2025-2026学年上海建平中学高一下学期数学期末试卷（含答案）（2026.6）

建平中学2025-2026学年第二学期高一年级数学期末2026.6一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）

1．在中，，则.

2．函数的最小正周期是.

3．若复数为纯虚数，则实数.

4．已知数列的前项和，那么它的通项公式为.

5．已知函数的图像向左平移个单位长度后，所得图像关于轴对称，则的值为.6．已知点，若过点的直线与线段相交，则直线斜率的取值范围是.

7．已知等差数列，其前项和为，若，则的最大值为.

8．已知平面上三个不共线向量两两夹角均为，且满足：，则.

9．已知直线过点，且在轴上的截距相等，则的方程为.

10．在射线中，两条射线所成的夹角是，且线段，则集合所构成的几何图形的轨迹长度是.

11．著名数学家傅立叶认为所有的乐声都能用一些形如的正弦型函数之和来描述，其中频率最低的一项是基音，其余的为泛音。研究表明，所有泛音的频率都是基音频率的整数倍，称为基音的谐波．若对应于的泛音是对应于的基音的一个谐波，则正整数的所有可能取值之和为.12．设是虚数，它们的实部和虚部都是非负实数，则的取值范围是.

二、单选题（本大题共4题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，满分18分）

13．函数的严格单调递增区问是（）.

A．B．C．D．

14．已知直线，向量与该直线的一个法向量垂直，则实数（）.

A．6B．-6C．D．

15．《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形八卦图.图中正八边形代表八卦，中间的图代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田．已知正八边形的边长为，点是正八边形边上的一点，则的最小值是（）.

A．-2B．C．-4D．

16．若函数满足：在定义域内存在互不相同的三个数，当成等差数列时，有成等比数列，则称为＂双基函数＂．对于以下两个命题，正确的是（）.①函数不是＂双基函数＂；②对于任何的正实数都是＂双基函数＂．

A．①、②都正确B．①、②都错误C．①正确、②错误D．①错误、②正确三、解答题（本大题共5题，满分78分，解答下列各题必须写出必要的步骤）

17．（分）已知函数．

（1）求的值；

（2）求的最大值，并写出相应的的取值结合．18．（分）已知关于的方程的两个根是．

（1）若为虚数且，求实数的值：

（2）若，求实数的值.

19．（6＋8＝14分）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为．

（1）求顶点的坐标；

（2）求直线的方程．20．分）如图所示，设是平面内相交成的两条射线，分别为同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系．在仿射坐标系中，若，则记．

（1）仿射坐标系中，为非零向量，，判断以下两个结论是否一定成立？（填＂是＂或＂否＂）

①若，则.②若，则.

（2）在仿射坐标系中，若，且与的夹角为，求的值；

（3）如图所示，在仿射坐标系中，分别在轴，轴正半轴上，，点分别为中点，且，求的最小值．21．分）已知有限数列，若满足是项数，则称满足性质P．

（1）判断数列和是否具有性质P，请说明理由；

（2）若首项，公比为的等比数列，项数为14，具有性质,P，求的取值范围；

（3）若是的一个排列符合与都具有性质P，求所有满足条件的．

参考答案一、填空题1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.;8.;9.;10.；11.12.11．著名数学家傅立叶认为所有的乐声都能用一些形如的正弦型函数之和来描述，其中频率最低的一项是基音，其余的为泛音。研究表明，所有泛音的频率都是基音频率的整数倍，称为基音的谐波．若对应于的泛音是对应于的基音的一个谐波，则正整数的所有可能取值之和为.【答案】【解析】因为基本音为，所以，所以频率；

由两角和与差的正弦公式，使得,

设泛音的频率为的最小正周期分别为，

由题意知，即，又因为，所以．

设，故一定是的一个周期．令，则，

令，则，，故，则应该为的整数倍，故应整除400，可知．

因为,

其中．

因为，而，

所以，对恒成立，故为偶数且为的偶数倍，所以，所以正整数的所有可能取值之和为．二、选择题13.D14.A15.D16.D15．《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形八卦图.图中正八边形代表八卦，中间的图代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田．已知正八边形的边长为，点是正八边形边上的一点，则的最小值是（）.

A．-2B．C．-4D．【答案】D【解析】如图，过点作直线的垂线，垂足为，，由平面向量数量积的几何意义可知，当点在线段上时，取最小值，此时，故的最小值为．16．若函数满足：在定义域内存在互不相同的三个数，当成等差数列时，有成等比数列，则称为＂双基函数＂．对于以下两个命题，正确的是（）.①函数不是＂双基函数＂；②对于任何的正实数都是＂双基函数＂．

A．①、②都正确B．①、②都错误C．①正确、②错误D．①错误、②正确【答案】D【解析】设这三个数分别为对，有，得，故对任意，都存在符合条件，是＂双基函数＂，①错误，同理可知，②正确，故选D三、解答题17.（1）（2）18.（1）（2）19.（1）（2）20．分）如图所示，设是平面内相交成的两条射线，分别为同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系．在仿射坐标系中，若，则记．

（1）仿射坐标系中，为非零向量，，判断以下两个结论是否一定成立？（填＂是＂或＂否＂）

①若，则.②若，则.

（2）在仿射坐标系中，若，且与的夹角为，求的值；

（3）如图所示，在仿射坐标系中，分别在轴，轴正半轴上，，点分别为中点，且，求的最小值．【答案】（1）①是，②否；（2）（3）【解析】（1）①是，②否；理由如下：

对于①，因为，且非零向量满足所以由两向量平行的条件得：存在非零实数满足所以，则，即，故①成立；

对于②，因为，所以由平面向量数量积运算得

因为，所以不成立，故②不成立；

（2）在仿射坐标系中，因为，且与的夹角为，

由题可得，又因为分别为同向的单位向量，

所以，所以，，所以，

所以所以，解得，所以的值为；

（3）因为在仿射坐标系中，分别在轴，轴正半轴上，且，

点分别为中点，则设，其中,

因为分别为同向的单位向量，且，所以，

因为，点为中点，所以，又因为为中点，所以，所以，，

所以因为，所以，即即又因为且所以因为，所以代入得当且仅当时，即，等号成立，所以的最小值为．21．分）已知有限数列，若满足是项数，则称满足性质P．

（1）判断数列和是否具有性质P，请说明理由；

（2）若首项，公比为的等比数列，项数为14，具有性质,P，求的取值范围；

（3）若是的一个排列符合与都具有性质P，求所有满足条件的．【答案】（1）具有，不具有（2）（3）见解析【解析】（1）对于第一个数列有，满足题意，所以该数列具有性质；

对于第二个数列有，不满足题意，所以该数列不具有性质

（2）当时，明显具有性质．由题意可得，两边平方得，

整理得

当时，，

当为奇数时，，很明显（＊）式成立，

当为偶数时，，很明显（＊）式不成立，所以当时，矛盾，舍去．

当时，，

当为奇数时，，很明显（＊）式成立，

当为偶数时，，要使式恒成立，即使恒成立，

即时，恒成立，即，所以或，所以取．

综上，