湖南省衡阳市衡阳县第四中学2026-2027学年高二上学期开学测试数学试卷（含解析）

衡阳县四中2026-2027学年上学期高二开学测试卷数学满分：150分 考试时间：120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若，则()A. B. C. D.2.甲班和乙班同学在体育课上进行拔河比赛，比赛采取三场两胜制，假设每场比赛甲班获胜的概率均为，每场比赛结果互不影响，则甲班最终获胜的概率为()A. B. C. D.3.在四棱锥中，，，，则该四棱锥的高为()A. B. C. D.4.已知，，若从集合M，N中各任取一个数x，y，则为整数的概率为()A. B. C. D.5.如图，在平行四边形ABCD中，，F为BC的中点，G为EF上的一点，且，则实数m的值为()A. B. C. D.6.已知α，β是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，下列条件中，一定得到直线的是()A.， B.，C.， D.，，，7.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且面积为S.若，且，则()A. B. C. D.8.正方体中，下列结论错误的是()A. B.平面ABCC.平面平面 D.平面平面二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.有一组样本数据，，…，，其中是最小值，是最大值，则()A.，，，的平均数等于，，…，的平均数B.，，，的中位数等于，，…，的中位数C.，，，的标准差不小于，，…，的标准差D.，，，的极差不大于，，…，的极差10.如图，已知，，，，其内有一点G，满足，过点G的直线分别交AB，AC于点D，E.设，（，），则下列说法正确的是()A. B.点G为的重心C. D.11.已知圆锥（O是圆锥底面圆的圆心，S是圆锥的顶点）的母线长为4，底面半径为3.若P，Q为底面圆周上的任意两点，则下列说法正确的是()A.圆锥SO的侧面积为B.面积的最大值为C.三棱锥体积的最大值为D.圆锥SO的内切球的表面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量，，，且，则______.13.设复数满足，，，则______.14.猜灯谜又称打灯谜，是我国从古代就开始流传的元宵节特色活动.在一次元宵节猜灯谜活动中，三位同学独立竞猜，其中的20道灯谜，甲同学猜对了12道，乙同学猜对了8道，丙同学猜对了n道.以频率估计概率，任选一道灯谜，甲、乙两位同学恰有一个人猜对的概率为__________；若甲、乙、丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，则n的值为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（13分）为了解居民用水情况，相关部门通过抽样，获得了某年100户居民每户的月均用水量（单位：吨），将数据按照，，…，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.（1）求a的值并估计该地区月均用水量的60%分位数；（2）现从该地区居民中任选2户居民，将月均用水量落入各组的频率视为概率，不同户居民的月均用水量相互独立，求恰有1户居民月均用水量大于分位数的概率；（3）现有4户居民甲、乙、丙、丁，经调查，甲和乙月均用水量大于分位数，丙和丁月均用水量不大于60%分位数，现从该4户中随机选2户，求所选2户中恰有1户月均用水量大于分位数的概率.16.（15分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点.（1）若，求的值；（2）若AC交BN于点P，求线段MP的长.17.（15分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且.（1）求角A的大小；（2）若，求的面积.18.（17分）甲、乙、丙、丁4名棋手进行围棋比赛，赛程如框图所示，其中编号为的方框表示第i场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第i场比赛的胜者称为“胜者i”，负者称为“负者i”，第6场为决赛，获胜的人是冠军.已知甲每场比赛获胜的概率均为，乙、丙、丁相互之间胜负的可能性相同.（1）求乙仅参加两场比赛且连负两场的概率；（2）求甲获得冠军的概率；（3）求乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率.19.（17分）如图，在正四棱台中，，.（1）若，求直线与平面所成的角.（2）证明：平面；并求当该正四棱台的高为3时，三棱锥的体积.

