湖北省自考07296管理运筹学高频考点重点

07296管理运筹学高频考点·重点汇总·划书笔记指定教材：韩伯棠主编《管理运筹学》（第五版）高等教育出版社，2020年课程结构：共10章考核内容。教材第3、4、9、11、12、15章及各章计算机求解节不纳入考核。第一章绪论：决策、定量分析与管理运筹学；运筹学的分支；运筹学在工商管理中的应用第二章线性规划的图解法：问题的提出、图解法、图解法灵敏度分析第五章单纯形法：单纯形法原理、表格求解法、成本最小方案、解的特殊情况第六章单纯形法的灵敏度分析与对偶：灵敏度分析、对偶问题、对偶性质、对偶单纯形法第七章运输问题：运输成本最小、实际应用、表上作业法第八章整数规划：图解法、实际应用、分枝定界法、0-1规划解法第十章动态规划：多阶段决策、最短路径、建模概念、基本方程、应用第十三章存储论：经济订货批量、经济生产批量、允许缺货模型、折扣模型、随机存储模型第十四章排队论：排队系统、M/M/1、M/M/c、M/G/1、M/D/1、损失制、有限源模型第十六章决策分析：不确定型决策、风险型决策、效用理论能力层次比例：识记20%+理解30%+应用50%难度比例：易2:较易3:较难3:难2考核程度比例：重点65%+次重点25%+一般10%题型：单项选择题、填空题、判断改错题、简答题、计算题考试方式：闭卷笔试，150分钟，百分制，60分合格。允许携带无存储编程功能的计算器。第一章绪论一、学习目的与要求了解管理运筹学的定义、发展历史、主要内容、在实践及国民经济中的主要应用领域，介绍本学科的最新研究动态和应用前景，说明使用相应计算机软件应遵循的基本原则。二、核心知识点（一）管理运筹学是什么（次重点）【识记】运筹学定义。★★运筹学（OperationalResearch，OR）定义：运筹学是一门应用科学，它运用分析、试验、量化的方法，对经济管理系统中的人力、物力、财力等资源进行统筹安排，为决策者提供有依据的最优方案，以实现最有效的管理。【考点提示】【高频考点·单选/填空】运筹学的定义、英文名称OR、"运筹"一词出自《汉书》"运筹策帷幄之中，决胜于千里之外"。★运筹学的产生：运筹学起源于第二次世界大战期间的英国，1935年英国为防御德国空袭组织科学家研究雷达系统的作战运用，称为"OperationalResearch"。战后运筹学从军事转向民用，在工业、农业、经济、管理等领域广泛应用。★运筹学在我国的发展：20世纪50年代中期由钱学森、许国志等学者引入我国；1956年在中科院力学所成立第一个运筹学研究组；1958年华罗庚教授大力推广"优选法"和"统筹法"，使运筹学在国民经济中得到广泛应用。【考点提示】【高频考点·单选/填空】华罗庚推广的"两法"：优选法、统筹法。★运筹学的主要分支：规划论（线性规划、整数规划、目标规划、动态规划、非线性规划）、图论与网络分析、排队论、存储论、决策论、对策论（博弈论）、仿真等。【考点提示】【高频考点·多选】运筹学的分支内容。★管理运筹学的特点：①以系统整体最优为目标；②多学科交叉性（管理科学、数学、经济学、计算机科学）；③强调量化分析和模型方法；④注重实际应用和决策支持；⑤强调方法论的科学性。（二）运筹学的决策过程（次重点）【识记】决策概念、决策过程、定量分析的概念。★★决策的定义：决策是人们为了达到一定目标，从若干个可行方案中选择一个最优或满意方案的分析判断过程。管理的核心是决策（西蒙："管理就是决策"）。★★定量分析的概念：借助于某些正规的计量方法（数学模型、数学方法）而做出的决策，称为定量决策（定量分析）。运筹学是进行定量分析的重要工具。★定性决策与定量决策：根据决策者的主观经验、直觉判断做出的决策为定性决策；借助数学模型和计量方法做出的决策为定量决策；必须运用定性和定量两种方法才能制定的决策为混合性决策。★★运筹学解决问题（决策）的七个步骤：①观察待决策问题所处的环境（提出和形成问题）；②分析和定义待决策的问题（明确目标、约束条件）；③拟定模型（建立数学模型）；④选择输入材料（收集数据、确定参数）；⑤提出解并验证它的合理性（求解模型、解的检验）；⑥实施最优解（解的实施与控制）。【考点提示】【高频考点·简答/多选】决策七个步骤的内容及顺序。★模型的概念：模型是一件实际事物或现实情况的代表或抽象。运筹学模型一般分为形象模型、模拟模型和符号（数学）模型三类。数学模型是运筹学最主要的模型形式。★优选法（最优化方法）：以数学原理为指导，合理安排试验，以尽可能少的试验次数找到最优方案的方法。华罗庚推广的优选法中最著名的是0.618法（黄金分割法）。★统筹法（网络计划技术）：利用网络图来表达一项工程中各项工序（活动）的先后顺序和相互关系，通过计算找出关键工序和关键路线，对工程进行统筹安排和控制的方法。（三）运筹学在日常管理中解决哪些问题及软件应用（一般）【理解】管理运筹学所涉及的应用领域。★运筹学在工商管理中的应用领域：生产计划、库存管理、运输问题、人事管理、市场营销、财务会计、设备维修、项目选择、物流配送、网络优化等。【应用】管理运筹学使用计算机软件的原则。★使用计算机软件的原则：①学以致用原则，学习管理运筹学必须使用相应的计算机软件；②不能只依赖软件输出结果，必须理解模型原理和求解过程，能对结果进行分析和解释；③软件是工具，建模和结果分析才是核心能力。