04 第四章 功和能

第四章功和能§1功和动能定理§1.1功的定义与计算§1.2质点的动能定理§1.1功的定义与计算1、恒力对直线运动质点的功功是标量恒力做功图功的单位是焦耳（J）功有正负2、变力对运动质点的功质点在变力作用下，发生一无限小的位移，

对质点所作的功元功在直角坐标系中合力的功为各分力的功的代数和3、功率单位时间内,力所作的功功率的单位:W(瓦特)动力机械的输出功率与负荷力和运行速度的关系§1.2质点的动能定理因得到质点运动的动能合外力对质点所作的功等于质点动能的增量质点的动能定理：物体因为机械运动所具有的能量动量动能功动量和动能都是状态量，功是过程量动量是矢量，功和动能是标量动能是能量的一种形式功、动能单位都是J功是能量变化的一种量度用作为反映物体运动状态的量笛卡儿(René·Descartes1596-1650)用作为反映物体运动状态的量莱布尼茨(G.W.Leibniz,1646－1716）科里奥利(Coriolis,G.G.1792～1843)动能是一种能量形式新概念武器——动能武器

动能武器是通过发射能够制导的高速（通常指5倍音速以上的速度）弹头，以其整体或爆炸碎片的动能直接撞毁目标的武器。主要用途：拦截弹道导弹、攻击军用卫星，也可于战术防空、反坦克和战术反导作战。动能武器主要有：（1）利用火箭推力的动能拦截器（2）依靠电磁能产生推力的电磁发射武器

新概念武器——动能武器美国研制的反卫星拦截导弹：由战斗机在空中发射，最终速度可达13.7km/s，与卫星相撞将其击毁。这种机载的反卫星动能拦截弹可用于攻击500km以下的低轨道卫星。

设战斗部上的动能撞击杀伤器质量为100kg，则其动能可达9.4109J!（约2.2吨TNT炸药爆炸的能量！）

动能拦截器是一种自动寻的制导的、利用与目标直接碰撞的巨大动能来杀伤目标的飞行器。新概念武器——动能武器反导弹动能拦截弹：是一种利用弹头动能，摧毁来袭导弹弹头的导弹。“爱国者”地空导弹新概念武器——动能武器解放军红旗9动能拦截弹新概念武器——动能武器红旗9动能拦截弹末段拦截演习成功(2010.01)

如图，一锥摆悬挂于O点，质点在水平面内做匀速率圆周运动，则从A点到B点的运动过程中，作用于质点的合力答案：

CA.为零B.冲量为零C.作功为零D.对O点的力矩为零E.为零、冲量为零、对O点的力矩为零，只有作功不为零

一质点在如图所示的坐标平面内作圆周运动，有一力作用在质点上．在该质点从坐标原点运动到(0，2R）位置过程中，此力对它所作的功为A.B.C.D.答案：

C

一辆汽车从静止开始加速，它获得了一定量的动能，那么地球答案：

CA.获得了更多的动能B.获得了相同量的动能C.获得了小一点的动能D.失去了汽车所获得的动能例题1质量为2kg的物体由静止出发沿直线运动，作用在物体上的力F随时间t变化的规律是F=4tN，方向始终不变。试求在最初2s内，力F所做的功。

例题2

一长度为l，质量为m的链条置于桌面上，链条与桌面之间的动摩擦因数为

。链条下垂的长度为a，在重力作用下由静止下落，求链条完全离开桌面时的速度。

解：ayo设在某时刻悬下部分长度为y，质量为m

，此时再下落长度dy，重力所作元功因此摩擦力摩擦力在此过程中所作的功ayo

根据动能定理，链条完全离开桌面时的动能增量等于外力所作的功之和例题3

质量为m的质点系在一端固定的绳子上在粗糙水平面上作半径为R的圆周运动。当它运动一周时，由初速v0减小为v0/2。求:(1)摩擦力作的功;(2)滑动摩擦因数;(3)静止前质点运动了多少圈?解：（1）根据动能定理，摩擦力的功（2）摩擦力大小，方向与运动方向相反可得（3）设质点静止前运动了n圈由动能定理可得§2保守力和势能§2.1保守力及其作功特点§2.2势能§2.3几种保守力的功与势能§2.1保守力及其作功特点