答案1.答案：C解析：因为，所以，故，故选C.2.答案：D解析：甲班最终获胜有三种情况：①甲班前两场获胜；②甲班第1场和第3场获胜，第2场输；③甲班第1场输，第2场和第3场获胜.故甲班最终获胜的概率为.3.答案：B解析：设平面ABCD的法向量为，则即取，得，四棱锥的高即为点S到平面ABCD的距离，为.故选B.4.答案：C解析：，，从集合M，N中各任取一个数x，y的样本空间，共有8个样本点.记事件“为整数”，则，共4个样本点，所以.5.答案：B解析：因为，F为BC的中点，所以，.连接AE，AF，因为E，G，F三点共线，所以设，又，所以解得所以实数m的值为.6.答案：C解析：A：直线l可能平行于平面α、在平面α内或垂直平面α，无法确定.B：a平行平面α，与a垂直的直线l可在面内，无法确定.C：若一条直线垂直于一个平面，则与这条垂线平行的直线垂直该平面，成立.D：缺少a，b相交的条件，若，l可平行于平面α或在平面α内，不能推出.7.答案：A解析：在中，，而，由，得，又，，则，由正弦定理得，解得，由，得，所以.8.答案：D解析：因为，且，所以四边形为平行四边形，所以，A正确.正方体的各面都为正方形，所以，，又，，平面ABC，所以平面ABC，B正确.由，平面，平面，可得平面，同理由可得平面.又，所以平面平面，C正确.过C作，若平面平面，则由，平面平面，平面可得平面，这与平面矛盾，所以假设不成立，D错误.9.答案：BD解析：取，，，则，，，的平均数为2，标准差为0，，，…，的平均数为3，标准差为，故A，C不正确；根据中位数的定义，将，，…，按从小到大的顺序进行排列，中位数是中间两个数的算术平均数，由于是最小值，是最大值，故，，，的中位数是将，，，按从小到大的顺序排列后中间两个数的算术平均数，与，，…，的中位数相等，故B正确；根据极差的定义，知，，，的极差不大于，，…，的极差，故D正确.10.答案：BCD解析：由，得，得，得，A错误；如图，取BC的中点为M，连接GM，由，得，所以点A，G，M共线，且G为靠近点M的三等分点，故G为的重心，B正确；由，及D，G，E三点共线，得，故，C正确；因为，，，即，所以.以A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，则，，（另解：延长CG交AB于点N，则N为AB的中点，则，在中，，又G为重心，所以）D正确.11.答案：ACD解析：A选项，底面半径为3，则底面圆周长为，又母线长为4，则侧面积为，故A正确；B选项，由母线长为4，底面半径为3，可得圆锥的高.设BC是底面圆的一条直径，如图①，则在中，，则是钝角，又，则存在点P，Q，当时，，面积的最大值为8，故B错误；C选项，，由圆锥的几何特征知三棱锥的高在圆锥底面上，当，即OQ为三棱锥的高时，，故C正确；D选项，设内切球球心为，则在线段SO上，半径为r，过作，如图②，则，，，则，则，即，解得，内切球表面积为，D正确.故选ACD.12.答案：3解析：因为，，，所以，可得，因为，解得，故答案为3.13.答案：解析：设在复平面内对应的向量分别为，则，，且.考虑到，故，故，所以.14.答案：；10解析：设事件A为“任选一道灯谜甲猜对”，事件B为“任选一道灯谜乙猜对”，事件C为“任选一道灯谜丙猜对”，则，，，故，，.“甲、乙两位同学恰有一个人猜对”即，且与互斥.每位同学独立竞猜，故A，B相互独立，则A与，与B，与均相互独立，所以.设事件D为“甲、乙、丙三人中至少有一个人猜对”，则，所以，解得.15.解析：（1）由频率分布直方图，得，解得.数据落在区间的频率为，数据落在区间的频率为，则用水量吨数的分位数，由，解得，故估计该地区月均用水量的分位数为2.25吨.（2）设事件表示第i户居民月均用水量大于分位数，则，事件B表示恰有1户居民月均用水量大于分位数，，因此，所以恰有1户居民月均用水量大于分位数的概率为0.48.（3）试验的样本空间（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，丙），（乙，丁），（丙，丁），共6个样本点，事件M表示所选2户中恰有1户月均用水量大于分位数，则（甲，丙），（甲，丁），（乙，丙），（乙，丁），共4个样本点，所以.所以所选2户中恰有1户月均用水量大于分位数的概率为.16.解析：（1）以点A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，，则，，.由，得，所以解得因此.（2）设，因为B，P，N三点共线，所以，则存在唯一实数m，使得，则，可得，，即.又A，P，C三点共线，且，，所以，解得，则，所以，所以，所以线段MP的长为.17.解析：（1）因为，所以由正弦定理得，又，故，所以，整理得，因为，所以，两边同除以得，即，又，所以.（2）由及正弦定理知，由（1）知，所以.因为，所以，故B为锐角，.因为，所以.由正弦定理，得，则，故.18.解析：（1）乙连负两场，即乙在第1场、第4场均负，所以乙连负两场的概率为.（2）甲获得冠军，则甲参加比赛的结果有三种情况：1胜3胜6胜；1负4胜5胜6胜；1胜3负5胜6胜，所以甲获得冠军的概率为.（3）若乙的决赛对手是甲，则两人参加比赛的结果有两种情况：甲的比赛结果为1胜3胜，乙的比赛结果为1负4胜5胜；甲的比赛结果为1负4胜5胜，乙的比赛结果为1胜3胜.所以所求概率为.若乙的决赛对手是丙，则两人只可能在第3场和第6场相遇，两人参加比赛的结果有两种：乙的比赛结果为1胜3胜，丙的比赛结果为2胜3负5胜；乙的比赛结果为1胜3负5胜，丙的比赛结果为2胜3胜.又考虑甲在第4场和第5场的结果，则乙与丙在第3场和第6场相遇的概率为.若乙的决赛对手是丁，则其比赛结果与乙的决赛对手是丙的结果相同，所以乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率为.19.解析：（1）如图，连接AC