自考13174概率论与数理统计（工）高频考点重点

高等教育自学考试13174概率论与数理统计（工）高频考点重点·彩色划书背诵版指定教材：《概率论与数理统计（工）》孙洪祥、张志刚主编北京大学出版社2023年版（ISBN9787301344088）依据：教材配套《自学考试大纲》★考情分析与使用说明（务必先看）【领会·中频】〔了解〕课程性质与命题本课程为高等教育自学考试工科类专业公共基础课，全国统一命题、闭卷，考试时间150分钟，满分100分，60分及格。2024年起按新大纲、新代码13174命题（由原02197概率论与数理统计（二）调整而来）。【掌握·高频】〔熟记〕题型、题量与分值（2025.10最新结构）一、单项选择题：10小题，每小题2分，共20分（四选一）。二、填空题：15小题，每小题2分，共30分。三、计算题：2小题，每小题8分，共16分。四、综合题：2小题，每小题12分，共24分。五、应用题：1小题，共10分。合计20＋30＋16＋24＋10＝100分。【掌握·高频】〔熟记〕能力层次与各章分值重心能力层次由低到高：识记→领会→简单应用→综合应用。概率论（第1～5章）约占60%～65%，数理统计（第6～8章）约占35%～40%。客观题（单选＋填空50分）覆盖面广、重基础概念与公式；主观题（50分）集中在：全概率/贝叶斯、一维及二维随机变量分布、数字特征、参数估计、假设检验。【掌握·高频】〔重点〕高频命题点（按两套真题统计）第1章：事件关系运算、古典概型、加法公式、条件概率与乘法、全概率与贝叶斯、独立性与伯努利（几乎必考主观题）。第2章：分布律/分布函数/概率密度互求、常见分布（二项、泊松、均匀、指数、正态）、随机变量函数分布。第3章：联合分布与边缘分布、独立性判断（离散＋连续）、二维概率计算。第4章：期望、方差、协方差、相关系数的计算与性质（主观题高频）。第5章：切比雪夫不等式、中心极限定理（填空/应用）。第6章：χ²、t、u（正态）分布与正态总体抽样分布、样本均值/样本方差。第7章：矩估计、极大似然估计、无偏性、正态总体参数的置信区间。第8章：两类错误、u检验、t检验、χ²检验、假设检验步骤（应用题高频）。【识记·基础】颜色与标记说明红色【掌握·高频】＝必须会做的核心、必考计算与结论；蓝色【领会·中频】＝需理解、常出计算/综合；绿色【识记·基础】＝记忆性概念，常出选择/填空。橙色题型标签标明该考点常见出题形式：〔单选〕〔填空〕〔计算〕〔综合〕〔应用〕。第一章随机事件与概率【识记·基础】〔单选〕随机试验、样本空间与随机事件随机现象：在一定条件下可能出现不同结果、且事先不能预言确切结果的现象；个别试验结果不确定，大量重复呈现统计规律性。随机试验E的特点：可在相同条件下重复；结果不止一个且事先明确全部可能结果；每次试验前不能确定哪个结果出现。样本空间Ω：试验所有可能结果组成的集合；样本点（基本事件）ω：其中每个结果。随机事件：样本空间的子集，简称事件，常用A、B、C表示，试验中当且仅当其中一个样本点出现时事件发生。基本事件：由一个样本点组成；必然事件Ω（每次必发生）；不可能事件∅（每次都不发生）。【掌握·高频】〔单选〕事件的关系与运算包含A⊂B：A发生必导致B发生；相等A＝B：A⊂B且B⊂A。和（并）A∪B（也记A+B）：A、B至少一个发生；n个事件的并∪Ai。积（交）A∩B（也记AB）：A、B同时发生；n个事件的交∩Ai。差A−B＝A−AB＝AB̄：A发生而B不发生。互斥（互不相容）：AB＝∅，即A、B不能同时发生。对立（互逆）：A∪B＝Ω且AB＝∅，记B＝Ā；Ā＝Ω−A，A与Ā有且仅有一个发生。注意：对立一定互斥，互斥不一定对立。【掌握·高频】〔单选〕事件运算律交换律：A∪B＝B∪A，AB＝BA。结合律：(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)，(AB)C＝A(BC)。分配律：A(B∪C)＝AB∪AC；A∪(BC)＝(A∪B)(A∪C)。对偶律（德·摩根律，重点）：A∪B的对立＝ĀB̄；AB的对立＝Ā∪B̄。常用：A＝AB∪AB̄（把A按B是否发生拆分）。【识记·基础】〔单选〕频率与概率频率fn(A)＝nA/n（n次试验中A发生nA次），具有随机波动性，但n增大时稳定于某常数——概率的统计定义。概率的公理化定义：对每个事件A赋予实数P(A)，满足非负性P(A)≥0、规范性P(Ω)＝1、可列可加性（两两互斥时P(∪Ai)＝ΣP(Ai)）。【掌握·高频】〔计算〕古典概型两个特征：样本空间有限（有限个样本点）；每个基本事件等可能。