三、本章重点与难点【本章重点】①运筹学的定义与性质；②决策的七个步骤；③定量分析的概念；④运筹学的主要分支。【本章难点】运筹学解决实际问题的步骤及模型方法的理解。【客观题考点】运筹学定义、OR缩写、起源、华罗庚两法、决策步骤、模型分类、运筹学分支。【主观题考点】简述运筹学解决问题的步骤；简述运筹学的主要分支及应用领域。第二章线性规划的图解法一、学习目的与要求了解线性规划图解法的基本特点、适用范围、解决问题的思路和原理，掌握图解法的基本程序、步骤、方法和灵敏度分析的基本理论。二、核心知识点（一）线性规划问题的数学模型（重点）【识记】决策变量、目标函数和约束条件的一般表达方法。★★线性规划模型的三要素：①决策变量：用符号表示的可控制因素，每一组决策变量值代表一个方案；②目标函数：用决策变量的线性函数表示所要追求的目标（max或min）；③约束条件：实现目标的限制条件，用决策变量的线性等式或不等式表示。★★线性规划问题的特征：①目标函数是线性函数；②约束条件是线性不等式或等式；③决策变量连续取值（非负）；④比例性、可加性、可分性、确定性假设。★建模过程（四步）：①明确在什么条件下追求什么目标；②定义决策变量x₁,x₂,…,xₙ；③用决策变量的线性函数写出目标函数；④列出必须遵循的约束条件（含非负约束）。【考点提示】【高频考点·计算/建模】根据实际问题建立线性规划模型。★线性规划模型的一般形式：目标函数max(min)z=c₁x₁+c₂x₂+…+cₙxₙ；约束条件aᵢ₁x₁+aᵢ₂x₂+…+aᵢₙxₙ≤(=,≥)bᵢ(i=1,…,m)；xⱼ≥0(j=1,…,n)。（二）线性规划的图解法（重点）【识记】可行域、等值线、最优解。★★可行域：所有约束条件（含非负约束）的公共部分，即所有可行解组成的集合。每个约束条件代表一个半平面，可行域是各半平面的交集，一般为凸多边形。★★等值线：目标函数z取某一固定值时得到的直线，直线上每一点都具有相同的目标函数值。★★图解法步骤：①在平面直角坐标系中画出各约束条件对应的半平面，确定可行域；②令目标函数z=0，画出等值线（过原点）；③沿目标函数优化方向（max沿法线正方向，min沿反方向）平移等值线；④等值线最后接触可行域的顶点（或边）即为最优解。★★图解法重要结论：①若线性规划有唯一最优解，则一定在可行域的某个顶点上取得；②若在两个顶点上同时取得最优解，则这两个顶点连线上的所有点都是最优解（无穷多最优解）；③若可行域为空集，则无可行解；④若可行域无界且目标函数值可无限增大（或减小），则为无界解（无最优解）。【考点提示】【高频考点·单选/判断】解的四种情况及判定；最优解一定在顶点取得。★最小化问题：以最大化问题为基础，将目标函数反号即可。图解法中等值线沿目标函数减小方向平移。★★线性规划的标准形式：标准形式的四个特点：①目标函数最大化；②约束条件全部为等式；③决策变量均非负；④右端常数项bᵢ非负。★★非标准型化为标准型的方法：①minf→maxz，令z=-f（最优解相同，最优值相差一个负号）；②"≤"约束：左端加入非负松弛变量sᵢ，化为等式；③"≥"约束：左端减去非负剩余变量sᵢ，化为等式；④bᵢ<0：等式两端同乘-1；⑤自由变量xⱼ（无符号限制）：令xⱼ=xⱼ′-xⱼ″，其中xⱼ′≥0，xⱼ″≥0。【考点提示】【高频考点·填空/计算】松弛变量、剩余变量的引入；标准型转换。（三）图解法灵敏度分析（次重点）【识记】目标函数中系数的灵敏度分析。★★灵敏度分析定义：研究线性规划的一个或多个参数（系数cᵢ、aᵢⱼ、bⱼ）变化时，对最优解产生的影响。★目标函数系数cᵢ的灵敏度分析：cᵢ变化影响等值线斜率。当等值线斜率在两条临界约束直线斜率之间变化时，最优解（顶点）不变。通过不等式-1≤(-c₁/c₂)≤0（视具体问题）确定cᵢ的允许变化范围。【理解】约束条件中常数项bⱼ的灵敏度分析。★常数项bⱼ的灵敏度分析：bⱼ变化使可行域边界平移，可能引起最优解顶点位置变化。在一定范围内，bⱼ每增加1个单位，最优目标函数值的变化量称为该约束条件的对偶价格（影子价格）。★★对偶价格（影子价格）的含义：在一定范围内，当约束条件右端常数项增加1个单位时，最优目标函数值的改变量。①对偶价格>0：最优目标函数值得到改善（max增大，min减小）；②对偶价格<0：最优目标函数值变坏；③对偶价格=0：最优目标函数值不变（该约束有松弛，资源未充分利用）。【考点提示】【高频考点·单选/判断】对偶价格的含义及判定；松弛变量为0表示资源充分利用。三、本章重点与难点【本章重点】①线性规划模型三要素与建模；②图解法及解的四种情况；③标准型转换；④对偶价格。【本章难点】灵敏度分析中系数变化范围的确定；对偶价格的经济含义。【客观题考点】三要素、可行域、等值线、松弛/剩余变量、标准型特点、对偶价格、解的四种情况。【主观题考点】建立线性规划模型；将非标准型化为标准型；图解法求解；灵敏度分析。第五章单纯形法一、学习目的与要求掌握单纯形法的求解思路和基本原理，掌握较简单线性规划问题单纯形法表格形式求解方法，了解线性规划解的特殊情况在表格形式中的表现和判定。二、核心知识点（一）单纯形法（重点）【识记】单纯形法的原理。