河南郑州外国语中学2026-2027学年上学期九年级数学作业反馈（含解析）

2026—2027学年上学期九年级数学作业反馈满分：120分时间：100分钟一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1.下列多项式中不能用平方差公式分解因式的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握是解答本题的关键．能用平方差公式分解的式子的特点是：二个项，且两项的符号相反，据此逐项分析即可．【详解】解：A．，故不符合题意；B．，故不符合题意；C．，不符合平方差公式的特点，故符合题意；D．，故不符合题意；故选C．2.如图所示是嘉琪的一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在竖格线上．若线段，则线段的长为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查平行线分线段成比例，过点A作于点H，交于点D，再根据平行线分线段成比例定理可得，即可求出的长．【详解】解：如图，过点A作于点H，∵练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，∴，∴，∴．故选：D．3.若关于的分式方程有增根，则这个增根为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】∵分式方程的增根会使分式的分母为，该分式方程的分母为，∴令，解得，∴这个增根为．4.如图，在平面直角坐标系中，与关于原点位似，位似比为，已知点，，则点在第一象限的对应点的坐标是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据关于原点位似且位似比为、对应点在第一象限的条件，确定坐标变换规则为原坐标乘，再代入点的坐标计算得到的坐标即可．【详解】解：∵与关于原点位似，位似比为，且在第一象限，∴点的对应点的坐标为原坐标乘以​，∵，∴的横坐标为，纵坐标为，∴的坐标为．5.如图，在平行四边形中，为上一点，连接，，且，相交于点，则()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查的是相似三角形的性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据平行四边形的性质得到，，得到，根据相似三角形的性质计算即可．【详解】四边形是平行四边形，，，∴，∴，，∵∴，故选：D．6.如图，菱形的面积为30，对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则的长为（）A. B. C. D.5【答案】A【解析】【分析】根据菱形的性质求得，，利用菱形的面积公式求得，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．【详解】解：∵四边形是菱形，，∴，，∵该菱形的面积为30，∴，∵，，∴．7.关于抛物线，下列说法正确的是（）A.顶点坐标为B.对称轴是直线C.与轴有两个不同的交点D.当时，随的增大而增大【答案】D【解析】【分析】将抛物线一般式配方为顶点式，结合二次函数图象性质判断各选项.【详解】解：∵，，∴抛物线开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线；∴A、B选项错误；令，则，解得，∴抛物线与轴只有一个交点，C选项错误；∵抛物线开口向上，对称轴为直线，∴当时，随的增大而增大，D选项正确.8.如图，四边形中，，，，点M，N分别为线段，上的动点(含端点，但点M不与点B重合)，点E，F分别为，的中点，则长度的最大值为（）A.2 B.2.5 C. D.【答案】C【解析】【分析】连接，由勾股定理得，由三角形中位线性质可得，即可得点与点重合时最大，最大值为，进而即可求解.【详解】解：连接

