2.4 确定二次函数的表达式2026-2027学年鲁教版九年级数学上册

第三章二次函数2.4确定二次函数的表达式学习目标学习重难点会根据待定系数法解决关于二次函数的相关问题.会用待定系数法求二次函数的解析式.难点重点1.会用待定系数法求二次函数的解析式.2.会根据待定系数法解决二次函数的相关问题.回顾复习1.一次函数y=kx+b(k≠0)有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的解析式？2.求一次函数解析式的方法是什么？它的一般步骤是什么？2个2个待定系数法(1)设：（表达式）(2)代：（坐标代入）(3)解：方程（组）(4)还原：（写解析式）如图，某农户搭建了一个蔬菜大棚，其棚顶的横截面为抛物线的一段(曲线AOB)。它的拱宽AB为6m，拱高CO为0.9m。试建立适当的平面直角坐标系，写出这段抛物线所对应的二次函数的表达式。如图，以线段AB的垂直平分线为y轴，以过点O且垂直于y轴的直线为x轴，建立平面直角坐标系。这时，棚顶的横截面所成抛物线的顶点在坐标原点，对称轴是y轴，所以可设它的函数表达式为y=ax²(a≠0)。

(1)课本例1还有没有其他解法交流。(2)如果二次函数y=ax²+bx+c的图象的顶点坐标为(h，k)，那么这个二次函数的表达式可表示成什么形式呢?思考·交流知识点1

一般式法求二次函数的解析式

探究新知例1如果一个二次函数的图象经过(-1，10)，(1，4)，(2，7)三点，试求这个二次函数的解析式.解：设所求二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c.

由函数图象经过(－1，10)，(1，4)，(2，7)

三点，得关于a，b，c的三元一次方程组，∴所求二次函数解析式为y＝2x2－3x＋5.解得3.解方程组1.设一般式2.坐标代入4.写出解析式a-b+c=10,a+b+c=4,4a+2b+c=7,a=2,b=-3,c=5,这种已知三点求二次函数解析式的方法叫做一般式法.

其步骤是：①设函数解析式为y=ax2+bx+c；②将三个点的坐标代入，得到关于a，b，c的三元一次方程组；③解方程组得到a，b，c的值；④把待定系数换掉，写出函数解析式.总结知识点2

顶点法求二次函数的解析式

例2已知二次函数的顶点是(-2，1)且过点(1，-8)，求二次函数的解析式.解：设这个二次函数的解析式是

y=a(x-h)2+k，

把顶点(-2，1)的坐标代入

y=a(x-h)2+k，得

y=a(x+2)2+1，再把点（1，-8）的坐标代入上式，得

a(1+2)2+1=-8，解得

a=-1.故所求二次函数的解析式是

y=-(x+2)2+1或

y=-x2-4x-3.已知顶点，一般设顶点式.已知抛物线的顶点坐标，求解析式的方法叫做顶点法.其步骤是：①设函数的解析式是y=a(x-h)2+k；②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程；③将另一点的坐标代入原方程求出a值；④a用数值换掉，写出函数解析式.总结知识点3

交点法求二次函数的解析式

例3已知二次函数的最小值为-4，它的图象经过点(-2，0)与(6，0)，求这个二次函数的解析式.解：因为(-2，0)，(6，0)是抛物线

y=ax2+bx+c与

x轴的交点，所以可设这个二次函数的解析式是

y=a(x+2)(x-6)=ax2-4ax-12a.故所求二次函数的解析式是因为函数的最小值为-4，解得利用抛物线与x轴的交点，求解析式的方法叫做交点法.其步骤是：①设函数解析式是y=a(x-x1)(x-x2)；②先把两交点的横坐标x1,x2代入解析式中，得到关于a的一元一次方程；③将另一点的坐标代入，求出a值；④a用数值换掉，写出函数解析式.总结用待定系数法求二次函数解析式的技巧：1.若已知抛物线上三点坐标(x1，y1),(x2，y2),(x3，y3),则设一般式y＝ax2＋bx＋c;2.若已知抛物线的顶点(h,k)或者对称轴x=h，则设顶点式

y=a(x-h)2+k;3.若已知抛物线与x轴的两个交点（x1，0），（x2，0），

则设交点式y=a(x-x1)(x-x2).总结课堂练习1.如图所示,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点为A(-2,-2),且过点B(0,2),则y与x的函数关系式为().

A.y=x2+2B.y=(x-2)2+2C.y=(x-2)2-2D.y=(x+2)2-22.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过(1,2)和(-1,-6)两点，则a+c=

．3.已知二次函数的图象经过点(4,-3),并且当x=3时有最大值4,则其解析式为

.D-2y=-7(x-3)2+44.已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)．求这个二次函数的表达式．解：设这个二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c．依题意得

∴这个二次函数的表达式为y＝2x2＋3x－4.a＋b＋c＝1，c＝－4，a-b＋c＝-5，解得b＝3，c＝－4，a＝2，课堂小结①已知三点坐标②已知顶点坐标或对称轴或最值③已知抛物线与x轴的两个交点已知条件所选方法用一般式法：y