公式：P(A)＝A包含的基本事件数/基本事件总数＝k/n。常用排列组合：加法原理、乘法原理；排列A(n,m)＝n!/(n−m)!；组合C(n,m)＝n!/[m!(n−m)!]。抽球、掷骰子、分房、取数等是典型模型；注意“有放回/无放回”“有序/无序”。【领会·中频】〔填空〕几何概型样本空间为直线、平面或空间中的可度量区域Ω，事件A对应子区域，样本点等可能落入。P(A)＝A的度量（长度/面积/体积）/Ω的度量。【掌握·高频】〔计算〕概率的基本性质P(∅)＝0；有限可加性：AB＝∅时P(A∪B)＝P(A)＋P(B)。对立事件：P(Ā)＝1−P(A)。减法公式：A⊂B时P(B−A)＝P(B)−P(A)，且P(A)≤P(B)；一般P(A−B)＝P(A)−P(AB)。广义加法公式（重点）：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)−P(AB)。三个事件：P(A∪B∪C)＝P(A)+P(B)+P(C)−P(AB)−P(AC)−P(BC)+P(ABC)。【掌握·高频】〔计算·综合〕条件概率与乘法公式条件概率：P(B|A)＝P(AB)/P(A)（P(A)>0），表示A发生条件下B发生的概率。乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A)＝P(B)P(A|B)。一般：P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(An|A1…A(n−1))。【掌握·高频】〔综合·应用〕全概率公式完备事件组（划分）：B1,B2,…,Bn两两互斥且∪Bi＝Ω。全概率公式：P(A)＝ΣP(Bi)P(A|Bi)。思想：把复杂事件A按“原因/情况”Bi分解为若干互斥部分求和。【掌握·高频】〔综合·应用〕贝叶斯公式P(Bk|A)＝P(Bk)P(A|Bk)/ΣP(Bi)P(A|Bi)。其中P(Bk)称先验概率，P(Bk|A)称后验概率；分子＝P(ABk)，分母＝P(A)。常与全概率公式连考：先用全概率求P(A)，再用贝叶斯求“某原因”的后验概率。【掌握·高频】〔计算〕事件的独立性两事件独立：P(AB)＝P(A)P(B)，等价于P(B|A)＝P(B)（P(A)>0）。若A与B独立，则A与B̄、Ā与B、Ā与B̄也独立。三事件相互独立：两两独立且P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)（注意两两独立不一定相互独立）。【领会·中频】〔单选〕独立与互斥的区别互斥：AB＝∅，描述“能否同时发生”；独立：P(AB)＝P(A)P(B)，描述“概率是否相互影响”。当P(A)、P(B)都大于0时，互斥则不独立、独立则不互斥（二者一般不能同时成立）。【掌握·高频】〔计算〕n重伯努利试验与二项概率伯努利试验：只有两个结果A（成功，概率p）与Ā（失败，概率1−p）。n重伯努利：将试验独立重复n次；设X为A发生次数，则X～B(n,p)。恰好发生k次：P(X＝k)＝C(n,k)p^k(1−p)^(n−k)，k＝0,1,…,n。至少发生一次：P(X≥1)＝1−(1−p)^n。◆典型例题（古典概型·抽球）袋中有4红3白共7球，无放回依次取3球，求：(1)前两次都取到红球的概率；(2)第三次取到白球的概率。(1)P(A)＝(4/7)(3/6)＝2/7。(2)由“抽签原理”，每个位置抽到白球概率相同，P(B)＝3/7。◆典型例题（全概率＋贝叶斯）某厂产品由甲、乙、丙三台机器生产，产量分别占20%、30%、50%，次品率分别为5%、4%、2%。(1)任取一件是次品的概率；(2)若取到次品，它由丙机器生产的概率。设B1,B2,B3为甲、乙、丙，A为次品。(1)P(A)＝0.2×0.05＋0.3×0.04＋0.5×0.02＝0.01＋0.012＋0.01＝0.032。(2)P(B3|A)＝(0.5×0.02)/0.032＝0.01/0.032＝0.3125。◆典型例题（伯努利）一批产品次品率0.1，有放回地取5件，求恰好4件正品的概率，以及至少1件次品的概率。设X为次品件数，X～B(5,0.1)；“恰好4件正品”＝“恰好1件次品”。P(X＝1)＝C(5,1)(0.1)(0.9)^4＝5×0.1×0.6561＝0.32805。P(X≥1)＝1−0.9^5＝1−0.59049＝0.40951。★提示全概率/贝叶斯题先写“完备事件组”，把每种情况列清楚；看到“已知结果求原因/来源”用贝叶斯，看到“求结果总的概率”用全概率。