、

，如图所示，在

中，

，

，

，

，

点

分别为

的中点，

是

的中位线，

，由题意得，当点

与点

重合时

最大，最大值为

，

长度的最大值为

．9.如图，在矩形中，与交于点，点在上运动，点在上运动，且，则下列为定值的是（）A. B.的大小C. D.四边形的周长【答案】C【解析】【详解】解：如图，连接，，，A、点在上运动，点在上运动，不是定值该选项错误；B、的大小会随点、的运动而改变，故该选项错误；C、在矩形中，与交于点，，，，，，，为定值，故该选项正确；D、四边形的周长会随点、的运动而改变，故该选项错．10.在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④；⑤若点，在二次函数的图象上，则．其中正确的是（）A.①②④ B.①③⑤ C.①④⑤ D.①③④⑤【答案】B【解析】【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，二次函数的对称轴为直线，则，，即可判断①②；二次函数与x轴有两个交点即可判断③；根据当时，，即可判断④；根据抛物线开口向上，在抛物线上离对称轴越远的点对应的函数值越大，即可判断⑤．【详解】解：二次函数的图象开口向上，与轴负半轴交于一点，∴，，∵二次函数的对称轴为直线，∴，∴，∴，故结论①正确；∵，∴，∴，故结论②错误；∵二次函数与x轴有两个交点，∴一元二次方程有两个不相等的实数根，∴；故结论③正确；由函数图象可知，当时，，∴，∵，∴，即，故结论④错误；∵，，，∴点，在二次函数的图象上，，故结论⑤正确；综上所述，正确的有①③⑤．二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分）11.一元二次方程的根是_____________．【答案】，【解析】【分析】将原方程移项整理为一元二次方程的标准形式，再通过因式分解法求解即可．【详解】解：移项，得，因式分解得，则或，解得，．12.将菱形的两个相邻的内角记为和，定义为菱形的“接近度”，则当“接近度”为______时，这个菱形就是正方形．【答案】1【解析】【分析】本题主要考查了正方形的判定，菱形的性质，有一个角是直角的菱形就是正方形，且菱形相邻的两个内角互补，据此可得当菱形相邻的两个内角都为90度时，该菱形是正方形，由此可得答案．【详解】解：∵有一个角是直角的菱形就是正方形，且菱形相邻的两个内角互补，∴当菱形相邻的两个内角都为90度时，该菱形是正方形，∴，∴当时，这个菱形就是正方形，故答案为：1．13.关于x的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______．【答案】且【解析】【分析】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于的不等式，解不等式即可，同时还应注意二次项系数不能为0．【详解】由题意可知：，∴，∵，∴且，故答案为：且．考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况．14.在菱形中，，点分别是边上的动点，沿折叠使点的对应点始终落在边上，则两点之间的最大距离为_____．【答案】【解析】【分析】如图，作于H，由B、关于EF对称，推出，当BE的值最小时，AE的值最大，根据垂线段最短即可解决问题．【详解】解：如图，作于H，∵四边形ABCD是菱形，，，，，，，∵B、关于EF对称，，当BE的值最小时，AE的值最大，根据垂线段最短可知，当时，BE的值最小，∴AE的最大值，故答案为：．本题考查了翻折的问题，掌握翻折变换、菱形的性质、解直角三角形、垂线段最短等知识是解题的关键．15.如图1，D是中边上的任一点（与点A、B不重合），连接．若，则称是的“智慧线”．如图2，已知，，，若边上存在点D，使是的“智慧线”，则的长为______．【答案】或【解析】【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，等腰三角形的判定，过点C作于点E，在上找一点D，连接，使，根据勾股定理求出，再分情况计算即可解决．【详解】解：过点C作于点E，在上找一点D，连接，使，如图2所示，在中，，，，∵，∴根据勾股定理得：，∴，在中，，，根据勾股定理得：，∴，在中，，，根据勾股定理得：，此时；当D点在E点右侧时，同理可得：；故答案为：或．三．解答题（共8小题，共75分）16.按要求解答下列各题：（1）解不等式组．（2）化简：．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集；（2）先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法即可．【小问1详解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，所以不等式组的解集为．【小问2详解】解：原式．17.关于x的一元二次方程．（1）求证：方程有两个不相等的实数根．（2）已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值．【答案】（1）证明：∵原方程为，∴，∴方程有两个不相等的实数根．（2）的值为或【解析】【分析】（1）计算方程的根的判别式，判断判别式的符号即可证明结论；（2）根据根与系数的关系得到两根和与两根积，结合的条件，得到关于的一元二次方程，求解即可得到的值．【小问1详解】略【小问2详解】解：∵方程的两个实数根为，

∴，，

∵，∴，∴，∴，

代入得：，整理得，解得或．18.某校课后延时兴趣小组尝试用尺规来“作一条线段的三等分点”，请认真阅读下面的操作过程并完成相应的学习任务．如图，①分别以点，为圆心，大于的长为半径在两侧画弧，四段弧分别交于点，点；②连接，，，作射线；③以为圆心，的长为半径画弧，交射线于点；④连接，交于点．点即为的一个三等分点（即．学习任务：（1）填空：四边形的形状是；