★★单纯形法的基本思路（原理）：从可行域中某一个初始基本可行解（顶点）出发，转换到另一个基本可行解（相邻顶点），并使目标函数值逐步改善（增大或减小），经过有限次迭代，最终找到最优解或判定无最优解。★基本概念：①基：约束系数矩阵A中m×m阶非奇异子矩阵B（|B|≠0），称为线性规划的一个基；②基变量：与基B的列向量对应的变量，记为X_B；其余为非基变量X_N；③基本解：令非基变量为0，由方程组解出基变量的值得到的解；④基本可行解：满足非负条件的基本解，对应可行域的顶点；⑤可行基：对应于基本可行解的基。★★线性规划基本定理：①若线性规划问题存在可行解，则其可行域是凸集；②线性规划问题的基本可行解对应于可行域的顶点；③若线性规划问题有最优解，则一定存在一个基本可行解是最优解。【考点提示】【高频考点·单选/判断】基本可行解与顶点的对应关系；最优解在基本可行解中。（二）线性规划单纯形表格求解法（重点）【识记】迭代、入基变量、出基变量、主元、检验数。★★检验数σⱼ：用非基变量表示目标函数时，各非基变量前的系数。检验数反映了将该非基变量从0增加1个单位时目标函数值的变化量。基变量的检验数为0。★★最优性检验准则（max问题）：①若所有检验数σⱼ≤0，则当前基本可行解为最优解，停止迭代；②若存在σⱼ>0，且其对应列向量中所有系数aᵢⱼ≤0，则为无界解；③若存在σⱼ>0，且对应列中有正系数，则继续迭代。★★单纯形法迭代步骤：①确定入基变量：选最大正检验数对应的非基变量入基；②确定出基变量：用常数列b除以入基变量列中的正系数，取最小比值θ=min{bᵢ/aᵢₖ|aᵢₖ>0}对应的基变量出基（最小比值法则）；③确定主元：入基变量列与出基变量行交叉处的元素aₗₖ为主元；④以主元为中心进行高斯消元（行变换），使主元变为1，该列其余元素变为0，得到新的单纯形表；⑤重复①—④，直到所有检验数≤0。【考点提示】【高频考点·计算】单纯形表求解完整过程；入基/出基变量确定；最小比值法则。（三）如何求解成本最小的方案？（重点）【识记】人工变量。★★人工变量：当约束条件为等式或"≥"不等式，化为标准型后系数矩阵中不存在单位矩阵作为初始可行基时，人为添加的非负变量。其作用是构造一个单位矩阵，从而获得初始基本可行解。★人工变量与松弛变量的区别：松弛变量有明确的经济含义（未消耗的资源），系数为0；人工变量无实际意义，最终必须全部出基（取值为0），否则原问题无可行解。★★大M法：在目标函数中给人工变量赋予一个极大的惩罚系数M（max问题为-M，min问题为+M），迫使人工变量在最优解中取0。若最终检验数已满足最优条件但仍有人工变量为基变量且其值不为0，则原问题无可行解。★★两阶段法：第一阶段：构造一个仅含人工变量之和的辅助目标函数minw=Σaᵢ，用单纯形法求解。若w*=0（人工变量全部出基），则得到原问题的一个初始基本可行解，进入第二阶段；若w*>0，则原问题无可行解。第二阶段：将第一阶段得到的最终表去掉人工变量列，以原目标函数替换辅助目标函数，继续用单纯形法求解。【考点提示】【高频考点·单选/填空/判断】人工变量的作用；大M法中M的含义；两阶段法阶段任务；无可行解的判定。（四）不是所有的线性规划都有唯一最优解（次重点）【识记】无可行解、无界解、无穷多最优解。★★解的四种特殊情况及判定：①唯一最优解：所有非基变量检验数σⱼ<0；②无穷多最优解：存在某个非基变量检验数σⱼ=0，再迭代一次可得到另一最优解，两点连线上均为最优解；③无界解：存在正检验数σₖ>0，但其对应列向量中所有系数aᵢₖ≤0（无法确定出基变量），目标函数值可无限增大；④无可行解（退化解/不可行）：大M法或两阶段法最终有人工变量不为0；或约束条件矛盾。★退化：当存在两个以上最小比值相同时，出基变量选择任意，迭代后可能出现基变量取值为0的情况，称为退化。退化可能导致循环，但一般不影响最优解的获得。【考点提示】【高频考点·单选/判断】四种解的判定条件；退化的概念。三、本章重点与难点【本章重点】①单纯形法原理与步骤；②检验数计算；③入基/出基变量确定；④大M法与两阶段法；⑤解的特殊情况判定。【本章难点】单纯形表的完整计算；人工变量法；退化与循环。【客观题考点】基/基变量/基本可行解、检验数、主元、最小比值法、人工变量、大M法、四种解判定。【主观题考点】用单纯形表求解线性规划；大M法/两阶段法求解；判断解的情况。第六章单纯形法的灵敏度分析与对偶问题一、学习目的与要求了解改进单纯形方法的思想，掌握对偶规则，了解线性对偶理论、影子价格的意义，掌握对偶单纯形法，掌握系数变化范围的确定及增加新变量、新约束的灵敏度分析，掌握参数连续变化对最优解及最优值的影响。二、核心知识点（一）利润、成本及资源变化了怎么办？（次重点）【理解】单纯形表灵敏度分析。★★灵敏度分析的两类问题：①解的最优性是否保持（检验数是否仍≤0）；②解的可行性是否保持（基变量取值是否仍≥0）。★目标函数价值系数cⱼ变化：cⱼ变化只影响检验数，不影响可行性。非基变量cⱼ变化直接影响其检验数；基变量cⱼ变化影响所有非基变量检验数。要求变化后所有检验数仍≤0。★约束条件右端常数项bᵢ变化：bᵢ变化只影响基变量取值（可行性），不影响检验数（最优性）。新的基变量值X_B′=B⁻¹b′，要求X_B′≥0。★增加新变量（新产品）：计算新变量的检验数σₙ₊₁=cₙ₊₁-C_BB⁻¹Pₙ₊₁，若σₙ₊₁>0则新产品投产有利（应入基），否则不投产。