对质点作功的大小只与质点的始末位置有关，而与路径无关。保守力沿任意闭合路径L作功为零cdba功是过程量保守力§2.2势能1、势能的定义物体在保守力作用下的每一个位置都具有一种能量

在具有保守力相互作用的系统内，在一定的相对位置状态下，所具有的相互作用能势能Ep物体在保守力作用下的每一个位置都具有势能物体位置发生变化，势能也发生变化势能的变化可以唯一地由保守力的功Wab来度量势能增量保守力所做的功等于系统势能增量的负值设r0处为势能零点，即

Ep(r0)=0——势能零点

质点在某一点的势能等于在相应的保守力作用下，由该点移动到势能零点时保守力所作的功。可得r处的势能2、势能零点势能只要有保守力，就可引入相应的势能计算势能必须规定零势能参考点

势能仅有相对意义，两点间的势能差是绝对的。势能属于具有保守力相互作用的质点系统3、根据势能求相应的保守力一维问题：当系统内的质点在保守力作用下，沿x轴移动dx时1、重力的功与重力势能m在重力的作用下从a点运动到b点§

2.3几种保守力的功与势能Wab与路径无关，因此重力是保守力

以物体在地面上时为势能零点，则物体在离地面上高度h处的重力势能为hEp重力势能曲线2、引力的功与引力势能m在m0的万有引力的作用下从a点运动到b点Wab与路径无关，因此万有引力是保守力引力势能一般以无穷远(r0=

)处为零势能点当两质点相距任意距离r时，它们的引力势能势能曲线曲线引力势能特例——重力势能

地球表面附近的一个物体和地球组成的系统的势能

以物体在地球表面上时所处位置为引力（重力）势能零点，物体在离地面高h处的引力势能为

以物体在地球表面上时所处位置为势能零点，物体在离地面高h处的引（重）力势能为由于R>>h，所以又因在地面附近

物体在地球表面附近离地面高h处的重力势能近似为证明：3、弹力的功与弹性势能

质量为m的质点在弹力F=

kx作用下，弹簧的伸长量从xa变化到xb弹力是保守力

弹性势能一般以弹簧原长为零势能点，因此当弹簧的伸长量为x时，它们的弹性势能为弹性势能曲线弹性力重力保守力相应势能常用势能零点万有引力常见几种保守力的势能孙武（535BC-470BC）《孙子兵法•卷三•四备第二十六》故势有能有不能，距远而钧力大者，势能也。距中而钧力中者，势能也。距近而钧力小者，势能也。故距远而钧力小者，势不备也。距近而钧力大者，过势者也。现代作战理论：战场态势军事运筹学：作战势能

一物体挂在一弹簧下面，平衡位置在O点，现用手向下拉物体，第一次把物体由O点拉到M点，第二次由O点拉到N点，再由N点送回M点。则在这两个过程中

答案：BA.弹性力做的功相等，重力做的功不相等

B.弹性力做的功相等，重力做的功也相等

C.弹性力做的功不相等，重力做的功相等

D.弹性力做的功不相等，重力做的功也不相等

一轻质弹簧原长为l0，劲度系数为k，上端固定在天花板上，当下端挂一物体时，长度变为l1，则在弹簧从l0伸长到l1的过程中弹性力所做的功为

答案：

DA.B.C.D.§3功能原理§3.3质点系的功能原理§3.1一对作用力与反作用力的功§3.2质点系的动能定理§3.1一对作用力与反作用力的功一个简单问题：子弹射入木块