第二章随机变量及其概率分布【识记·基础】〔单选〕随机变量的概念随机变量：定义在样本空间上的实值函数X＝X(ω)，将随机试验的结果数量化，常用大写X、Y、Z表示，取值用小写x、y。分类：离散型（取值有限或可列无限个）与连续型（取值充满某区间）。【掌握·高频】〔计算〕离散型随机变量及分布律分布律（概率分布）：P(X＝xk)＝pk，k＝1,2,…；可用表格或公式表示。两条性质：pk≥0；Σpk＝1。由分布律求概率：P(X∈A)＝Σ(xk∈A)pk。【掌握·高频】〔计算〕0-1分布与二项分布0-1分布（两点分布）：P(X＝1)＝p，P(X＝0)＝1−p；记X～B(1,p)，描述一次伯努利试验。二项分布X～B(n,p)：P(X＝k)＝C(n,k)p^k(1−p)^(n−k)；是n重伯努利中成功次数。当n＝1时二项分布即0-1分布。【掌握·高频】〔填空·计算〕泊松分布X～P(λ)（或π(λ)）：P(X＝k)＝(λ^k/k!)e^(−λ)，k＝0,1,2,…，λ>0。P(X≥1)＝1−P(X＝0)＝1−e^(−λ)。用于描述稀有事件、单位时间/空间内的计数（如电话呼叫数、事故数、缺陷数）。二项分布的泊松逼近：n很大、p很小、np适中时，B(n,p)近似P(np)。【掌握·高频】〔计算〕分布函数及其性质分布函数F(x)＝P(X≤x)，−∞<x<∞。性质：①单调不减；②0≤F(x)≤1，F(−∞)＝0，F(＋∞)＝1；③右连续F(x＋0)＝F(x)。概率计算：P(a<X≤b)＝F(b)−F(a)；P(X>a)＝1−F(a)；P(X＝a)＝F(a)−F(a−0)。【领会·中频】〔计算〕离散型由分布律求分布函数F(x)是阶梯函数，在X的取值点处跳跃，跳跃高度等于该点概率；F(x)＝Σ(xk≤x)pk。【掌握·高频】〔计算〕连续型随机变量及概率密度若存在非负可积函数f(x)，使F(x)＝∫(−∞→x)f(t)dt，则X为连续型，f为概率密度。密度性质：f(x)≥0；∫(−∞→＋∞)f(x)dx＝1。概率：P(a<X≤b)＝∫(a→b)f(x)dx；连续型取任一指定值概率为0P(X＝a)＝0。在f(x)连续点F′(x)＝f(x)。【掌握·高频】〔计算〕均匀分布X～U(a,b)（或U[a,b]）：f(x)＝1/(b−a)，a≤x≤b，其他为0。F(x)＝0(x<a)，(x−a)/(b−a)(a≤x<b)，1(x≥b)。P(c<X<d)＝(d−c)/(b−a)（区间落在[a,b]内），即概率与区间长度成正比。【掌握·高频】〔填空·计算〕指数分布X～Exp(λ)：f(x)＝λe^(−λx)，x≥0（λ>0），x<0为0。F(x)＝1−e^(−λx)，x≥0。P(X>t)＝e^(−λt)；具有无记忆性P(X>s+t|X>s)＝P(X>t)。常描述元件寿命、等待时间、服务时间。【掌握·高频】〔计算·综合〕正态分布（重中之重）X～N(μ,σ²)：f(x)＝1/(σ√(2π))exp[−(x−μ)²/(2σ²)]，−∞<x<∞。特征：关于x＝μ对称；在x＝μ处取最大值；μ为位置参数，σ为尺度参数（σ越大越矮胖、越分散）；拐点在μ±σ。标准正态N(0,1)：密度φ(x)＝1/√(2π)e^(−x²/2)，分布函数Φ(x)＝P(Z≤x)。对称性：Φ(−x)＝1−Φ(x)；Φ(0)＝0.5。标准化（重点）：X～N(μ,σ²)，则Z＝(X−μ)/σ～N(0,1)，故P(X≤x)＝Φ((x−μ)/σ)。3σ准则：P(|X−μ|<σ)≈0.6826；<2σ≈0.9545；<3σ≈0.9973。【领会·中频】〔填空〕正态分布的常用概率P(μ−σ<X<μ+σ)＝2Φ(1)−1≈0.6826；P(μ−2σ<X<μ+2σ)≈0.9545；P(μ−3σ<X<μ+3σ)≈0.9973。上侧α分位点zα满足P(Z>zα)＝α，即Φ(zα)＝1−α；z0.025＝1.96，z0.05＝1.645，z0.01＝2.326。【掌握·高频】〔计算〕离散型随机变量函数的分布Y＝g(X)：先求Y的所有可能取值，再把对应X取值的概率求和（相同Y值合并）。【掌握·高频】〔综合〕连续型随机变量函数的分布（分布函数法）Y＝g(X)：先求FY(y)＝P(g(X)≤y)，通过不等式g(X)≤y转化为X在某区域的概率，用fX积分表示；再对y求导得fY(y)＝FY′(y)。单调函数公式：若y＝g(x)严格单调、可导，反函数x＝h(y)，则fY(y)＝fX(h(y))|h′(y)|。◆典型例题（分布律与分布函数）设X分布律为P(X=−1)＝0.2，P(X＝0)＝0.3，P(X＝1)＝0.5，求F(x)及P(−1<X≤1)。