★增加新约束条件：将新约束加入最优单纯形表，若当前最优解满足新约束则最优解不变；否则用对偶单纯形法继续迭代。（二）怎么定租金？（重点）【理解】构造线性规划的对偶问题。★★对偶问题的提出：从资源出租/转让的角度，若企业将现有资源出租而非自己生产，应如何确定每种资源的最低租金（影子价格），由此构造原问题的对偶问题。★★对称型对偶关系：原问题（max）：maxz=CX；AX≤b；X≥0对偶问题（min）：minw=Yb；YA≥C；Y≥0对应规则：①原问题max→对偶min；②原问题约束系数矩阵A转置为对偶约束系数矩阵；③原问题右端b变为对偶目标系数，原目标系数C变为对偶右端；③原问题"≤"约束对应对偶"≥"约束；④原问题每个约束对应对偶一个变量，原问题每个变量对应对偶一个约束。★非对称型对偶：原问题为等式约束时，对偶变量为自由变量（无符号限制）；原问题变量为自由变量时，对偶约束为等式。【考点提示】【高频考点·计算】给定原问题写出对偶问题。（三）原问题与对偶问题的关系（重点）【识记】对称性、弱对偶性、强对偶性、互补松弛性。★★对偶问题的基本性质：①对称性：对偶问题的对偶是原问题；②弱对偶性：原问题（max）任一可行解的目标函数值不超过对偶问题（min）任一可行解的目标函数值，即CX≤Yb；③最优性：若X̂和Ŷ分别是原问题和对偶问题的可行解，且CX̂=Ŷb，则X̂和Ŷ分别是原问题和对偶问题的最优解；④强对偶性（对偶定理）：若原问题有最优解，则对偶问题也有最优解，且两者最优目标函数值相等；⑤互补松弛性：若X̂、Ŷ分别为原问题和对偶问题的可行解，X_S和Y_S分别为其松弛变量，则X̂、Ŷ为最优解的充要条件是ŶX_S=0且Y_SX̂=0。即：原问题松弛变量>0时，对应对偶变量=0；对偶变量>0时，对应原问题松弛变量=0。★★对偶最优解与原问题单纯形表的关系：对偶问题的最优解等于原问题最优单纯形表中松弛变量检验数的负值（即Y*=C_BB⁻¹）。★★影子价格：对偶变量yᵢ的经济含义是第i种资源的影子价格，即在其他条件不变的情况下，第i种资源每增加一个单位时目标函数最优值的增加量。影子价格反映资源的稀缺程度：影子价格>0的资源是稀缺资源（瓶颈资源），影子价格=0的资源有剩余。【考点提示】【高频考点·单选/简答】对偶性质判断；互补松弛条件；影子价格的经济含义。（四）对偶单纯形法（次重点）【识记】对偶单纯形法使用范围。★★对偶单纯形法的基本思路：原单纯形法从一个基本可行解出发，保持可行性，通过迭代使检验数逐步满足最优性；对偶单纯形法则从一个检验数全部≤0（满足对偶可行）但不可行的解出发，保持最优性条件（检验数≤0），通过迭代使基变量取值逐步变为非负（可行），最终求得最优解。★对偶单纯形法步骤：①确定出基变量：选基变量取值中最负的行对应的基变量出基；②确定入基变量：对出基行中所有负系数aₗⱼ<0，计算θ=min{σⱼ/aₗⱼ|aₗⱼ<0}，对应列变量入基；③主元行变换，得到新表；④重复直到所有基变量取值≥0。★适用范围：①约束条件为"≥"型，化为标准型后初始解不可行但检验数满足最优条件；②灵敏度分析中增加新约束后；③求解变量数多但约束数少的问题时，可转求其对偶问题。三、本章重点与难点【本章重点】①对偶问题的构造；②对偶性质（弱对偶、强对偶、互补松弛）；③影子价格；④灵敏度分析；⑤对偶单纯形法。【本章难点】互补松弛性的应用；灵敏度分析中系数变化范围计算；对偶单纯形法迭代。【客观题考点】对偶关系对应规则、对偶性质、影子价格含义、检验数与对偶解关系、灵敏度分析影响。【主观题考点】写对偶问题；用互补松弛条件求最优解；灵敏度分析计算；对偶单纯形法求解。第七章运输问题一、学习目的与要求掌握运输问题的数学模型，掌握求解运输问题的表上作业法，能把产销不平衡问题转化为产销平衡问题，掌握运输模型的若干实际应用。二、核心知识点（一）如何运输成本最小（次重点）【识记】产销平衡、假想产地、假想销地。★★运输问题的典例：某种物资有m个产地A₁,A₂,…,Aₘ，产量分别为a₁,a₂,…,aₘ；有n个销地B₁,B₂,…,Bₙ，销量分别为b₁,b₂,…,bₙ；从Aᵢ到Bⱼ运输单位物资的运价为cᵢⱼ。求总运费最小的调运方案。★★运输问题数学模型：minz=ΣΣcᵢⱼxᵢⱼ约束：Σxᵢⱼ=aᵢ（i=1,…,m，产地产量约束）；Σxᵢⱼ=bⱼ（j=1,…,n，销地销量约束）；xᵢⱼ≥0。★★产销平衡条件：Σaᵢ=Σbⱼ，即总产量等于总销量。★运输问题的特征：①运输问题是线性规划的特殊类型；②系数矩阵只含0和1，结构稀疏；③基变量个数为m+n-1；④一定存在最优解（不会无界）。★★产销不平衡转化为产销平衡：①产大于销（Σaᵢ>Σbⱼ）：虚设一个销地Bₙ₊₁，其销量bₙ₊₁=Σaᵢ-Σbⱼ，各产地到假想销地的运价cᵢ,ₙ₊₁=0（表示就地库存）；②销大于产（Σaᵢ<Σbⱼ）：虚设一个产地Aₘ₊₁，其产量aₘ₊₁=Σbⱼ-Σaᵢ，假想产地到各销地运价cₘ₊₁,ⱼ=0（表示缺货）。【考点提示】【高频考点·填空/计算】假想产地/销地的设置；运价取0；m+n-1个基变量。（二）实际应用（次重点）【理解】生产与储存、中转运输。