2025-2026学年上海建平中学高二下学期数学期末试卷（含答案）（2026.6）

建平中学2025-2026学年第二学期高二年级数学期末统考2026.6一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）

1．直线的倾斜角是．

2．复数满足，则．

3．圆的半径为．

4．双曲线的渐近线方程为．5．已知空间向量，若，则．

6．已知圆锥的母线长为2，底面半径为1，则该圆锥的体积为．

7．已知为复数，则的最小值为．

8．若一个半径为的球与一个高为1的圆柱表面积相等，则该圆柱的侧面积为．

9．已知为抛物线上互异的两点，若，则．

10．在正四面体中，和为侧面上互异的两点，则直线与平面所成角的最大值为．

11．图1所示为文件边角夹，其由两个全等的，直角边长为4厘米的等腰直角三角形塑料板（不考虑厚度）通过贴片耦合而成．图2展示了文件边角夹的工作原理，在使用文件边角夹时，通过按压使三角形塑料板绕着其中位线顺时针旋转，直至与三角形塑料板所在平面平行时无法转动．若要让边角夹按压后能够夹起总厚度为1.2厘米的一沓纸张，则边角夹的两个塑料板所在的半平面构成的二面角的平面角的最小值为．（结果精确到）

12．若一个三棱锥的所有棱的长度构成的集合为，设该三棱铼的表面积的所有可能取值构成的集合为S，则集合S的元素个数为．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）13．已知i是虚数单位，为复数，则＂＂是＂＂的（）条件.

A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要 D．既不充分也不必要

14．已知直线和平面，则下列说法中正确的是（）.

A．若，则 B．若，则 C．若，则D．若，则

15．在正方体中，分别为棱的中点，为底面的中心，则直线与直线（）.

A．异面且垂直 B．不异面且垂直 C．异面且不垂直 D．不异面且不垂直

16．若平面曲线中任意两条曲线都没有公共点，则称为＂孤立曲线组＂，有以下两个命题：①若双曲线和双曲线没有公共点，则存在双曲线使得为＂孤立曲线组＂；②若抛物线和抛物线没有公共点，则存在抛物线使得为＂孤立曲线组＂．则（）.

A．①为真命题，②为假命题 B．①为假命题，②为真命题C．①为真命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）如图，在直三棱柱中，，点分别为棱的中点．（1）证明：直线平面；

（2）求异面直线与所成的角的大小．18.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）如图，在四棱锥中，平面，.（1）求点到平面的距离；

（2）求直线与平面所成的角的大小．

19.（本题满分14分，第1小题8分，第2小题6分）规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的位置．我们说球是指该球的球心点．两球碰撞后，目标球在两球的球心所确定的直线上运动，目标球的运动方向是指目标球被母球击打时，母球球心指向目标球球心的方向．所有的球都简化为平面上半径为1的圆，且母球与目标球有公共点时，目标球就开始运动．如图：在桌面上建立平面直角坐标系，设母球的位置为，目标球的位置为，球的位置为．（1）如图①，若，要使目标球向球的球心方向运动，求母球的球心运动的直线方程；

（2）如图②，若，要使目标球向球的球心方向运动，求母球的球心运动的直线方程.

20.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）已知椭圆，点为上关于原点对称的两点，点为上异于的一点，点满足，其中为实数．

（1）求椭圆的离心率；

（2）若点的坐标为，且直线经过点，求点的坐标；

（3）若存在点，使得直线与直线垂直，且直线与有两个公共点，求实数的取值范围．

21.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）已知定义域为R的函数为其导函数，若对任意都有恒成立，则称函数为＂导大＂函数．

（1）判断函数是否为＂导大＂函数，并说明理由；

（2）若＂导大＂函数有零点，且有最大值，求函数的最大值；

（3）若＂导大＂函数有且仅有2026个零点，求函数的极大值点的个数的最小值．建平中学2025-2026学年第二学期高二年级数学期末统考2026.6一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）

1．直线的倾斜角是．

【答案】

2．复数满足，则．

【答案】

3．圆的半径为．

【答案】

4．双曲线的渐近线方程为．【答案】

5．已知空间向量，若，则．

【答案】

6．已知圆锥的母线长为2，底面半径为1，则该圆锥的体积为．

【答案】

7．已知为复数，则的最小值为．

【答案】5

8．若一个半径为的球与一个高为1的圆柱表面积相等，则该圆柱的侧面积为．

【答案】9．已知为抛物线上互异的两点，若，则．

【答案】2

10．在正四面体中，和为侧面上互异的两点，则直线与平面所成角的最大值为．

【答案】

11．图1所示为文件边角夹，其由两个全等的，直角边长为4厘米的等腰直角三角形塑料板（不考虑厚度）通过贴片耦合而成．图2展示了文件边角夹的工作原理，在使用文件边角夹时，通过按压使三角形塑料板绕着其中位线顺时针旋转，直至与三角形塑料板所在平面平行时无法转动．若要让边角夹按压后能够夹起总厚度为1.2厘米的一沓纸张，则边角夹的两个塑料板所在的半平面构成的二面角的平面角的最小值为．（结果精确到）【答案】

【详解】因为等腰直角三角形的直角边长为4cm，所以斜边上的高为，

因为中位线平行于斜边，所以直角顶点到中位线的距离为，

设边角夹的两个塑料板所在的半平面构成的二面角的平面角为，则纸张的厚度为，即，因为边角夹按压后能够夹起总厚度为1.2厘米的一沓纸张，所以，解得，所以，所求二面角的平面角至少为．12．若一个三棱锥的所有棱的长度构成的集合为，设该三棱铼的表面积的所有可能取值构成的集合为S，则集合S的元素个数为．【答案】8