F(x)在x<−1为0；−1≤x<0为0.2；0≤x<1为0.5；x≥1为1。P(−1<X≤1)＝F(1)−F(−1)＝1−0.2＝0.8（即X＝0与X＝1概率之和0.3＋0.5）。◆典型例题（密度归一化与概率）设X的密度f(x)＝{cx,0≤x≤2；0,其他}。(1)求c；(2)求P(X≤1)。(1)∫0^2cxdx＝c·(4/2)＝2c＝1，故c＝1/2。(2)P(X≤1)＝∫0^1(x/2)dx＝(1/2)(1/2)＝1/4。◆典型例题（正态标准化）X～N(100,10²)，求P(X>115)。Z＝(115−100)/10＝1.5。P(X>115)＝1−Φ(1.5)＝1−0.9332＝0.0668。◆典型例题（指数分布）X服从参数λ＝2的指数分布，求P(X>1)与P(1<X≤2)。P(X>1)＝e^(−2)≈0.1353。P(1<X≤2)＝e^(−2)−e^(−4)≈0.1353−0.0183＝0.1170。★提示看到密度先验证/利用“积分等于1”求常数；正态题一律先标准化再查Φ表；求函数分布优先用“分布函数法”，注意写清y的分段范围。第三章多维随机变量及其概率分布【识记·基础】〔单选〕二维随机变量与联合分布函数二维随机变量(X,Y)：X、Y是定义在同一样本空间上的两个随机变量，视为平面上的随机点。联合分布函数F(x,y)＝P(X≤x,Y≤y)：随机点落入以(x,y)为右上顶点的左下方无穷矩形的概率。性质：对x、y分别单调不减；0≤F≤1，F(−∞,y)＝F(x,−∞)＝F(−∞,−∞)＝0，F(＋∞,＋∞)＝1；对x、y右连续。矩形概率：P(x1<X≤x2,y1<Y≤y2)＝F(x2,y2)−F(x2,y1)−F(x1,y2)+F(x1,y1)。【掌握·高频】〔计算〕二维离散型联合分布律联合分布律pij＝P(X＝xi,Y＝yj)，常用二维表格表示。性质：pij≥0；ΣiΣjpij＝1。求概率：P((X,Y)∈D)＝Σ((xi,yj)∈D)pij。【掌握·高频】〔计算〕边缘分布律X的边缘分布：pi·＝Σjpij（联合表中第i行求和）；Y的边缘分布：p·j＝Σipij（第j列求和）。联合分布唯一确定边缘分布；边缘分布一般不能确定联合分布。【掌握·高频】〔计算〕二维连续型联合密度若F(x,y)＝∫(−∞→x)∫(−∞→y)f(u,v)dvdu，则f(x,y)为联合概率密度。性质：f(x,y)≥0；∫∫f(x,y)dxdy＝1。概率：P((X,Y)∈D)＝∬_Df(x,y)dxdy（在区域D上二重积分）。【掌握·高频】〔计算〕边缘概率密度（重点）fX(x)＝∫(−∞→＋∞)f(x,y)dy（把y积掉）；fY(y)＝∫(−∞→＋∞)f(x,y)dx。注意积分范围与x、y的取值区域，常需分段讨论。【领会·中频】〔单选〕二维均匀分布与二维正态分布二维均匀：f(x,y)＝1/S_D，(x,y)∈有界区域D（S_D为D的面积），概率与子区域面积成正比。二维正态(X,Y)～N(μ1,μ2,σ1²,σ2²,ρ)：含5个参数；边缘分布仍为正态X～N(μ1,σ1²)、Y～N(μ2,σ2²)；ρ为X、Y的相关系数。二维正态中X、Y不相关⇔X、Y相互独立（ρ＝0），这是它的重要性质。【掌握·高频】〔计算·单选〕随机变量独立性的判断（重点）一般定义：对任意x,y有F(x,y)＝FX(x)FY(y)。离散型：X、Y独立⇔pij＝pi·p·j（表中每格＝对应行边缘×列边缘）。连续型：X、Y独立⇔f(x,y)＝fX(x)fY(y)。快捷判断（连续）：若联合密度能写成“只含x的函数×只含y的函数”，且取值区域为矩形（边界不含另一变量），则独立。【领会·中频】〔填空〕n个随机变量独立若对所有(x1,…,xn)有F(x1,…,xn)＝FX1(x1)…FXn(xn)，则X1,…,Xn相互独立；此时联合密度可分离为各边缘之积。【领会·中频】〔计算〕两个随机变量函数的分布离散型：Z＝g(X,Y)，枚举(X,Y)各取值并把Z相同值的概率合并。常用：和Z＝X+Y；max(X,Y)、min(X,Y)。【领会·中频】〔填空〕独立连续型之和（卷积公式）X、Y独立，Z＝X+Y：fZ(z)＝∫(−∞→＋∞)fX(x)fY(z−x)dx＝∫fX(z−y)fY(y)dy。独立正态可加性：X～N(μ1,σ1²),Y～N(μ2,σ2²)独立，则X+Y～N(μ1+μ2,σ1²+σ2²)。max的分布（独立）：F_max(z)＝FX(z)FY(z)；min：F_min(z)＝1−[1−FX(z)][1−FY(z)]。◆典型例题（二维连续·边缘·独立）设(X,Y)密度f(x,y)＝{x+y,0≤x≤1,0≤y≤1；0,其他}。