★运输问题的推广应用：①生产与储存问题：将各时期的生产作为产地、需求作为销地，储存费用体现在运价中；②中转运输问题：增加中转点作为产地和销地；③短缺量/过剩量处理；④设备更新问题等。（三）"表上作业法"（重点）【识记】最小元素法、Vogel法、闭回路法、位势法。★★表上作业法的本质：表上作业法本质上是单纯形法在运输问题上的简化，在运输表上进行迭代求解。★★表上作业法基本步骤：①找出初始基本可行解（初始调运方案）：在m×n产销平衡表上给出m+n-1个数字格（基变量），常用最小元素法或Vogel法；②求各非基变量（空格）的检验数，判别是否最优：用位势法或闭回路法计算检验数。若所有检验数≥0（min问题），则为最优解，停止；否则转入下一步；③确定换入变量和换出变量：选负检验数中最小的空格对应的非基变量换入，用闭回路法确定换出变量；④在闭回路上调整运量，得到新的调运方案，返回步骤②。★★最小元素法：从单位运价表中最小的运价开始确定产销关系（就近供应），依次类推，直到给出初始方案。每次在未划去的行/列中找最小运价分配运量，满足产量或销量后划去对应行或列。★★Vogel法（伏格尔法）：计算各行各列中最小运价与次小运价之差（罚数），罚数最大的行/列优先按最小运价分配。Vogel法给出的初始方案比最小元素法更接近最优解。★★闭回路法：从某空格出发，沿水平或垂直方向前进，遇到有数字的格作90°转弯（也可穿过），经过若干次转弯后回到原空格，形成的闭合折线称为闭回路。闭回路上奇数步点运价之和减去偶数步点运价之和即为该空格的检验数。调整时取闭回路奇数位置中的最小运量为调整量θ，奇数点加θ、偶数点减θ。★★位势法：设产地位势uᵢ、销地位势vⱼ，对所有数字格有uᵢ+vⱼ=cᵢⱼ（位势方程），先令u₁=0求出所有位势，再计算空格检验数σᵢⱼ=cᵢⱼ-(uᵢ+vⱼ)。σᵢⱼ<0表示该空格入基可使运费降低。【考点提示】【高频考点·计算】用最小元素法求初始方案；位势法求检验数；闭回路法调整方案。三、本章重点与难点【本章重点】①运输问题模型；②产销不平衡转化；③表上作业法全流程；④最小元素法、位势法、闭回路法。【本章难点】闭回路的构造与调整；位势法计算检验数。【客观题考点】产销平衡条件、基变量个数m+n-1、假想产地/销地、最小元素法/Vogel法/位势法/闭回路法概念、最优解判定。【主观题考点】表上作业法求解运输问题；产销不平衡问题转化求解。第八章整数规划一、学习目的与要求正确理解整数规划的含义，掌握分枝定界法的思想和方法，掌握0-1变量的恰当引入和使用，掌握指派问题的算法。二、核心知识点（一）图解法求解（次重点）【识记】整数规划的含义。★★整数规划定义：要求一部分或全部决策变量取整数值的线性规划问题，称为整数规划（IntegerProgramming，IP）。★★整数规划分类：①纯整数规划：所有变量都要求取整数；②混合整数规划：部分变量要求取整数，其余可取连续值；③0-1整数规划：所有变量只能取0或1。★整数规划的图解法：先画出松弛问题（去掉整数约束的线性规划）的可行域，在可行域内找出整数格点，比较目标函数值确定最优整数解。★★重要结论：①整数规划的最优解不会优于其松弛问题（线性规划）的最优解；②对max问题，松弛问题最优值是整数规划最优值的上界；对min问题，松弛问题最优值是下界；③整数规划最优解不能简单地将松弛问题最优解取整得到。（二）实际应用（重点）【应用】投资选址、固定成本、指派问题、分布系统设计、投资问题。★★0-1变量的典型应用：①投资问题/项目选择：xⱼ=1表示投资第j个项目，xⱼ=0表示不投资；②选址问题：yᵢ=1表示在第i个地点建厂，yᵢ=0表示不建；③固定成本问题：引入0-1变量表示是否开工，开工才有固定成本；④约束条件的选择：用0-1变量表示在多个约束条件中满足哪一个；⑤指派问题：n项任务分配给n个人，xᵢⱼ=1表示第i人做第j项任务。（三）"分枝定界法"简介（重点）【识记】分枝定界法、割平面法。★★分枝定界法基本思想：先求解松弛问题（不考虑整数约束），若其最优解恰为整数解，则即为整数规划最优解；否则将松弛问题的可行域分枝为若干子域（添加整数约束），并不断调整目标函数值的上下界（定界），通过比较和剪枝最终找到最优整数解。★★分枝定界法步骤：①求解松弛问题LP，若解为整数则结束；否则设其最优值为初始上界（max问题）；②分枝：对一个取分数值的变量xₖ=bₖ（非整数），添加两个互斥约束xₖ≤⌊bₖ⌋和xₖ≥⌈bₖ⌉，将原问题分为两个子问题；③定界：分别求解各子问题，取整数解中的最大目标值作为新的下界（当前最好整数解）；④剪枝：若子问题无可行解、或其最优值不优于当前下界、或其解为整数，则不再分枝（剪枝）；⑤重复分枝、定界、剪枝，直到所有子问题被探明，当前最好整数解即为最优解。★割平面法：由Gomory提出，通过不断增加割平面（新的约束）切割掉松弛问题可行域中不含整数解的部分，最终使整数解成为可行域顶点。★★指派问题与匈牙利法：指派问题：n项任务分配给n个人（或n台设备），每人只做一项，每项任务只由一人完成，第i人做第j项任务的成本为cᵢⱼ，求总成本最小的分配方案。匈牙利法（Kuhn提出）基本步骤：①将成本矩阵每行减去该行最小元素；②每列减去该列最小元素；③用最少的直线覆盖所有零元素；④若直线数=n，则可在零元素中找到最优指派；否则继续变换矩阵，直到直线数=n。