4.6.1线段垂直平分线的性质和判定-2026-2027学年湘教版数学八年级上册

湘教版八年级上册4.6.1线段垂直平分线的性质和判定专项练习一、核心知识点梳理1.线段垂直平分线定义：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。线段的垂直平分线是一条直线，不是射线或线段，且一条线段有且只有一条垂直平分线。2.线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的任意一点，到这条线段两个端点的距离相等。几何语言：若直线l垂直平分线段AB，点P在直线l上，则PA=PB。该定理是证明两条线段相等的重要依据，可简化全等三角形的证明步骤。3.线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。几何语言：若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上。需要注意，单个点只能判定在垂直平分线上，两点才能确定整条垂直平分线。4.重难点易错提醒：性质定理是“线上点→距两端相等”，判定定理是“距两端相等→点在线上”，二者互为逆定理，切勿混淆因果；垂直平分线必须同时满足垂直和平分两个条件，缺一不可；三角形任意两边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等。二、专项练习题（满分100分）（一）选择题（每题6分，共30分）1.下列关于线段垂直平分线的说法正确的是（）A.线段的垂线就是垂直平分线B.线段的垂直平分线是一条射线C.任意一条线段只有一条垂直平分线D.线段中点所在的直线就是垂直平分线2.已知直线l是线段AB的垂直平分线，点P在l上，若PA=5，则PB的长为（）A.3B.4C.5D.103.若点P满足PA=PB，则点P一定在（）A.线段AB的上方B.线段AB的垂直平分线上C.线段AB的中点上D.线段AB的下方4.三角形三边垂直平分线的交点的性质是（）A.到三边距离相等B.到三个顶点距离相等C.三条高线交点D.三条中线交点5.下列条件中，不能判定直线l是线段AB垂直平分线的是（）A.l⊥AB且平分ABB.l上任意一点到A、B距离相等C.l经过AB中点且l⊥ABD.仅平分AB但不垂直于AB（二）填空题（每题6分，共30分）6.线段垂直平分线上的点到线段________的距离相等。7.若点P在线段AB垂直平分线上，且AB=8，则PA与PB的数量关系是________。8.到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的________上。9.线段的垂直平分线是一条________（填“直线”“射线”或“线段”）。10.三角形________的交点到三角形三个顶点的距离相等。（三）解答题（每题20分，共40分）11.如图，已知直线MN垂直平分线段AB，点P是MN上任意一点，求证：PA=PB。12.如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且DB=DC，求证：AD是线段BC的垂直平分线。三、参考答案及解析选择题解析1.C解析：线段的垂线不一定平分线段，A错误；垂直平分线是直线而非射线，B错误；需同时过中点且垂直才是垂直平分线，D错误；一条线段有且仅有一条垂直平分线，C正确。2.C解析：根据垂直平分线性质定理，线上任意一点到线段两端点距离相等，故PB=PA=5。3.B解析：依据垂直平分线判定定理，到线段两端距离相等的点，在线段的垂直平分线上。4.B解析：三角形三边垂直平分线交点为外心，性质是到三个顶点距离相等；到三边距离相等的是角平分线交点。5.D解析：垂直平分线必须同时满足垂直和平分两个条件，只平分不垂直，无法判定为垂直平分线。填空题答案6.两个端点7.PA=PB8.垂直平分线9.直线10.三边垂直平分线解答题解析11.证明：∵直线MN垂直平分AB，∴MN⊥AB，AO=BO（O为AB与MN交点）。在△POA和△POB中，AO=BO，∠POA=∠POB=90°，PO=PO，∴△POA≌△POB（SAS），∴PA=PB。12.证明：∵AB=AC，∴点A在BC的垂直平分线上。又∵DB=DC，∴点D在BC的垂直平分线上。两点确定一条直线，∴直线AD是线段BC的垂直平分线。练习总结：本节练习聚焦线段垂直平分线的性质与判定两大核心考点，重点区分性质与判定的逆用关系。解题核心：见垂直平分线，直接得线段相等；见线段两端距离相等，可判定点在垂直平分线上。解题时需规避概念误区，牢记垂直平分线的双重条件，熟练运用两点定线的解题思路，简化几何证明过程。湘教版（新教材）数学八年级上册4.6.1线段垂直平分线的性质和判定授课教师：.

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8年级（

）班.