一对作用力与反作用力作功的代数和与参考系无关！一般证明§3.2质点系的动能定理两个质量为m1和m2的质点系内力质点系m1：从a1点——b1点m2：从a2点——b2点外力

m1初速度和末速度分别为m2初速度和末速度分别为对质点m1和m2分别应用动能定理两式相加

外力的功之和＋内力的功之和＝系统末动能－系统初动能推广到由任意多个质点组成的质点系质点系的动能定理

所有外力对质点系作的功和内力对质点系作的功之和等于质点系总动能的增量。

系统内力的功之和可以不为零

内力能改变系统的总动能内力不能改变系统的总动量动能的增量可正可负，视功的正负而变§3.3质点系的功能原理质点系的动能定理内力的功所以系统的机械能：系统总动能和势能之和

质点系在运动过程中，它所受外力所作的功与系统内非保守力所作的功的总和等于它的机械能的增量。质点系的功能原理

今有一倔强系数为k的轻弹簧，竖直放置，下端悬一质量为m的小球，开始时使弹簧为原长而小球恰好与地接触，今将弹簧上端缓慢地提起，直到小球刚能脱离地面为止，在此过程中外力作功为答案：

CA.B.C.D.E.A受冲击后，合外力为零，内力作功不为零，由系统的动能定理解：A和B组成的系统动量守恒AB例题1

在光滑的水平面上，有一质量为mb的静止物体B，在B上又有一质量为ma的静止物体A，A受冲击后以va(相对于水平面)向右运动，A和B之间的摩擦因数为

，A逐渐带动B一起运动，问A从开始运动到相对于B静止时，在B上运动多远？例题2

如图，质量为m的木块，与一劲度系数为k的轻弹簧碰撞，木块将弹簧压缩了x米。设木块与斜面之间的摩擦因数为

，问开始碰撞时木块速率v为多大?例题2

如图，质量为m的木块，与一劲度系数为k的轻弹簧碰撞，木块将弹簧压缩了x米。设木块与斜面之间的摩擦因数为

，问开始碰撞时木块速率v为多大?解：以木块、弹簧、斜面和地球为质点系

近轨道人造地球卫星运行一段时间后，为什么会掉回地球上来呢?人造地球卫星的速度变化趋势？1.原因？主要是由于大气的摩擦2.如何分析？3.系统特征？天体系统是自引力系统在失去能量时动能反而增加4.超新星爆发§4机械能守恒定律§4.1机械能守恒定律§4.2能量守恒定律§4.3三种宇宙速度§4.1机械能守恒定律如果功能原理

如果一个系统内只有保守内力作功，而外力和系统内非保守力都不作功，或者它们的功之和为零，则系统内各物体的动能和势能可以互相转换，但系统的机械能保持不变。机械能守恒定律§4.2能量守恒定律能量守恒定律是自然界的一条普遍的基本的定律机械能守恒定律是能量守恒定律的一个特例能量守恒定律封闭系统：不受外界作用的系统

一个封闭系统内经历任何变化时，该系统的所有能量的总和保持不变。§4.3三种宇宙速度1、第一宇宙速度——成为卫星

第一宇宙速度:地面上发射人造地球卫星所需的最小速度g=Gm0/R2=9.8m

s–2

系统的机械能r=h+R

2、第二宇宙速度——飞出地球

第二宇宙速度：抛体脱离地球引力所需的最小发射速度“信使号”水星探测器2004年8月3日发射在经过了6年半的漫长旅行之后,2011年3月进入水星轨道，成为历史上第一颗水星的人造卫星。日欧计划于2013年度共同发射水星探测器——“贝皮-科伦布”欧洲航天局开发的水星探测器想像图

在高层稀薄大气中，运动速度大于第二宇宙速度v2(逃逸速度ve)的分子，有可能遇不到碰撞而逃脱地球的引力，从而扩散到太空中去。逃逸速度ve逃逸速度太小的星球是不可能有大气的星球m0/meoR/Reve/(km⋅s−1)月球0.0120.272.4水星0.0560.384.3火星0.1080.535.06金星0.820.9510.5地球1.001.0011.2逃逸速度ve若

任何物体(包括电磁波)都逃不出去，上式所决定的天体称为施瓦氏半径或引力半径

施瓦氏半径内部与外界断绝了一切物质和信息的交流!

