新版【新教材】人教版（2024）九年级上册数学第二十七章《反比例函数》单元教案合集

【新教材】人教版(2024)九年级上册数学第二十七章《反比例函数》承接八年级一次函数知识，衔接九年级后续函数综合学习，在初中函数知识框架中起到承上启下的关键作用。本单元严格遵循新课标数形结合、模概念一探究图象性质一实际应用”为核心教学主线，贴合初中生循序渐进的认知规律。帮助学生区分正比例函数与反比例函数的本质差异；其次通过描点作图、观察探究，系统学习反比例函数双曲线图象特征、象限分布、增减性质及比例系数k的几何意义；最后结合生活生产、工程规划、经济预算、物理应用等真实场景，开展反比例函数建本单元不仅是中考基础填空、选择、解答题的必考内容，更是函数与几何综合题型的核心考点。通过本单元学习，能够完善学生的函数研究方法，固化“定义系统化学习思维，培养学生数学抽象、直观想象与数学建数及复杂函数综合学习奠定扎实基础，具备极强的基二、单元教学目标理解反比例函数的定义、表达式及自变量取值范围，能够准确辨别反比例函数，熟练运用待定系数法求解函数解析式；掌握反比例函数双曲线图象的基本特征、对称性、象限分布规律，能根据k的正负判断函数图象位置与增减变化；熟练掌握比例系数k的几何意义，能解决双曲线相关的三角形、矩形面积计算问题；能够依托反比例函数模型，规范解决生活中的各类实际应归纳总结的学习能力；通过画图、观察、对比、推理等探究活动，深化数形结合数学思想，提升识图、析图、用图的能力；在实际问题建模过程中，掌握提取数量关系、建立数学模型、求解验证、回归实际的完整解题流程，提升拆解复杂问题、逻辑让学生充分感受数学与生活、跨学科知识的紧密联系，打破数学抽象枯燥的认知误区，体会数学的实用价值；在小组探究、合作学习中培养互助协作、大胆探究、严谨求实的科学学习态度；通过攻克函数难点、综合题型，帮助学生树立数学学习自信心1.理解反比例函数的概念，熟练掌握反比例函数解析式的求解方法，能够准确辨析反比例2.掌握反比例函数的图象特征与核心性质，能根据k值判断图象象限、函数增减变化规3.掌握比例系数k的几何意义，熟练解决反比例函数与几何4.掌握反比例函数建模方法，能利用反比例函数解决生活、生产中的实际应用问题。1.学生难以精准把握反比例函数分象限增减性的特点，容易忽略“在每一象限内”的前提，2.对比例系数k的几何意义理解浅显，无法灵活结合几何图形进行变式解题，综合运用能3.在实际应用题中，无法快速从复杂情境中提炼反比例数量关系，容易忽略自变量的实际4.难以实现数形灵活转化，在反比例函数与一次函数、几何图形综合题型中，无法快速整第3页共31页五、单元课时安排(总计6课时)结合本单元知识容量、重难点分布、学生认知规律及教学实际进度，本章共设置6课时开展27.1反比例函数的概念1课时。27.2反比例函数的图像与性质(1)1课时。27.2反比例函数的图像与性质(2)1课时。27.3实际问题中的反比例函数(1)1课时。27.3实际问题中的反比例函数(2)1课时。27.3应用探究——建立反比例函数模型解决实际问题1课时。建立数学模型思想，区分正反比例函数。条件确定反比例函数的解析式.数学思维方式解决实际问题的习惯.重点1.理解反比例函数的概念，判断两个变量之间的关系是否为反比2.能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式.(重点)难点3.体会并理解函数是刻画变量之间关系的数学模型.(难点)教案、教材、课件数、二次函数来表示变量之间的关系，试回顾相关知识.GB)随使用完流量的总时间t(单位：天)的变化而变化.(3)也一样.共同特点：都具有分式的形式，其中分子是常数.是自变量，y是x的函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.例A某村有耕地346.2hm²,人口数量n逐年发生变化，那么该村人均占有耕地面积m(hm²/人)是全村人口数n的函数吗?是反比例函数吗?为什么?解：m是n的函数，变量m是变量n的反比例函数.②探究点二：确定反比例函数的解析式(1)写出y关于x的函数解析式；分析：因为y是x的反比例函数，所以设把x=2和y=6代入上式，就可求出常数k的值学生自行完成解答过程.(1)设出含有待定系数的反比例函数解析式；(2)将已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式，得到关于待定系数的方程；(3)解方程，求出待定系数的值；(4)写出反比例函数的解析式，1.(5分)[高频易错]反比例函数中比例系数k为(D)是x的反比例函数的有(填序号).3.(5分)若是反比例函数，则m满足的条件是4.