2026新教材数学 25.1一元二次方程的概念 教学课件-初中数学人教版九年级上册

25.1一元二次方程的概念

2026-2027学年人教版数学九年级上册

第25章

一元二次方程1．一元一次方程：只含有一个未知数，含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是

1．一般形式是

ax＋b＝0（a≠0）．2．二元一次方程：含有两个未知数，含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是

1．一般形式是

ax＋by＋c＝0（a≠0，b≠0）．3．分式方程：分母中含有未知数的方程．如

＝5．我们在七年级学习了一元一次方程、二元一次方程（组），在八年级学习了分式方程，知道方程是一类应用广泛的数学模型，常用来刻画并解决现实生活中存在等量关系的问题．本章我们将学习一类新的方程．章引言中提出了一个关于人体雕像设计的问题，我们一起来看一看．在设计人体雕像时，使雕像的腰部以上与腰部以下的身长比，等于腰部以下与全身的身长比，可以增加视觉美感．如果某人体雕像全身长为

5m，按照上述比例，雕像腰部以下为多长？问题ACBACBCABAB＝5AC∶BC＝BC∶5BC2＝5AC比例的性质x5－xx2＝5(5－x)x2＋5x－25＝0整理，化简①

只有一个未知数

x；②

未知数的最高次数为2．如图，有一块矩形铁皮，长

100cm，宽

50cm．在它的四角各切去一个同样大小的正方形铁皮，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为

3600cm2，那么矩形铁皮各角应切去边长为多少的正方形铁皮？问题110050分析：制作无盖方盒时，盒底的长和宽与原铁皮边长、剪去的正方形边长存在怎样的数量关系？x100－2x

50－2x

(100－2x)(50－2x

)＝3600如图，有一块矩形铁皮，长

100cm，宽

50cm．在它的四角各切去一个同样大小的正方形铁皮，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为

3600cm2，那么矩形铁皮各角应切去边长为多少的正方形铁皮？问题110050x100－2x

50－2x

(100－2x)(50－2x

)＝3600x2－75x＋350＝0①

只有一个未知数

x；②

未知数的最高次数为2．要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛

1

场）．根据场地和时间等条件，赛程计划安排

7

天，每天安排

4

场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛？问题2分析：设有

x支球队参赛，则每支球队要与其他(x－1)支球队各赛

1

场．比赛的总场次是否为

x(x－1)?每场比赛都被重复计算了两次A→BB→A实际总场次为

共28场比赛要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛

1

场）．根据场地和时间等条件，赛程计划安排

7

天，每天安排

4

场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛？问题2整理，化简x2－x－56＝0①

只有一个未知数

x；②

未知数的最高次数为2．观察上述三个方程，它们有什么共同点？问题3①

x2＋5x－25＝0；②x2－75x＋350＝0；③x2－x－56＝0．共同点：1.只含有一个未知数

x;

2.未知数

x的最高次数是2;

3.都是整式方程．如何判断？含未知数的式子都是整式，没有出现分母中含有未知数的情况新知一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是

2，这样的方程叫作一元二次方程．一元一次方程一般形式ax＋b＝0（a≠0）ax2＋bx＋c＝0（a≠0）一般形式一元二次方程类比一元二次方程的一般形式：ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．问题4当

a＝0时，方程转化为

bx＋c＝0．(一元一次方程)为什么要规定a≠0？是否可以为0？当

b＝0，c＝0时，方程可以写成

ax2＝0．当

b＝0，c≠0时，方程可以写成

ax2＋c＝0．当

b≠0，c＝0时，方程可以写成

ax2＋bx＝0．一元二次方程的特殊形式ax2＋bx＋c＝0（a≠0），b和

c为任意实数．问题4二次项一次项常数项一次项系数二次项系数举例：3x2－4x－5＝0．二次项：3x2；二次项系数：3；一次项：－4x；一次项系数：－4；常数项：－5．

确定系数时要包括前面的符号．判断下列式子是否是一元二次方程？若不是，请说明理由．练习（1）ax2＋bx＋c＝0；（2）

（3）

（4）x2－3x＝x(x＋2)；（5）x3－3x2＋1＝0．a可能等于0×分式×√化简后，得－5x＝0×最高次数为3×

判断一个方程是否为一元二次方程时，不能直接依据原始形式判断，需要先对方程化简：通过去分母、去括号、移项、合并同类项整理方程，再对照定义作出判断．一元二次方程的四个特征归纳（1）只含有一个未知数；（2）

未知数的最高次数为

2；（3）含有未知数的项为整式；（4）

二次项前的系数不为

0．我们已经掌握了一元二次方程的概念，了解了它的一般形式，和一元一次方程一样，一元二次方程同样存在能使等式成立的未知数的值，也就是方程的解，下面我们一起来探究一元二次方程解的概念．对于刚才得到的方程

x2－x－56＝0，下列哪些数是这个方程的解？为什么？问题5当

x＝－7时，(－7)2－(－7)－56＝49＋7－56＝0，所以

x＝－7是该方程的解；当

x＝0时，02－0－56＝0－0－56＝－56≠0，所以

x＝0不是该方程的解；

－7，0，3，5，8．使方程左右两边相等的未知数的值叫作方程的解．对于刚才得到的方程

x2－x－56＝0，下列哪些数是这个方程的解？为什么？问题5当

x＝3时，32－3－56＝9－3－56＝－50≠0，所以

x＝3不是该方程的解；当

x＝5时，52－5－56＝25－5－56＝－36≠0，所以

x＝5不是该方程的解；当

x＝8时，82－8－56＝64－8－56＝0，所以

x＝8是该方程的解．使方程左右两边相等的未知数的值叫作方程的解．

－7，0，3，5，8．新知使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根．例

将方程

3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．分析：把一元二次方程化为一般形式的步骤：解：去括号，得3x2－3x＝5x＋10．移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式3x2－8x－10＝0．它的二次项系数为

3，一次项系数为－8，常数项为－10．去括号移项合并同类项按未知数的次数降幂排列解：（1）一般形式为

5x2－4x－1＝0．它的二次项系数为

5，一次项系数为－4，常数项为－1；（2）一般形式为

4x2－81＝0．它的二次项系数为

4，一次项系数为

0，常数项为－81；1．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）5x2－1＝4x；

（2）4x2＝81；ax2＋bx＋c＝0（a≠0）在一元二次方程中，写系数时要连同前面的符号一起写．若方程中不存在某一项，则它的系数为

0．解：（3）去括号，得

4x2＋8x＝25．移项，得一般形式为

4x2＋8x－25＝0．它的二次项系数为

4，一次项系数为

8，常数项为－25；（4）去括号，得

3x2＋3x－2x－2＝5x－2．移项、合并同类项，得一般形式为

3x2－4x＝0．它的二次项系数为

3，一次项系数为－4，常数项为

0．1．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：（3）4x(x＋2)＝25；

（4）(3x－2)(x＋1)＝5x－2．ax2＋bx＋c＝0（a≠0）2．根据下列问题，列出一元二次方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式：（1）4

个完全相同的正方形面积之和是

25，求正方形的边长；（2）一个矩形的长比宽多

2，面积是

100，求矩形的长；解：（1）设正方形的边长为

x，根据题意列方程，得

4x2＝25，化为一般形式，为

4x2－25＝0；（2）设矩形的长为

x，根据题意列方程，得

x(x－2)＝100，化为一般形式,为

x2－2x－100＝0；解：（3）设较短一段木条的长为

xm，根据题意列方程，得

x·1＝(1－x)2，化为一般形式，为

x2－3x＋1＝0．2．根据下列问题，