【详解】首先考虑有2和3能够构成什么样的三角形？，其中表示三条边分别为.面积分别为

当三棱锥所有棱长中只有1个3，构成三棱锥的四个面的三角形，

2个个．面积为

当三棱锥所有棱长中只有2个3，构成三棱锥的四个面的三角形有一种情况

1个个个，面积为

当三条锥所有棱长中只有3个3，构成三棱锥的四个面的三角形

①1个个，面积为

②1个个，面积为

③2个个，面积为当三棱锥所有棱长中只有4个3，构成三棱锥的四个面的三角形

①1个个个，面积为

②4个，面积为

当三棱锥所有棱长中只有5个3，构成三棱锥的四个面的三角形2个个，面积为，一共8个.故答案为8.

二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）13．已知i是虚数单位，为复数，则＂＂是＂＂的（）条件.

A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要 D．既不充分也不必要

【答案】B14．已知直线和平面，则下列说法中正确的是（）.

A．若，则 B．若，则 C．若，则D．若，则

【答案】B

15．在正方体中，分别为棱的中点，为底面的中心，则直线与直线（）.

A．异面且垂直 B．不异面且垂直 C．异面且不垂直 D．不异面且不垂直

【答案】A

【详解】设在底面的投影为，易得平面，因为平面，所以，

因为分别为的中点，且为底面中心，所以，

因为平面平面，所以平面，易得平面与都在平面内，所以平面，因为平面，所以，因为直线与直线不共面．

所以直线与直线异面且垂直.故选A.

16．若平面曲线中任意两条曲线都没有公共点，则称为＂孤立曲线组＂，有以下两个命题：①若双曲线和双曲线没有公共点，则存在双曲线使得为＂孤立曲线组＂；②若抛物线和抛物线没有公共点，则存在抛物线使得为＂孤立曲线组＂．则（）.

A．①为真命题，②为假命题 B．①为假命题，②为真命题C．①为真命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题

【答案】C

【详解】命题①，若双曲线和双曲线没有公共点，结合双曲线弯曲的方向，则有如图两种情况，总存在双曲线使得为＂孤立曲线组＂，①正确；命题②，若抛物线和抛物线没有公共点，结合抛物线弯曲的方向，则有如图两种情况，

总存在抛物线使得为＂孤立曲线组＂，②正确．

三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）如图，在直三棱柱中，，点分别为棱的中点．（1）证明：直线平面；

（2）求异面直线与所成的角的大小．【答案】（1）证明略（2）

18.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）如图，在四棱锥中，平面，.（1）求点到平面的距离；

（2）求直线与平面所成的角的大小．【答案】（1）．（2）．

19.（本题满分14分，第1小题8分，第2小题6分）规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的位置．我们说球是指该球的球心点．两球碰撞后，目标球在两球的球心所确定的直线上运动，目标球的运动方向是指目标球被母球击打时，母球球心指向目标球球心的方向．所有的球都简化为平面上半径为1的圆，且母球与目标球有公共点时，目标球就开始运动．如图：在桌面上建立平面直角坐标系，设母球的位置为，目标球的位置为，球的位置为．（1）如图①，若，要使目标球向球的球心方向运动，求母球的球心运动的直线方程；

（2）如图②，若，要使目标球向球的球心方向运动，求母球的球心运动的直线方程.【答案】（1）（2）．

20.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）已知椭圆，点为上关于原点对称的两点，点为上异于的一点，点满足，其中为实数．

（1）求椭圆的离心率；

（2）若点的坐标为，且直线经过点，求点的坐标；

（3）若存在点，使得直线与直线垂直，且直线与有两个公共点，求实数的取值范围．

【答案】（1）（2）或（3）

【详解】（1）由椭圆的方程可得，则．

（2）因为点为椭圆上关于原点对称的两点，点的坐标为，所以点的坐标为，设点，已知且，即可得所以点的坐标为已知直线经过点和点，由斜率公式可得直线的斜率，于是可写出直线的点斜式方程，即，联立，可得或，和横坐标不相等，

当时，，当时，，所以点的坐标为或．

（3）设，则，且满足，同（2）中推导可得，其中，

因为直线与垂直，若，则，可得，

结合点坐标可写出直线方程为即，与椭圆方程联立，得，整理得，

依题意有，化简得，

当时，，此时直线为，与椭圆联立得即，同样满足上式．由椭圆方程知，令，因为，所以，

代入不等式右侧构造函数，

再令，则，利用二次函数性质可得最大值为，即，

解得．21.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）已知定义域为R的函数为其导函数，若对任意都有恒成立，则称函数为＂导大＂函数．

（1）判断函数是否为＂导大＂函数，并说明理由；

（2）若＂导大＂函数有零点，且有最大值，求函数的最大值；

（3）若＂导大＂函数有且仅有2026个零点，求函数的极大值点的个数的最小值．【答案】（1）是，理由见解析（2）0（3）极大值点至少为2025

【详解】（1）已知．对求导得．

将代入中，得，

即，此式恒成立，因此函数是＂导大＂函数．

（2）因为是＂导大＂函数，所以恒成立，

设在处取得最大值，因为函数定义域为R，故为极大值点，则，

所以，即，又由有零点，可得，所以，即函数的最大值