求(1)常数是否为1；(2)边缘密度并判断独立性；(3)P(X+Y≤1)。(1)∫0^1∫0^1(x+y)dxdy＝1/2+1/2＝1，密度已归一（即系数k＝1）。(2)fX(x)＝∫0^1(x+y)dy＝x+1/2；fY(y)＝y+1/2。因f(x,y)＝x+y≠(x+1/2)(y+1/2)，故X、Y不独立。(3)P(X+Y≤1)＝∫0^1∫0^(1−y)(x+y)dxdy＝1/3。◆典型例题（二维离散）设(X,Y)联合分布X行(1,2)、Y列(0,1,2)：(1,0)=0.1,(1,1)=0.3,(1,2)=a,(2,0)=0.1,(2,1)=0.1,(2,2)=0.2。求a及P(X≤Y)。由归一0.1+0.3+a+0.1+0.1+0.2＝1，得a＝0.2。X≤Y的格子：(1,1)=0.3,(1,2)=0.2,(2,2)=0.2，故P(X≤Y)＝0.7。★提示求边缘密度务必画清(X,Y)的取值区域，确定积分上下限；判断连续型独立看“能否分离变量＋区域是否为矩形”，两者缺一不可。第四章随机变量的数字特征【掌握·高频】〔计算〕离散型数学期望E(X)＝Σkxkpk（级数绝对收敛时存在）；反映随机变量取值的平均水平（加权平均，权重为概率）。【掌握·高频】〔计算〕连续型数学期望E(X)＝∫(−∞→＋∞)xf(x)dx（积分绝对收敛时存在）。【掌握·高频】〔计算〕随机变量函数的期望（重点，常用）离散：E[g(X)]＝Σg(xk)pk；连续：E[g(X)]＝∫g(x)f(x)dx。二维：E[g(X,Y)]＝∬g(x,y)f(x,y)dxdy（连续）。优点：不必先求出g(X)的分布，直接用原分布计算。【掌握·高频】〔计算〕数学期望的性质E(C)＝C；E(CX)＝CE(X)；E(X+Y)＝E(X)+E(Y)；X、Y独立时E(XY)＝E(X)E(Y)（反之不一定）；一般E(aX+bY+c)＝aE(X)+bE(Y)+c。【掌握·高频】〔计算〕方差的概念与计算方差D(X)（也记Var(X)）＝E{[X−E(X)]²}，衡量X取值对期望的平均偏离（离散）程度。重要计算公式：D(X)＝E(X²)−[E(X)]²。标准差σ(X)＝√D(X)，与X同量纲。【掌握·高频】〔计算〕方差的性质D(C)＝0；D(aX)＝a²D(X)；D(aX+b)＝a²D(X)；X、Y独立时D(X±Y)＝D(X)+D(Y)；一般D(X±Y)＝D(X)+D(Y)±2Cov(X,Y)。D(X)≥0；D(X)＝0⇔X以概率1取常数。【掌握·高频】〔熟记〕常见分布的期望与方差（高频，必背）0-1分布B(1,p)：E＝p，D＝p(1−p)。二项分布B(n,p)：E＝np，D＝np(1−p)。泊松分布P(λ)：E＝λ，D＝λ。均匀分布U(a,b)：E＝(a+b)/2，D＝(b−a)²/12。指数分布Exp(λ)：E＝1/λ，D＝1/λ²。正态分布N(μ,σ²)：E＝μ，D＝σ²。【掌握·高频】〔计算〕协方差Cov(X,Y)＝E{[X−E(X)][Y−E(Y)]}。计算公式：Cov(X,Y)＝E(XY)−E(X)E(Y)。性质：Cov(X,X)＝D(X)；Cov(X,Y)＝Cov(Y,X)；Cov(aX,bY)＝abCov(X,Y)；Cov(X1+X2,Y)＝Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)。【掌握·高频】〔计算〕相关系数ρXY＝Cov(X,Y)/[σ(X)σ(Y)]（X、Y方差均大于0）。性质：|ρ|≤1；|ρ|＝1⇔X与Y以概率1存在线性关系（Y＝aX+b，ρ＝1对应a>0，ρ＝−1对应a<0）。ρ＝0称X、Y不相关（不存在线性关系）。【掌握·高频】〔单选·综合〕不相关与独立的关系（重点辨析）独立⇒不相关（独立时Cov＝0，ρ＝0）；但不相关一般推不出独立（可能存在非线性关系）。例外：二维正态分布时，不相关⇔相互独立。【领会·中频】〔单选〕矩与协方差矩阵k阶原点矩E(X^k)；k阶中心矩E{[X−E(X)]^k}；期望是一阶原点矩，方差是二阶中心矩。混合矩E(X^kY^l)、混合中心矩Cov；(X,Y)的协方差矩阵由D(X)、D(Y)、Cov构成，且为半正定矩阵。◆典型例题（期望与方差）设X密度f(x)＝{3x²,0<x<1；0,其他}，求E(X)、D(X)及D(4X)。E(X)＝∫0^13x³dx＝3/4；E(X²)＝∫0^13x⁴dx＝3/5。D(X)＝3/5−(3/4)²＝3/80；D(4X)＝16×3/80＝3/5＝0.6。