【考点提示】【高频考点·计算/单选】分枝定界法分枝与定界；指派问题匈牙利法；0-1变量建模。（四）0-1规划的解法（次重点）【理解】0-1规划的解法。★★隐枚举法：不需要列举所有2ⁿ种变量组合，而是通过设计过滤条件，只检查一部分可行的变量组合就能找到最优解。★隐枚举法要点：①求解max问题时，将目标函数中价值系数按递增排列（min问题按递减排列），可较早发现最优解；②增加过滤条件，排除不可能优于当前最好解的组合。三、本章重点与难点【本章重点】①整数规划分类；②分枝定界法；③0-1变量应用建模；④指派问题与匈牙利法；⑤隐枚举法。【本章难点】分枝定界法的分枝与剪枝过程；0-1变量建模。【客观题考点】整数规划分类、松弛问题、整数解与松弛解关系、分枝定界概念、匈牙利法、隐枚举法。【主观题考点】用分枝定界法求解整数规划；建立0-1规划模型；指派问题求解。第十章动态规划一、学习目的与要求掌握动态规划的基本概念和基本方法，正确建立动态规划的数学模型，掌握动态规划的逆序算法，掌握多阶段决策过程的算法，掌握一维资源分配问题的建模及解法，掌握高低负荷问题的建模及解法。二、核心知识点（一）单阶段决策与多阶段决策（次重点）【识记】动态规划的基本概念、基本方程。★★动态规划定义：动态规划是解决多阶段决策过程最优化问题的一种方法。它将复杂的多阶段决策问题分解为一系列相互联系、较容易求解的单阶段决策问题，逐段求解，最终求得全局最优解。★动态规划的特点：①将问题按时间或空间分解为若干阶段；②既适用于动态问题，也可解决静态规划问题（如资源分配、背包问题）；③核心是最优化原理和递推关系。（二）最短路径问题与多阶段决策问题（重点）【识记】动态规划的典型应用：资源合理分配问题、最短路线问题、背包/装载问题、生产问题。★★最短路径问题：给定线路网络图，求从起点到终点的总距离最短（或总费用最小、总时间最少）的路线。用动态规划逆序递推求解，从最后一阶段开始，逐步计算各点到终点的最短距离。（三）动态规划建模的有关概念（重点）【识记】阶段与阶段变量、状态与状态变量、决策与决策变量、状态转移方程、指标函数。★★阶段（k）：将所给问题的过程按时间或空间特征分解成若干相互联系的阶段，用阶段变量k表示。★★状态（sₖ）：各阶段开始时所处的客观条件。描述状态的变量称为状态变量，记为sₖ。状态变量必须满足无后效性（马尔可夫性）：给定某阶段状态后，该阶段以后过程的发展不受该阶段以前各阶段状态的影响。★★决策（uₖ）：当各阶段状态确定后，确定下一阶段状态的选择。描述决策的变量称为决策变量，记为uₖ(sₖ)。决策变量的取值范围称为允许决策集合Dₖ(sₖ)。★★状态转移方程：描述第k阶段状态sₖ和决策uₖ确定后，第k+1阶段状态sₖ₊₁的转移规律：sₖ₊₁=Tₖ(sₖ,uₖ)。★★策略：从第一阶段到最后一阶段各阶段决策所组成的决策序列称为全过程策略，简称策略。从第k阶段开始到终点的决策序列称为k子过程策略（k子策略）。★★指标函数：衡量所选定策略优劣的数量指标，可表示距离、费用、利润、产量等。分为阶段指标函数vₖ(sₖ,uₖ)和过程指标函数Vₖ,ₙ。最优指标函数fₖ(sₖ)表示从第k阶段状态sₖ出发到终点的最优指标值。（四）动态规划的基本方程与最优化原理（次重点）【识记】基本方程。★★贝尔曼最优化原理：作为整个过程的最优策略具有这样的性质：无论过去的状态和决策如何，对前面的决策所形成的状态而言，余下的诸决策必须构成最优策略。即：一个最优策略的子策略总是最优的。★★动态规划基本方程（逆序递推）：fₖ(sₖ)=opt{uₖ∈Dₖ(sₖ)}{vₖ(sₖ,uₖ)⊕fₖ₊₁(sₖ₊₁)}，k=n,n-1,…,1边界条件：fₙ₊₁(sₙ₊₁)=0（或给定终值）其中"opt"取max或min，"⊕"在加法模型中为"+"，在乘法模型中为"×"。★逆序解法与顺序解法：逆序解法从终点（最后阶段）向起点递推；顺序解法从起点向终点递推。一般常用逆序解法。（五）动态规划的应用（重点）【识记】资源分配问题、背包问题、生产与储存问题。★★一维资源分配问题：将一定数量的某种资源分配给n个使用者（项目），第k个使用者获得uₖ数量资源时收益为gₖ(uₖ)，求总收益最大的分配方案。状态sₖ表示分配给第k至第n个使用者的资源量，决策uₖ为分配给第k个使用者的资源量。★★背包问题：n种物品，第k种物品每件重量wₖ、价值vₖ，背包容量W，求装入物品使总价值最大。状态sₖ表示装入第k至第n种物品的剩余容量，决策uₖ为装入第k种物品的件数。★生产与储存问题（高低负荷问题）：合理安排各时期的生产量和库存量，使总费用（生产费用+储存费用）最小。状态为各期期初库存量，决策为各期生产量。【考点提示】【高频考点·计算/简答】动态规划建模（定义阶段、状态、决策、转移方程、指标函数）；逆序递推求解最短路径/资源分配问题。三、本章重点与难点【本章重点】①动态规划基本概念（阶段、状态、决策、转移方程、指标函数）；②最优化原理；③基本方程与逆序递推；④最短路径、资源分配、背包问题建模与求解。【本章难点】状态变量的定义与无后效性；动态规划建模；逆序递推计算。【客观题考点】阶段/状态/决策/策略/状态转移方程/指标函数定义、无后效性、最优化原理内容、基本方程形式、典型应用类型。【主观题考点】用动态规划逆序法求解最短路径问题；建立资源分配/背包问题的动态规划模型并求解。