角平分线上的点到这个角的两边距离相等”，便要让学生首先回忆“角平分线”和“点到直线的距离”这两个概念当与定理、公式有关的概念容易模糊而产生困惑时，需要特别加以提醒，使之明确例如，学习定理“同弧或等弧所对的圆周角相等”时，就需特别强调“等弧”的概念，它并非是长度相等的弧，而是“在同圆或等圆中，能够互相重合的弧”定理(公式)的证明是定理的重要组成部分，它往往能揭示定理的来龙去脉，是定理教学的重点，许多定理的证明方法本身就是重要的数学方法，所以定理的证明不仅是得出结论的手段，它本身也是学生学习的重要内容．定理证明的教学还是学生学习思维方法、发展思维能力、培养良好的思维品质和思维习惯的最为重要的过程。教学时，教师要着中分析，使学生了解证明的思路和方法。3．帮助学生掌握定理、公式的证明对于定理、公式证明，以下的教学处理常常是有效的：分析证明的思路，掌握证明的方法注意定理、公式的多种证法追求最简单的证法，最自然的思路，鼓励学生有独立见解，表扬创见转化是解决数学问题的一种重要的思想方法重视定理证明的书写格式和要求(1)分析证明的思路，掌握证明的方法掌握证明的方法主要是掌握思考的方法，要让学生掌握“从求证着想，从已知入手”的方法即通常所说的分析法或逆推法即综合法或顺推从求证着想从已知入手教科书由于文字表达的局限，多采用综合法写出证明，教师应注意，教学中需自己作教学法的处理（2）注意定理、公式的多种证法对一个命题采用多种证明方法，不仅可以开拓学生的思路，训练思维能力，而且还能使学生从横向和纵向方面把握命题，加深对命题的理解。但考虑到教学时间的限制，可以以一种证明为主，另外的证明方法经教师提示后由学生自己在课后完成例：勾股定理

图（8-7）例：勾股定理

图（8-8）(3)追求最简单的证法，最自然的思路，鼓励学生有独立见解，表扬创见数学追求最简单地表述出规律，许多人称之为“简单性原则”，并认为它体现着数学美。这里说的简单，并非完全指表达上的简单，而首先应该是，其思路相对于学生知识实际上是最简单、最自然的。。如果在教学过程中，学生思考出的证法出乎教师的考虑之外，表现出独立的见解，应予以肯定；如学生想出的方法优于教师所讲解的证法，或表现出创见，应毫不含糊地予以表扬(4)转化是解决数学问题的一种重要的思想方法立体几何平面几何面面平行(垂直)线面平行(垂直)线线平行(垂直)

利用单位圆中的几何量基本不等式圆的几何表示定理、公式的证明(5)重视定理证明的书写格式和要求课堂教学中定理证明的书写对学生起着示范作用，要根据教学的不同阶段对学生的不同要求，在书写格式中予以明确，以做到条理清楚、表达准确、严谨而不繁琐。例如，在学习平面几何论证的开始阶段，就要在每一步推理后面加括号注明理由。当学习到“四边形”时，用前面三角形知识进行推理，这应是已掌握的内容，就不必再注明每一步的理由，只需注出与当时的教学目的有关的主要推理步骤的理由即可定理、公式的教法（三）定理、公式的应用学习定理、公式的主要目的在于应用。教学中，及时指出定理的应用价值和适用范围，对形成学生的有意注意，提高学习积极性、目的性以及运用知识的准确性都是十分必要的。要精心安排习题，让学生进一步有目的有计划的进行定理、公式应用的练习。在应用中学会分析、综合，学会将问题进行转化后应用定理的能力。解几何题还要掌握添置辅助线的方法。只有通过适当的反复练习，才能加深对定理、公式的理解，并提高运用定理、公式解决实际问题的能力。对于定理的应用，学生顺用较易，逆用及变形使用则较难容易想到正切的和角公式