一个物体，若其质量全部分布在相应的施瓦氏半径RS之内，则从宇宙的其他部分看来它就像是消失了一样，称为黑洞。设想

1)把地球变成黑洞2)把太阳变成黑洞3)引力理论：转化为黑洞的只能是质量满足一定条件的恒星太阳的质量3、第三宇宙速度——飞出太阳系

第三宇宙速度:抛体脱离太阳引力所需的最小发射速度星河灿烂，深空路遥宇宙探测器茫茫宇宙觅知音

美国1972年和1973年先后发射的先驱者10号和先驱者11号探测器，带有一封访问地外文明的“介绍信”。镀金铝质金属牌

美国1977年8月和9月分别发射了行星和行星际探测器旅行者1号和旅行者2号它们都携带一张铜质镀金声像盘，用于与地外文明相联系。宇宙探测器报道：2013.3.20旅行者1号已经脱离太阳系(约200亿公里以外的地方)，人类正在迎来人造物体飞出太阳系的历史性时刻。NASA探测器“旅行者1号”

质量为m的宇宙飞船关闭发动机返回地球时，可认为它只在地球的引力作用下运动。已知地球质量为m0,万有引力恒量为G，则当飞船从距地球中心R1处下降到距地球中心R2处时，飞船增加的动能为

答案：

CA.B.

C.D.

一质点在重力作用下，在半径为R的光滑球面上的一点A由静止开始下滑，在B点离开球面。则A、B两点的高度差等于A点和球心高度差的aRObABA.1/4B.1/3C.2/5

D.1/2答案：

B

静止在光滑水平面上的一质量为m0的车上悬挂一单摆，摆球质量为m，摆线长为l．开始时，摆线水平，摆球静止于A点．突然放手，当摆球运动到摆线呈竖直位置的瞬间，摆球相对于地面的速度为A.0B.C.D.答案：

C例题1

质量为m1的物体，静止在固定于桌面上的半径为R的光滑半球顶端，如图所示。今有另一质量为m2的粘性物体，以水平速度v0与之碰撞，并一起沿此半球面滑下。求：(1)物体滑离球面时的角度

；(2)当v0多大时，物体直接飞离球面。m2m1

Rxv0解

(1)两物体碰撞过程中，动量守恒。

两物体在球面上滑动时，只有重力作功，所以机械能守恒；当物体的速率增加到某一数值时，离开球面时，支持力为0

。设此时的临界速率为v2，相应的临界角为

，m2m1

Rxv0(2)当cos

=1时，物体直接飞离球面例题2

有一轻弹簧,其一端系在铅直放置的圆环的顶点P,另一端系一质量为m的小球,小球穿过圆环并在圆环上运动(不计摩擦).开始小球静止于点A,弹簧处于自然状态,其长度为圆环半径R;当小球运动到圆环的底端点B时,小球对圆环没有压力.求弹簧的劲度系数.解以弹簧、小球和地球为一系统从A到B，只有保守内力做功系统机械能守恒取图中B点为重力势能零点又

所以§5碰撞§5.1碰撞的基本方程§5.2碰撞的两种极端情形子弹穿越蕃茄时的情景

如果物体之间的相互作用仅维持一个极为短暂的时间，这些现象就是碰撞。2007年度影片《宇宙大碰撞》“911事件”：世界贸易中心双塔被撞毁倒塌物质与反物质粒子碰撞时会发生湮灭，并多以

射线的形式放出能量§5.1碰撞的基本方程1、球的对心碰撞恢复系数m1m2m1m22、机械能的损失

E约化质量

3、碰撞中的力

设碰撞接触时间

t极短，由动量定理，可知质量为m2的小球受到的平均碰撞力

平均碰撞力的大小与接近速度（v10

v20）成正比，与碰撞时间

t成反比，还与质量、材质有关。1、完全弹性碰撞

§5.2碰撞的两种极端情形