第十三章存储论一、学习目的与要求了解存储论的基本概念，掌握几种常见的确定型存储问题和随机存储问题的建模和求解方法。二、核心知识点（一）存储论基本概念★★存储论的基本要素：①需求率（需求量D）：单位时间内对库存的需求量，可以是确定的或随机的；②订货批量Q：每次订货的数量；③订货费（准备费）K：每次订货发生的固定费用，与订货批量无关；④存储费（持有费）H或h：单位物资单位时间的存储费用（资金利息、仓储费、损耗等）；⑤缺货费：因缺货造成的损失费用；⑥订货提前期：从发出订单到货物到达的时间；⑦货物单价（成本）c。★存储策略：决定何时订货及订多少货的方案。常见策略：t-循环策略（每隔固定时间t订货）、(s,S)策略（库存量低于s时订货，使库存达到S）、(Q,R)策略（库存量降到再订货点R时订货Q）。（二）不允许缺货、生产时间很短的确定需求存储问题（次重点）【识记】经济订货批量存储模型（EOQ模型）。★★经济订货批量模型（EOQ）假设条件：①需求是连续均匀的，需求率D为常数；②不允许缺货；③补货时间为0（生产时间很短，一次全部到货）；④每次订货费K不变，单位存储费H不变；⑤无价格折扣。★★EOQ公式：最优订货批量：Q*=√(2DK/H)最优订货周期：t*=Q*/D=√(2K/(DH))最小总费用：TC*=√(2DKH)（不含购货成本）年订货次数：N*=D/Q*=√(DH/(2K))【考点提示】【高频考点·计算/填空】EOQ公式及计算。（三）不允许缺货、生产时间较长的确定需求存储问题（次重点）【识记】经济生产批量模型（EPQ）。★★经济生产批量模型：物资边生产边消耗，生产率P（P>D），生产批量Q。生产期内库存以(P-D)速率增长，停产后以D速率消耗。最优生产批量：Q*=√(2DK/(H(1-D/P)))最小总费用：TC*=√(2DKH(1-D/P))（四）允许缺货、生产时间很短的确定需求存储问题（重点）【识记】允许缺货的经济订货批量模型。★★允许缺货模型：允许缺货，缺货部分在到货后补付。设单位缺货费为p（或C_s），最大库存量为S，最大缺货量为Q-S。最优订货批量：Q*=√(2DK/H·(H+p)/p)最大库存量：S*=√(2DK/H·p/(H+p))（五）允许缺货、生产时间较长的确定需求存储问题（次重点）★允许缺货的经济生产批量模型：综合边生产边消耗和允许缺货两种情况，公式在EPQ基础上乘以(H+p)/p因子。（六）有价格折扣的经济订货批量存储问题（次重点）【识记】经济订货批量折扣模型。★★折扣模型求解方法：当订货量达到不同数量区间时享受不同单价折扣。总费用=订货费+存储费+购货成本。①取最低价格代入EOQ公式计算Q*，若Q*在该价格对应数量区间内则为最优；②否则计算该价格区间最低订货量（折扣起点）的总费用；③依次比较各价格区间的总费用，取总费用最低的订货批量。（七）报童模型——需求为随机的单一周期存储模型【识记】单一周期的随机需求存储模型。★★报童模型（经典单周期随机存储模型）：报童每天售报数量是随机的，每售出一份赚k元（单位盈利），未售出每份赔h元（单位滞销损失）。求每天应订多少份报纸使期望损失最小（或期望利润最大）。★★最优订货量条件（临界分位数）：最优订货量Q*满足：P(D≤Q*)≥k/(k+h)（累计需求概率首次达到临界值k/(k+h)的点）即：Q*=min{Q:F(Q)≥C_u/(C_u+C_o)}，其中C_u为低估需求的单位机会损失（缺货损失），C_o为高估需求的单位超储损失。（八）基于固定再订货点的随机需求存储问题★(Q,R)模型：需求随机，当库存量降到再订货点R时发出订单，每次订货量为固定值Q。订货提前期内的需求量是随机变量，需确定安全库存以应对需求波动。（九）定期检查库存的随机需求存储问题★定期检查模型：每隔固定时间t检查库存并订货，将库存补充到目标水平S。订货量=S-当前库存。适用于需求随机的情况。三、本章重点与难点【本章重点】①EOQ模型假设与公式；②经济生产批量；③允许缺货模型；④折扣模型；⑤报童模型临界分位数。【本章难点】各模型公式的推导与区分；随机存储模型的应用。【客观题考点】存储费/订货费/缺货费概念、EOQ假设条件、各模型公式中参数含义、报童模型临界值。【主观题考点】EOQ模型计算；经济生产批量计算；允许缺货模型计算；折扣模型比较；报童模型最优订货量计算。第十四章排队论一、学习目的与要求理解排队论中的基本概念，掌握排队系统的主要数量指标，掌握单服务台负指数分布排队系统的分析方法和结果，掌握排队系统的经济分析方法及最优化问题。二、核心知识点（一）排队现象背后的科学问题（重点）【识记】排队系统的主要数量指标：队长、排队长、逗留时间。★★排队系统的三个组成部分：①输入过程（到达规律）：顾客到达的方式、顾客源数量、到达间隔时间分布；②排队规则：到达顾客按什么次序接受服务（等待制、损失制、混合制）；③服务机构：服务台数量、服务台排列方式（串联/并联）、服务时间分布。★服务规则（等待制）：①先到先服务（FCFS）；②后到先服务（LCFS）；③随机服务；④有优先权服务。最常见的是先到先服务。