(5分)[教材变式]已知甲、乙两地相距200km,汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶时间t(单位：h)关于行驶速度v(单位：km/h)的函数解析式是(1)写出y关于x的函数解析式；(2)当y=2时，求x的值.(2)当y=2时，解得x=-6.板书反比例函数(反比例函数：定义/三种表达方式(反比例函数：定义/三种表达方式建立反比例函数模型分层A层(基础):辨析反比例函数，正确写出对应的B层(提升):根据实际情境列式，确定自变量C层(拓展):对比正反比例函数，自主编写教学反思第2课时课标要求：掌握描点法画反比例函数图象，认识双曲线解析式判断图象象限分布，感知图象对称性，建立数形结合意识，提升识图、直观呈现双曲线形态，重点认识图象外观、分布与对称特征，难度梯度平为后续深度探究性质做好铺垫。1.进一步熟悉作函数图象的主要步骤，掌握反比例函数图象的作2.掌握反比例函数的图象与性质，理解反比例函数的增减性.3.通过归纳与概括探究反比例函数性质的过程，培养和发展学生的交流、合作和探究能力，提高学生的观察、识图能力.重点1.会用描点法画出反比例函数的图象，并掌握反比例函数的图象和性难点2.理解并掌握反比例函数图象的性质.(难点)教案、教材、课件采用示范教学、动手实操与直观观察法。教师规范示范画图步骤，学生独立作图实践，通过观察对比图象特征，自主归纳图象思维。导入新课知识链接：上节课我们学习了反比例函数的相关概念，试回顾相关知合作探究②探究点：反比例函数的图象和性质问题1:如何画反比例函数图象?解：第一步：列表：1第二步：描点、连线：(下图已给出图象，学生自行补充.图象)追问：你认为作反比例函数图象时应注意哪些问题?(1)列表时，选取的自变量的值，既要易于计算，又要易于描点，尽量多取点，这样使图象更精确；(2)描点时，严格按照列表中对应值描点，不能描错.(3)连线时，按横坐标从小到大的顺序用光滑的曲线依次连接各点，不能用折线连教师说明：反比例函数(k≠0)的图象由两支曲线组成，它们与x轴、y轴都归纳总结：当k>0时，对于反比例函数问题2:请大家用同样的方法作反比例函数图象.小组交流：结合函数图象与解析式，当k<0时，说说反比例函数有什么性质.归纳总结：当k<0时，对于反比例函数例■若双曲线的两个分支分别在第二、第四象限，则k的取值范围是1.(4分)若某反比例函数图象经过点(-2,3),则该函数图象位于(B)A.第一、第二象限B.第二、第四象限C.第一、第三象限D.第三、第四象限2.(4分)[一题多法(性质法/图象法/代入法)]已知点P(1,m),Q(2,n)是草图通关的其中一支.根据图中所给信息解答下列问题.(2)[开放题]写出这个反比例函数具有的一条性质.解：(1)如图所示.27.2反比例函数的图象和性质质。理解k的几何意义，能解决简单面积问题，结合图象比较函数值大小，提升推理与数教材分析：本课时是本章重难点核心课，聚焦点，综合应用性极强。1.对函数进行认识上的整合，提高从函数图象中获取信息的能力.2.探索并掌握反比例函数图象的主要特征，了解反比例函数中k的几何意重点1.掌握反比例函数图象上点的坐标特征。(重点)难点教案、教材、课件采用问题探究、易错辨析、归纳总结法。通过设问突破象限增减误区，结合图形讲解k的几何意义，搭配变式小题训练，归类题型、强化重难点记忆。知识链接：上节课我们学习了反比例函数的图象及性质，试回顾相关知识.第14页共31页解析：反比例函数的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而增大比例函数的性质可知，该图象的两个分支分别在第二、第四系数1-k<0,解得k>1.故只有D项符合题意.故选D.方法总结：反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由比例系数k的符号决定的；反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号.类型二比较函数值的大小例2在反比例函数的图象上有三点(x₁,y),(x₂,y₂),(x,y),若x>x>0>x,则下列各式正确的是(A)A.y>y>y₂B.y>x>y解析：本题方法较多，一是根据x,X₂,x的大小即可比较；二是画出草图，根据反比例函数图象的性质比较；三是利用特殊值法.(方法一)比较法：由题意，得,因为(方法二)图象法：如图，在直角坐标系中作出草图，描出符合条件的三个点，观察图象直接得到y>y>y.(方法三)特殊值法：设x₁=2,x₂=1,x=-1,则,y₂=-1,y=1,所这种方法对于解答选择题很有效，要学会使用.