顺用较易逆用及变形使用较难很难想到它与该公式的联系

教师应适当补充这方面的例题和习题，注意培养学生活用、逆用及变用定理、公式的能力谢谢!第三节数学命题教学的案例分析第八章数学命题的教学数学命题教学的案例分析课题：《1.2.3直线与平面垂直的判定》教学设计授课教师：石静首都师范大学附属回龙观育新学校案例1.本节内容选自高中数学人教B版必修二第一章第二节：1.2.3空间中的垂直关系——直线与平面垂直（第一课时），属于新授概念性知识。一、教学内容解析数学命题教学的案例分析2.本节课教学内容的内涵是在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间直线与平面垂直的定义；通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面垂直的判定定理；能运用直线与平面垂直的定义和判定定理证明一些空间位置关系的简单命题。教学重点是通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面垂直的判定定理的过程。其核心是理解判断定理的条件。由内容所反映的数学思想是转化与化归思想，体现在不同语言之间进行转化，把线面垂直问题转化为线线垂直问题。一、教学内容解析数学命题教学的案例分析3.本节课的内容包括直线与平面垂直的定义和判定定理两部分。直线与平面垂直的研究是直线与直线垂直研究的继续，也为平面与平面垂直的研究做了准备；线面垂直是在学生掌握了线在面内，线面平行之后紧接着研究的线面相交位置关系中的特例。在线面平行中，我们研究了定义、判定定理以及性质定理，为本节课提供了研究内容和研究方法上的示范。线面垂直是线线垂直的拓展，又是面面垂直的基础，后续内容如空间的角和距离等又都使用它来定义，在本章中起着承上启下的作用。一、教学内容解析数学命题教学的案例分析判定定理的教学，尽管新课标在必修课程中不要求证明，但通过定理的折纸探索过程，也可以引出判定定理的证明方法，此处可以向学生简要介绍一下。一、教学内容解析数学命题教学的案例分析数学命题教学的案例分析二、学生学情分析1.学生已具备的认知基础：学生在初中学习的内容中，学生已经掌握了平面内证明线线垂直的方法，在高中也已经学习了直线与平面平行的判定定理和性质定理，对空间概念建立了一定的基础，同时也有了“通过观察、操作并抽象概括等活动获得数学结论”的体会，有了一定的几何直观能力、推理论证能力。数学命题教学的案例分析二、学生学情分析2.学生面临的问题：在利用直线与平面垂直的定义直接判定直线和平面垂直的过程中，需要考察平面内的每一条直线与已知直线是否垂直，这在实际运用时是有困难的，如何引出定理，理解“平面化”的思想和“降维”的思想，会给学生造成一定困难。而且学生的能力发展正处于从形象思维向抽象思维转折阶段，但更注重形象思维，这方面的不足也会对本节课的学习有一定的影响。

课标要求：借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面关系的定义。以立体几何的某些定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质和判定。数学命题教学的案例分析三、教学目标设置01根据课标要求、教材内容和学生情况，确定本节课的学习目标如下：借助生活中直线与平面垂直的实例，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，能够抽象出直线与平面垂直的定义，提升数学抽象和直观想象素养；借助折叠三角形纸片，通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面垂直的判定定理，提升直观想象和逻辑推理素养；能运用直线与平面垂直的定义和判定定理证明一些空间位置关系的简单命题，提升逻辑推理素养。数学命题教学的案例分析三、教学目标设置02教学重点：直线和平面的垂直的概念，直线和平面的垂直的判定定理和应用。教学难点：直线与平面垂直的定义的生成，操作确认直线与平面垂直的判定定理。数学命题教学的案例分析四、教学重点、难点1.教学材料的分析在直线与平面垂直概念形成的过程中，构建“旗杆为什么与地面垂直？”的问题情境，通过图片实例、动画展示，在师生互动中，让学生认识到“旗杆与地面内的所有直线都垂直”之后，得出直线与平面垂直的定义。在探究判定定理的过程中，通过折叠三角形纸片，让学生通过具体操作进行验证。数学命题教学的案例分析五、教学策略分析2.教学方法的分析采用“启发－探究”的教学方法，以及“直观感知-操作确认”的认识过程组织教学活动。通过一系列的教学活动，引导学生进行主动的思考、探究、总结，帮助学生实现从具体到抽象、从特殊到一般的过度，从而完成定义的建构和定理的发现，并且在充分理解判定定理的基础上能对其进行简单应用，能解决简单的直线与平面垂直的证明问题。数学命题教学的案例分析五、教学策略分析见视频(8-2)数学命题教学的案例分析六、教学过程（金宝铮北京师范大学第二附属中学数学组长，特级教师）本节课主题是《直线与平面垂直》，无论是教学的设计还是教师的教态、语言等方面总体来讲是不错的一节课，以下几个地方是比较突出的：注重知识形成的过程。石老师带着学生一点一点的从定义到性质再到判定，逐一的叙述清楚，这个设计非常符合现在课程标准的要求。对于学生来讲，教师应该让他们去学数学而不是学考试，尽管最终的评价需要通过考试来做，但是对于知识形成的过程还是应该重视，石老师对于重视教学过程做得比较突出；特别注重几何直观。数学