★★排队系统主要数量指标：①队长（L）：系统中的平均顾客数（正在服务+排队等待）；②排队长/队列长（L_q）：系统中排队等待服务的平均顾客数；③逗留时间（W）：顾客在系统中的平均停留时间（服务时间+等待时间）；④等待时间（W_q）：顾客在队列中平均等待时间；⑤忙期：服务机构连续繁忙的时间长度；⑥服务强度ρ：服务机构的平均利用率。★★Little公式（李特尔公式）：L=λW，L_q=λW_q，W=W_q+1/μ。其中λ为平均到达率，μ为平均服务率。★排队模型分类（Kendall记号）：X/Y/Z/A/B/C。X=到达间隔分布，Y=服务时间分布，Z=服务台数，A=系统容量，B=顾客源数，C=服务规则。如M/M/1表示泊松到达、负指数服务、1个服务台。★常见分布符号：M=负指数分布（泊松过程），D=定长分布，E_k=k阶爱尔朗分布，G=一般分布。（二）只有一个服务窗口的银行排队系统（重点）【识记】负指数分布、泊松流。★★泊松流（最简单流）的条件：①平稳性：在区间[t,t+Δt]内到达k个顾客的概率只与Δt有关；②无后效性（独立性）：不相交区间内的到达数相互独立；③普通性：在充分小的Δt内最多到达1个顾客；④有限性：任意有限区间内到达有限个顾客。★★重要性质：顾客到达数服从泊松分布⟺到达间隔时间服从负指数分布（同参数λ）。★★M/M/1模型（标准M/M/1/∞/∞）：泊松到达（到达率λ）、负指数服务时间（服务率μ）、单服务台、系统容量无限、顾客源无限、先到先服务。★★M/M/1稳态运行指标公式：服务强度（交通强度）：ρ=λ/μ，系统稳定条件ρ<1系统空闲概率：P₀=1-ρ系统中有n个顾客的概率：Pₙ=(1-ρ)ρⁿ平均队长：L=ρ/(1-ρ)=λ/(μ-λ)平均排队长：L_q=ρ²/(1-ρ)=λ²/(μ(μ-λ))平均逗留时间：W=1/(μ-λ)平均等待时间：W_q=λ/(μ(μ-λ))【考点提示】【高频考点·计算】M/M/1各指标计算；Little公式验证。（三）有多个服务窗口的银行排队系统（重点）【识记】多服务台泊松到达。★★M/M/c模型：泊松到达率λ、c个并联服务台、每台服务率μ、负指数服务时间。系统稳定条件：ρ=λ/(cμ)<1系统空闲概率：P₀=1/[Σₙ=0^{c-1}(λ/μ)ⁿ/n!+(λ/μ)^c/(c!(1-ρ))]平均排队长：L_q=P₀(λ/μ)^cρ/(c!(1-ρ)²)平均队长：L=L_q+λ/μ平均等待时间：W_q=L_q/λ；平均逗留时间：W=W_q+1/μ★服务台最佳数量确定：用边际分析法，比较增加服务台的成本与顾客等待费用的节约，使总费用最小。（四）便利店排队系统、汽车自动冲洗排队系统（次重点）★M/G/1模型：泊松到达、任意（一般）服务时间分布、单服务台。服务时间均值E[T]=1/μ，方差Var[T]=σ²。P-K公式（Pollaczek-Khintchine）：L_q=λ²σ²+ρ²/(2(1-ρ))，L=L_q+ρ★M/D/1模型：泊松到达、定长服务时间、单服务台。σ²=0，L_q=ρ²/(2(1-ρ))，其排队长度恰好为M/M/1的一半。（五）电话订货排队系统（次重点）★损失制排队模型M/M/c/c（爱尔朗损失公式）：系统容量等于服务台数c，顾客到达时若c个服务台都忙则立即离去（损失）。顾客损失概率B(c,a)=a^c/(c!)/Σₖ=0^caᵏ/k!（爱尔朗B公式），其中a=λ/μ。（六）车间机器维修排队系统、理发店排队系统（一般）★顾客源有限模型M/M/1/∞/m：顾客总数为m（如m台机器），有限源。到达率随系统内顾客数变化。★系统容量有限模型M/M/1/K/∞：系统最多容纳K个顾客，顾客到达时若系统满则离去。三、本章重点与难点【本章重点】①排队系统组成与数量指标；②泊松流条件；③M/M/1公式与计算；④M/M/c公式；⑤M/G/1的P-K公式；⑥Little公式。【本章难点】M/M/c公式计算；P-K公式；各模型适用条件区分。【客观题考点】排队系统三要素、数量指标定义、Little公式、Kendall记号、泊松流条件、M/M/1稳定条件ρ<1、M/D/1与M/M/1关系。【主观题考点】M/M/1系统各指标计算；M/M/c系统指标计算；服务台优化。第十六章决策分析一、学习目的与要求掌握不确定型决策和风险型决策的基本方法，理解决策树法和灵敏度分析，了解效用理论在决策中的应用。二、核心知识点（一）不确定情况下的决策（一般）【识记】悲观准则、乐观准则。★★不确定型决策：决策者对未来自然状态发生的概率完全未知（无法估计），只能根据不同准则进行决策。★★五种决策准则：①悲观准则（maxmin准则/小中取大/瓦尔德准则）：对每个方案找出最不利情况下的最小收益，再从中选最大者。保守稳妥，从最坏结果中选最好的。②乐观准则（maxmax准则/大中取大）：对每个方案找出最有利情况下的最大收益，再从中选最大者。冒险激进。③等可能性准则（拉普拉斯准则）：假定各自然状态出现概率相等，计算各方案的平均收益，选平均收益最大者。④折中准则（赫威斯准则/Hurwicz）：设定乐观系数α（0≤α≤1），对每个方案计算折中收益值=α×最大收益+(1-α)×最小收益，选最大者。⑤后悔值准则（萨维奇准则/Savage/最小遗憾准则）：先构造后悔值矩阵（某状态下各方案收益与该状态最大收益之差），对每个方案找出最大后悔值，再从中选最小者（大中取小）。【考点提示】【高频考点·单选/计算】五种准则的名称、别名、