例3如图，四边形OABC是边长为1的正方形，反比例函数的图象经过点BX,解析：∵四边形0ABC是边长为1的正方形，⊥y轴.又∵点B(x,y%)是反比例函数象上的一点，则有S正方邱aa=|xy|=|k|,即1=Ik|.∴k=±1.又∵点B在第二象限，∴k=-1.数图象所在象限或函数的增减性确定k的符号.当堂检测1.(5分)已知点P(2,6)在反比例函数的图象上，则k的值是(B)作PCLx轴于点C,则△POC的面积为2草图通关交于A(1,2),B(m,-4)两(1)求直线与双曲线的解析式；1.反比例函数与一次函数的大小关系在对称象限中必然反向；解：(1)先把(1,2)代入双曲线.,得k=2,故双曲线的代入y=ax+b,可得解得∴直线的解析式是y=4x-2.板书27.2第2课时反比例函数的性质当k>0时，在每一象限内，y的值当k>0时，在每一象限内，y的值随x的值的增大而减小姓质LH当k<0时，在每一象限内，y的值随x的值的增大而增大反比例函数中比例系数k的几何意义分层A层(基础):依据k值判断增减性，比较函数值大小。教学反思第4课时课标要求：能从简单实际情境中提炼反比例数量关系，建立函数确求解并确定自变量取值范围。掌握基础建模步骤，生活简单问题的能力。教材分析：本课时是建模应用入门课，教材选取生活、行程、工程等简易情境，数量关系直观清晰。侧重训练学生基础建模流程，难度较低，为复杂建模应用打基础。1.经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型解决实际问题的过程.2.体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识.重点1.用反比例函数的知识解决实际问题.(重点)难点教案、教材、课件量关系，示范建模解题步骤，让学生模仿规范答题，夯实基础应用能毕恰好用了9h.700×9=6300(t).v关于t的函数解析式：(2)由于遇到紧急情况，要求轮船上的货物不超过6h卸载完毕，那么起重机平均思考2:卸载货物的总时间与卸货速度有怎样的关系?根据“平均卸载速度=货物总量÷卸载总时间”,得到(t/h).故起重机平均每小时至少要卸载1050t货物.例2某工人欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1200N和0.5m.(1)动力F(单位：N)与动力臂1(单位：m)有怎样的函数关系?当动力臂为1.5m时，撬动石头至少需要多大的力?来人们把它归纳为“杠杆原理”.杠杆原理为：阻力×阻力臂=动力×动力臂.阻力支点动力阻力臂动力臂思考：根据杠杆原理和题干数据，可列出等式为Fl=1200×0.5.所以F关于11.5m时，F=400N,此时杠杆平衡.因此撬动石头至少需要400N(2)若想使动力F不超过(1)中所用力的一半，则动力臂1至少要加长多少?思考：对于函数,当I>0时，1越大，F越小.因此，若想用力不超过400N的一半，则动力臂的长度应该不小于 吗?关系，从而进一步建立反比例函数模型.第20页共31页(1)储存室的底面积S(单位：m²)与其深度d(单位：m)有怎样的函数关系?(2)公司决定把储存室的底面积S定为500m²,施工队施工时应该向下掘进多深?解答过程见配套课件.1.(5分)当电压为220V时(电压=电流×电阻),通过电路的电流I(A)关于电路中电阻R(Ω)的函数解析式为(A)2.(5分)若购买xkg的水果需要24元，则购买该水果的单价y(单位：元/kg)与x之间的关系式是(A)3.(5分)收音机刻度盘的波长λ和频率r分别是用米和千赫兹为单位标刻的，波长λ和频率f满足函数解析式这说明波长λ越大，频率f就越小44.(5分)在一定范围内，某种物品的需求量与供应量成反比例，现已知当需求量为800t时，市场供应量为10000t,则当市场供应量为16000t时的需求量是·5.(10分)[教材变式]某乡镇要在生活垃圾存放区建一个老年活动中心，这样必须把1200m³的生活垃圾运走.(1)假如每天能运xm³,所需时间为y天，写出y关于x的函数解析式；(2)若每辆拖拉机一天能运12m³,则5辆这样的拖拉机要多少天才能运完?解：(1)∵xy=1200,∴(x>0).(2)x=12×5=60,代入函数解析式得答：5辆这样的拖拉机要20天才能运完.实际问题与反比例函数反比例函数的应用反比例函数与其他学科知识的综合A层(基础):行程类问题，列出反比例函数解析式。B层(提升):工程问题建模，确定自变量取值范围。C层(拓展):依托表格数据，建立反比例函数模型。第5课时课标要求：能处理经济规划、面积设计等稍复杂实际问题，精准建例函数模型。