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2026/9/21

学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第4章三角形学习目标1.理解线段垂直平分线的概念；2.掌握线段垂直平分线的性质定理及逆定理；

3.能运用线段的垂直平分线的有关知识进行证明或计算.如图，人字形屋顶的框架中点A与点A′关于线段CD所在的直线l对称.线段CD所在的直线l与线段AA′有什么关系？新课导入成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分.AA′Dl如图，人字形屋顶的框架中点A与点A′关于线段CD所在的直线l对称.如果沿直线l折叠，则点A与点A′重合，AD=A′D，12∠1=∠2=90°，即直线l既平分线段AA′，又垂直AA′.推进新课我们把垂直并且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线（或中垂线）.AA′Dl12直线l是线段AA′的垂直平分线线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.如图，在线段AB的垂直平分线l上任取一点P（点P不在线段AB上），连接PA，PB，则线段PA与

PB的长度相等吗？为什么？作关于直线l的轴反射（即沿直线l对折）.点A与点B重合线段PA与线段PB重合.PA=PB设D是线段AB的中点，根据线段的垂直平分线的定义可知，点D在直线l上，并且PD⊥AB，于是∠ADP=∠BDP=90°在△PAD

和△PBD

中，所以△PAD

≌△PBD

（边角边），因此PA=PB.AD=BD

，∠ADP=∠BDP

，PD=

PD

，当点

P

在线段

AB

上时，结论还成立吗？由此得出线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.符号语言：如图，若点P在线段AB的垂直平分线上（AC=BC，PC⊥AB），则PA=PB.C如图，∠ACB=90°，DE垂直平分AB，∠CAE=∠EAB，求∠B的度数.DE垂直平分ABAE=BE∠EAB=∠B=∠B∠CAE=∠EAB∠CAE+∠EAB+∠B=90°∠B的度数试一试如图，∠ACB=90°，DE垂直平分AB，∠CAE=∠EAB，求∠B的度数.解：∵DE垂直平分AB，∴AE=BE，∴∠EAB=∠B.∵∠CAE=∠EAB，∴∠CAB=2∠B.∵∠C=90°，∴∠CAB+∠B=90°.∴∠B=30°.试一试（第1题）

B

返回（第2题）

D

返回

AA.

三边的垂直平分线的交点B.

三条角平分线的交点C.

三条高所在直线的交点D.

三条中线的交点返回线段垂直平分线的性质定理的条件是什么？结论是什么？它的逆命题是什么？条件结论性质定理逆命题一个点在一条线段的垂直平分线上这个点到这条线段两端的距离相等一个点到一条线段两端的距离相等这个点在这条线段的垂直平分线上逆命题是否是一个真命题？需要考虑点P是否在线段AB上.情况一当点M在不在线段AB上时，由于MA=MB，则△MAB是等腰三角形.取AB的中点D，连接MD，则MD是△MAB的底边AB上的中线，也是AB上的高线.D因此直线MD是线段AB的垂直平分线，从而点M在AB的垂直平分线上.M连接MA，MB，A情况二当点M在线段AB上时，因为MA=MB，所以点M是线段AB的中点，BM因此点M在线段AB的垂直平分线上.由此得出线段垂直平分线的性质的逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.符号语言：如图，若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上.已知：如图，在△ABC

中，D为BC上一点，连接AD，点E在AD上，且∠1=∠2，∠3=∠4.求证：AD垂直平分BC.∠1=∠2EB=EC点E在BC的垂直平分线上∠3=∠4∠1=∠2∠1+∠3=∠2+∠4AB=AC点A在BC的垂直平分线上试一试已知：如图，在△ABC

中，D为BC上一点，连接AD，点E在AD上，且∠1=∠2，∠3=∠4.求证：AD垂直平分BC.证明：∵∠1=∠2，∴

EB=EC.∴点E在线段BC的垂直平分线上.又∵∠3=∠4，所以∠ABC=∠ACB，∴AB=AC.∴点A也在线段BC的垂直平分线上.∴AD垂直平分BC.试一试如图，在△ABC中，AB，BC的垂直平分线相交于点O，连接OA，OB，

OC.求证：点O在AC的垂直平分线上.证明：因为点O在线段AB的垂直平分线上，所以OA=OB（线段垂直平分线的性质定理）.同理可得OB=OC.于是OA=OC.所以点O在AC的垂直平分线上（线段垂直平分线的性