◆典型例题（协方差与相关系数）已知D(X)＝3，D(Y)＝5，D(X−2Y)＝15，求Cov(X,Y)。D(X−2Y)＝D(X)+4D(Y)−4Cov＝3+20−4Cov＝15。解得Cov(X,Y)＝2。◆典型例题（函数的期望）设X～B(4,1/2)，求E[(X+1)²]。E(X)＝2，D(X)＝1，故E(X²)＝D(X)+[E(X)]²＝5。E[(X+1)²]＝E(X²)+2E(X)+1＝5+4+1＝10。★提示求E[g(X)]、D(X)优先用公式直接积分，不必求g(X)分布；“不相关”只代表没有线性关系，除非二维正态，否则不能据此判断独立。第五章大数定律与中心极限定理【掌握·高频】〔填空·计算〕切比雪夫不等式设E(X)＝μ，D(X)＝σ²，则对任意ε>0：P(|X−μ|≥ε)≤σ²/ε²（或P(|X−μ|<ε)≥1−σ²/ε²）。作用：在分布未知时，仅用期望、方差估计事件概率的界；ε越大界越紧。【领会·中频】〔单选〕大数定律伯努利大数定律：n重伯努利中事件A发生频率nA/n依概率收敛于概率p，即n→∞时nA/n→p（概率意义），说明频率稳定于概率。切比雪夫（独立同分布）大数定律：X1,X2,…独立同分布且E(Xi)＝μ、D(Xi)＝σ²，则样本均值(1/n)ΣXi依概率收敛于μ。“依概率收敛”：n很大时，Xn与常数a偏差较大的概率可任意小。【掌握·高频】〔应用·填空〕独立同分布中心极限定理X1,X2,…独立同分布，E(Xi)＝μ，D(Xi)＝σ²，则当n充分大时，ΣXi近似服从N(nμ,nσ²)。标准化形式：(ΣXi−nμ)/(σ√n)近似N(0,1)。即P(ΣXi≤x)≈Φ((x−nμ)/(σ√n))。【掌握·高频】〔应用〕棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理设X～B(n,p)（n重伯努利成功次数），n充分大时X近似N(np,np(1−p))。标准化：(X−np)/√[np(1−p)]近似N(0,1)。用于二项分布的近似计算（正态逼近）。◆典型例题（切比雪夫不等式）设E(X)＝50，D(X)＝25，估计P(|X−50|≥10)的上界。P(|X−50|≥10)≤25/10²＝0.25。◆典型例题（中心极限定理）设X1,…,X100独立同分布，E(Xi)＝2，D(Xi)＝9，求P(ΣXi>230)的近似值。ΣXi的期望＝200，标准差＝√(100×9)＝30。P(ΣXi>230)≈1−Φ((230−200)/30)＝1−Φ(1)＝1−0.8413＝0.1587。◆典型例题（棣莫弗—拉普拉斯）某元件寿命X服从均值100h的指数分布，随机取16只，寿命相互独立，求总寿命超过1920h的近似概率。指数均值100⇒E(X)＝100，D(X)＝10000；总寿命T：E(T)＝1600，标准差＝√(16×10000)＝400。P(T>1920)≈1−Φ((1920−1600)/400)＝1−Φ(0.8)＝1−0.7881＝0.2119。★提示中心极限定理三要素：先求“和”的期望nμ与标准差σ√n，再标准化查Φ表；二项分布用np、√[np(1−p)]，注意题目要求的是“>”还是“≤”。第六章统计量及其抽样分布【识记·基础】〔单选〕总体、个体与样本总体：研究对象的全体（通常指某个随机变量X及其分布）；个体：组成总体的每个对象。样本：从总体中抽取的n个个体X1,X2,…,Xn，n称样本容量；样本观测值x1,…,xn。简单随机样本：X1,…,Xn相互独立且与总体X同分布（i.i.d.），本章默认此种样本。【掌握·高频】〔单选〕统计量统计量：样本X1,…,Xn的不含任何未知参数的函数g(X1,…,Xn)，是随机变量；其观测值由样本数据算得。样本均值：X̄＝(1/n)ΣXi；样本方差：S²＝(1/(n−1))Σ(Xi−X̄)²（除以n−1！）；样本标准差S＝√S²。样本k阶原点矩：(1/n)ΣXi^k；样本中位数、极大/极小顺序统计量X_(n)、X_(1)。【领会·中频】〔了解〕经验分布函数Fn(x)＝(样本中取值≤x的个数)/n；n→∞时Fn(x)依概率（甚至一致）收敛于总体分布函数F(x)。【掌握·高频】〔单选〕χ²（卡方）分布定义：Z1,…,ZniidN(0,1)，χ²＝ΣZi²～χ²(n)，n为自由度。数字特征：E(χ²)＝n，D(χ²)＝2n。可加性：X～χ²(n1)、Y～χ²(n2)独立，则X+Y～χ²(n1+n2)。上侧α分位点χ²α(n)：P(χ²>χ²α(n))＝α。【掌握·高频】〔单选〕t分布定义：Z～N(0,1)、V～χ²(n)且独立，T＝Z/√(V/n)～t(n)。