你的依据是；（2）证明：【答案】（1）菱形，四条边相等的四边形为菱形（2）证明：四边形的形状是菱形，，，，，，，，，，．．【解析】【分析】本题主要考查了基本作图，菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．（1）利用菱形的判定与性质解答即可；（2）利用菱形的性质，平行线的性质和相似三角形的判定与性质解答即可．【小问1详解】解：由作法可知：，四边形的形状是菱形，依据是：四条边相等的四边形为菱形；故答案为：菱形，四条边都相等的四边形是菱形；【小问2详解】略19.某批发市场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张赢利0.3元，为了尽快减少库存，摊主决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降价0.05元，那么平均每天可多售出200张．摊主要想平均每天赢利180元，每张贺年卡应降价多少元？【答案】每张贺年卡应降价0.1元【解析】【分析】由题意可知：（原来每张贺年卡盈利-降价的价格）×（原来售出的张数+增加的张数）=180，把相关数值代入求解即可．【详解】解：设每张贺年卡应降价x元，现在的利润是（0.3﹣x）元，则商城多售出200x÷0.05＝4000x张．（0.3﹣x）（500+4000x）＝180，整理得400x2﹣70x+3＝0，（40x﹣3）（10x﹣1）＝0，解得x1＝，x2＝0.1，∵为了尽快减少库存，∴x＝0.1．答：每张贺年卡应降价0.1元．本题考查一元二次方程的应用；得到每降价x元多卖出的贺年卡张数是解决本题的难点；根据利润得到相应的等量关系是解决本题的关键．20.【概念生成】新定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫作“神奇四边形”．（1）在①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形中一定是“神奇四边形”的是__________（填序号）．【基础探究】（2）如图，在正方形中，为边上一点（不与，重合），连接，过点作于点，交于点，连接，．求证：四边形为“神奇四边形”．（3）在（2）的条件下，若四边形的面积为29，正方形边长为7，求的长．【答案】（1）④（2）证明：∵四边形是正方形，，，，，，，在与中，，，，又，∴四边形是“神奇四边形”；（3）【解析】【分析】（1）根据平行四边形，矩形，菱形及正方形的性质结合题中所给的新定义进行求解即可；（2）由题意易得，，则有，然后可得，则有，进而问题可求证；（3）由题意易得，然后可得，由可知，进而根据勾股定理可进行求解．【小问1详解】解：在平行四边形，矩形，菱形及正方形中，只有正方形的对角线是互相垂直且相等，符合“神奇四边形”的定义；【小问2详解】略【小问3详解】解：四边形是“神奇四边形”，且四边形的面积为29，，，∵正方形边长为7，，，由（2）可知：，，，．21.某校九年级开展了“手工文创作品制作·模拟营销”的项目式学习活动．市场调查选取两类作品：原木小件（记作A品）、滴胶花艺（记作B品）．收集到如下信息：信息1：制作一件A品比一件B品的成本高2元，用120元制作A品的件数与用80元制作B品的件数相等．信息2：当A品售价为18元/件时，其销量为220件，售价每涨1元，销量减少10件；B品售价固定为16元/件．信息3：根据市场需求，制作并销售A品和B品共300件．成本核算（1）分别求制作一件A品和一件B品的成本．模型建立（2）设销售A品和B品的总利润为元，A品涨价后的售价为元/件，则每件A品的利润为_______元，A品的销量为_________件，每件B品的利润为______元，B品的销量为______件，求总利润关于A品涨价后的售价的函数解析式．方案设计（3）若，当总利润最大时，请设计A品和B品的数量分配方案．【答案】（1）制作一件A品的成本为元，制作一件B品的成本为元．（2）每件A品的利润为元，A品的销量为件，每件B品的利润为元，B品的销量为件；总利润关于的函数解析式为（）．（3）当制作并销售A品件、B品件时，总利润最大．【解析】【分析】（1）设制作一件A品的成本为元，则制作一件B品的成本为元，根据用120元制作A品的件数与用80元制作B品的件数相等列方程并解方程即可得到答案；（2）设销售A品和B品的总利润为元，A品涨价后的售价为元/件，根据题意列出代数式和函数解析式即可；（3）根据二次函数的性质进行解答即可．【小问1详解】解：设制作一件A品的成本为元，则制作一件B品的成本为元，解得经检验是分式方程的解且符合题意，，答：制作一件A品的成本为元，制作一件B品的成本为元．【小问2详解】解：每件A品的利润为元，A品的销量为件，每件B品的利润为元，B品的销量为件；总利润关于的函数解析式为（）．【小问3详解】解：∴当时，随着的增大而减小，∴当时，取得最大值，此时A品的销量为件，B品的销量为件．22.如图，已知二次函数的图象经过点.（1）求的值和图象的顶点坐标．（2）点在该二次函数图象上.①当时，求的值；②若到轴的距离小于2，请根据图象直接写出的取值范围.【答案】（1）；（2）①11；②.【解析】【分析】（1）把点P（-2，3）代入y=x2+ax+3中，即可求出a；（2）①把m=2代入解析式即可求n的值；②由点Q到y轴的距离小于2，可得-2＜m＜2，在此范围内求n即可.【详解】（1）解：把代入，得，解得.∵，∴顶点坐标为.（2）①当m=2时，n=11，②点Q到y轴的距离小于2，∴|m|＜2，∴-2＜m＜2，∴2≤n＜11.本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二