严格结合实际情境确定自变量范围，规范解题步骤，提升综合建模应用能力。教材分析：本课时在基础建模之上提升难度，情境更综合，审题与变量筛选能力。进一步强化自变量取值范围的实际意义，提升学生解题1.结合图示理解反比例函数的实际意义，能根据实际情境建立反比例函数模型并求解.2.通过分析实际问题中的数量关系，经历“抽象函数模型→求解→应用”的过程，提升建模能力.3.感受数学与生活的联系，体会反比例函数在解决实际问题中的价值.重点1.根据实际问题建立反比例函数解析式，利用函数性质解决实际问难点2.分析实际情境中的“定值”,确定反比例函数的变量关系.(难点)教案、教材、课件采用分层探究、精讲精练、纠错总结法。重点指导析实际限制条件，规范书写解题过程，通过错题复盘提升答题严谨度。例1某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地，为了安全、临时近道.木板对地面的压强p(Pa)是木板面积S(m²)的反比例函600数，其图象如图所示，400A(1(1)请写出这一函数表达式和自变量的取值范围.o35(m²(2)当木板面积为0.2m²时，压强是多少?解析：由于木板对地面的压强p(Pa)是木板面积S(m²)的反比例函数，而图象经过点A,于是可以利用待定系数法求得反比例函数的关系式，解：(1)设木板对地面的压强p(Pa)与木板面积S(m²)的反比例函数关系式为p.因为反比例函数的图象经过点A(1.5,400),所以有k=600.所以反比例(2)当S=0.2时，即压强是3000Pa.(3)由题意,所以S≥0.1,即木板的面积至少要有0.1m².例2一辆客车从甲地行驶到乙地，平均速度v(全程所用时间t(单位：h)的函数关系如图所示，其中60≤≤120.(1)写出v关于t的函数解析式，并求t的取值范围；思考1:甲地到乙地的路程为定值，可以用反比例函数描述v与t之间的函数关系.由图可知，当t=2时，v=120,于是有.当v=60时，t=4.因为60≤V≤120,并且平均速度v随着行驶全程所用时间t的增大而减小，所以t的取值范围(2)若客车上午8时从甲地出发，需在当天10时40分至11时之间到达乙地，求客车平均速度v的范围.思考2:客车从甲地到达乙地，所需的时间应该在至3h之间.因为路程一定，均速度最小为,故客车平均速度v的范围是80≤≤90.当堂检测1.已知矩形的面积为10,长和宽分别为x和y,则y关于x的函数图象大致是易错通关：函数实际问题中需注意自变量的取值范围要符合情境，(如x>0,x为正整数等)静得到了如图所示的使用天数y(天)与每天用水量x(百滴)之间的函数关A.18天B.19天C.20天D.21天3.钢琴调音时(将琴弦拧紧或放松，使其达到一定的音高),琴弦的振动频率f(Hz)是琴弦张力T(N)的反比例函数.已知当张力T=200N时，频率f=220Hz(即达到标准音高A3),若要使频率升高到440Hz(即达到标准音高A4),应该如何调整张力(D)A.增大至150NB.减小至150NC.增大至100ND.减小至1第3题图第4题图体积V(m³)是密度ρ(kg/m³)的反比例函数，其图象如图所示，则：(1)这个反比例函数的解析式为(2)当p=1.5kg/m³时，氧气的体积V=6m².5.(10分)一辆客车从A地出发前往B地，平均速度v(km/h)与所的函数关系如图所示，其中60≤≤120.第25页共31页(1)求v与t的函数关系式；(含14时与15时30分)到达B地，求客车的行驶速度v的取值范围.∵v随着t的增大而减小，∴80≤v≤100.板书实际问题中的反比例函数分层A层(基础):面积类实际问题，列出反比例关系B层(提升):经济类情境建模，规范完成求解计算。C层(拓展):分析参数变化，探究对结果造成的影教学反思第6课时课标要求：整合全章知识，能独立拆解复杂实际问题，自主构建反比例函数模型，完成求解、验证与方案分析。强化建模思维，适配中考综合应用题考查要求。教材分析：本课时为全章综合拔高课，侧重知识整合与综合探面所学概念、性质与基础建模知识，聚焦综合性、探究性题型，实现单元知识的融会贯通。1.理解实际问题中“近似函数模型”的意义，掌握用反比例函数拟合实际数据的方法，能归纳建立函数模型解决实际问题的步骤.2.通过分析实验数据，经历“观察数据→画散点图→选函数模型→求解析式→应用”的过程，提升数据建模能力.3.体会数学模型在实际问题中的“近似性”,感受数学与物理等学科的联系，培养严谨的数据分析思维.重点1.用反比例函数拟合实际数据的方法，建立函数模型的一般步难点2.理解“近似函数模型”与“精确函数”的区别.(难点)教案、教材、课件采用小组合作、课题探究、综合演练法。以综合性合作