密度关于纵轴对称、形状类似标准正态但更“胖”（尾部概率更大）；n→∞时t(n)趋近N(0,1)。上侧α分位点tα(n)，且t(1−α)(n)＝−tα(n)（对称）。【领会·中频】〔单选〕F分布定义：U～χ²(n1)、V～χ²(n2)独立，F＝(U/n1)/(V/n2)～F(n1,n2)。性质：若F～F(n1,n2)，则1/F～F(n2,n1)；上侧α分位Fα(n1,n2)。【掌握·高频】〔计算·综合〕正态总体的抽样分布（重中之重）设总体X～N(μ,σ²)，X1,…,Xn为样本，X̄为样本均值，S²为样本方差，则：①X̄～N(μ,σ²/n)；U＝(X̄−μ)/(σ/√n)～N(0,1)。②X̄与S²相互独立。③(n−1)S²/σ²～χ²(n−1)。④T＝(X̄−μ)/(S/√n)～t(n−1)。两个正态总体（了解）：F＝(S1²/σ1²)/(S2²/σ2²)～F(n1−1,n2−1)。◆典型例题（χ²分布自由度）设X1,…,X10为来自标准正态N(0,1)的样本，求ΣXi²与Σ(Xi−X̄)²各服从什么分布。ΣXi²～χ²(10)（自由度10）。Σ(Xi−X̄)²＝(n−1)S²～χ²(n−1)＝χ²(9)（自由度9）。◆典型例题（样本均值的分布）总体X～N(1,9)，X1,…,X9为样本，X̄为样本均值，写出标准化统计量。X̄～N(1,9/9)＝N(1,1)，故(X̄−1)/1＝X̄−1～N(0,1)。★提示正态总体“四大结论”要记牢，关键看σ已知（用U）还是未知（用T、S）；样本方差除以n−1，但Σ(Xi−X̄)²/σ²的自由度是n−1。第七章参数估计【掌握·高频】〔计算〕矩估计法替换原理：用样本矩替换相应总体矩（如令E(X)＝X̄，含两个参数再令E(X²)＝(1/n)ΣXi²）。步骤：①写出总体矩（含待估参数）；②令其等于对应样本矩；③解方程（组）求出参数的矩估计量。【掌握·高频】〔计算〕极大似然估计法（MLE）似然函数：离散L(θ)＝ΠP(Xi＝xi;θ)；连续L(θ)＝Πf(xi;θ)。步骤：①写L(θ)；②取对数lnL；③对θ求导（偏导）并令其为0，解出使L最大的θ̂。思想：已发生的样本，应来自“使该样本出现概率/密度最大”的参数。注意：求导无解或参数有范围时，按lnL的单调性在允许范围内取最值。【掌握·高频】〔计算·单选〕点估计的评价标准无偏性：E(θ̂)＝θ（θ̂的期望等于被估参数）；样本均值X̄是μ的无偏估计，S²是σ²的无偏估计。有效性：θ̂1、θ̂2都无偏时，方差较小者更有效。相合性（一致性）：n→∞时θ̂依概率收敛于θ（样本越大越准）。【掌握·高频】〔计算〕置信区间的概念设θ̂1、θ̂2为统计量，若P(θ̂1<θ<θ̂2)＝1−α，则称(θ̂1,θ̂2)为θ置信度（置信水平）为1−α的置信区间。置信度1−α（如0.95）：反复抽样构造大量区间，其中约100(1−α)%包含θ；α称显著性水平。样本量固定时，提高置信度（α减小）区间变宽；增大样本量可使区间变窄。【掌握·高频】〔计算·综合〕单个正态总体均值的置信区间σ已知：X̄±z(α/2)·σ/√n（用标准正态，z0.025＝1.96）。σ未知：X̄±t(α/2)(n−1)·S/√n（用t分布）。【领会·中频】〔计算〕单个正态总体方差的置信区间σ²的1−α置信区间：((n−1)S²/χ²(α/2)(n−1),(n−1)S²/χ²(1−α/2)(n−1))。单侧置信限：均值的单侧上限X̄+zασ/√n（按教材口径，注意题目给的是单侧还是双侧分位）。◆典型例题（矩估计＋无偏性）设总体X密度f(x)＝6x(θ−x)/θ³，0<x<θ，X1,…,Xn为样本，求θ的矩估计并判断是否无偏。E(X)＝∫0^θx·6x(θ−x)/θ³dx＝θ/2。令θ/2＝X̄，得矩估计θ̂＝2X̄。E(θ̂)＝2E(X̄)＝2·θ/2＝θ，故θ̂是θ的无偏估计。◆典型例题（σ已知的置信区间）总体X～N(μ,σ²)，σ＝10，随机抽取n＝100，X̄＝50，求μ的95%置信区间。σ/√n＝10/10＝1；z0.025＝1.96。区间为50±1.96×1＝(48.04,51.96)。◆典型例题（σ未知的置信区间）某指标X～N(μ,σ²)，n＝16，X̄＝3.1，S＝1.2，求μ的95%置信区间（t0.025(15)＝2.131）。S/√n＝1.2/4＝0.3；半宽＝2.131×0.3≈0.639。区间为(3.1−0.639,3.1+0.639)＝(2.461,3.739)。★提示矩估计靠“令矩相等”，MLE靠“最大化似然”；写置信区间先判断σ是否已知选z或t，并把分位点、标准误写清楚。第八章假设检验【领会·中频】〔单选〕假设检验的基本思想基本思想（小概率原理＋带概率性质的反证法）：先假设H0成立，若在此前提下样本导致小概率事件（概率≤α）发生，就拒绝H0，否则不拒绝H0。小概率事件在一次试验中被认为几乎不会发生；显著性水平α即“小概率”的标准（常用0.05、0.01、0.10）。【掌握·高频】〔计算·应用〕原假设、备择假设与检验形式原假设（零假设）H0：通常设为相等、无差异、维持现状（如H0:μ＝μ0）；备择假设H1：与H0对立。双侧检验：H1:μ≠μ0，拒绝域在两侧；单侧检验：H1:μ>μ0（右侧）或μ<μ0（左侧）。等号一般写在H0中。【掌握·高频】〔填空·单选〕两类错误第一类错误（弃真）：H0为真却拒绝H0，概率P(拒H0|H0真)＝α。第二类错误（取伪）：H0不真却接受H0，概率P(受H0|H0假)＝β。检验功效（势）＝P(拒H0|H0不真)＝1−β。样本量固定时α与β此消彼长；同时减小二者只能增大样本量。【掌握·高频】〔计算·应用〕假设检验的基本步骤①根据问题提出H0与H1（确定单/双侧）；②选取合适检验统计量；③由α确定拒绝域（临界值）；④由样本计算统计量值；⑤比较并作出拒绝/不拒绝H0的结论，结合实际问题解释。【掌握·高频】〔计算·应用〕正态总体均值的u检验（σ已知）条件：总体正态（或大样本）且σ已知；统计量U＝(X̄−μ0)/(σ/√n)～N(0,1)。双侧拒绝域|U|>z(α/2)；单侧U>zα或U<−zα。【掌握·高频】〔应用〕正态总体均值的t检验（σ未知，重点）条件：总体正态、σ未知、小样本；统计量T＝(X̄−μ0)/(S/√n)～t(n−1)。双侧拒绝域|T|>t(α/2)(n−1)；这是应用题最常考的检验。【领会·中频】〔计算〕正态总体方差的χ²检验检验H0:σ²＝σ0²；统计量χ²＝(n−1)S²/σ0²～χ²(n−1)。双侧拒绝域χ²>χ²(α/2)(n−1)或χ²<χ²(1−α/2)(n−1)。◆典型例题（u检验）某零件长度X～N(μ,4²)，随机抽9件，X̄＝82，在α＝0.05下检验H0:μ＝80（H1:μ≠80）。σ/√n＝4/3；U＝(82−80)/(4/3)＝1.5。|U|＝1.5<z0.025＝1.96，故不拒绝H0，不能认为平均长度与80有显著差异。◆典型例题（t检验·应用题）某饼干蛋白质标准含量3g，抽16份得Σxi＝49.6、Σ(xi−3.1)²＝21.6，设X～N(μ,σ²)，在α＝0.10下检验平均含量与3是否有显著差异（t0.05(15)＝1.75）。X̄＝49.6/16＝3.1；S²＝21.6/15＝1.44，S＝1.2。T＝(3.1−3)/(1.2/4)＝0.1/0.3≈0.333。|T|＝0.333<1.75，故不拒绝H0，不能认为平均蛋白质含量与标准3g有显著差异。★提示应用题务必“五步骤”写全并给出实际结论；σ已知用U、σ未知用T、检验方差用χ²，注意单双侧对应的临界值不同。★易混淆概念辨析（选择、判断高频）【掌握·高频】〔单选〕成对概念辨析互斥（AB＝∅，不能同时发生）↔独立（P(AB)＝P(A)P(B)，概率互不影响）；P(A)、P(B)>0时二者不能同时成立。不相关（ρ＝0，无线性关系）↔独立（无任何关系）；独立必不相关，反之一般不成立，唯二维正态二者等价。联合分布（确定(X,Y)整体规律）↔边缘分布（单个变量规律）；联合可定边缘，边缘一般不能定联合。分布函数F(x)＝P(X≤x)（累积概率）↔密度f(x)（连续型，F′＝f）；离散型用分布律。点估计（给一个估计值）↔区间估计（给区间＋置信度）。无偏性（E(θ̂)＝θ）↔有效性（无偏中方差小）↔相合性（n→∞依概率收敛θ）。第一类错误α“弃真”↔第二类错误β“取伪”；功效＝1−β。u检验（σ已知/大样本）↔t检验（σ未知、小样本）↔χ²检验（方差）。样本方差S²除以n−1（无偏）↔(1/n)Σ(Xi−X̄)²（二阶中心矩、MLE，除以n）。全概率公式（由原因求结果总概率P(A)＝ΣP(Bi)P(A|Bi)）↔贝叶斯公式（由结果反推原因P(Bk|A)）。★考前冲刺：必背公式速记（按用途分组）【掌握·高频】〔计算〕①概率与事件加法P(A∪B)＝P(A)+P(B)−P(AB)；减法P(A−B)＝P(A)−P(AB)；对立P(Ā)＝1−P(A)。条件P(B|A)＝P(AB)/P(A)；乘法P(AB)＝P(A)P(B|A)。全概率P(A)＝ΣP(Bi)P(A|Bi)；贝叶斯P(Bk|A)＝P(Bk)P(A|Bk)/P(A)。独立P(AB)＝P(A)P(B)；伯