广州大学大一公共课高等数学期末考试卷及答案

学院领导审批并签名B卷广州大学20XX-20XX学年第二学期考试卷课程：高等数学（90学时）考试形式：闭卷考试题号一二三四五六七总分分数151520201578100评分评卷人一．填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）1．设，则__________________2．设连续，,,则___________________3．为，则4．若级数收敛，则5．微分方程的通解是二．单项选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）1．函数在点处可微是在该点偏导数及存在的【】（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充分必要条件（D）无关条件.2.曲线，，在点处的法平面方程为【】（A）（B）（C）（D）3．设是连续函数，改换二次积分的积分次序【】（A）（B）（C）（D）4.设是球面的内侧，为所围成闭区域，由高斯公式，曲面积分【】（A）（B）（C）（D）5．设有级数，则【】（A）当时，级数绝对收敛（B）当时，级数条件收敛（C）当时，级数绝对收敛（D）当时，级数条件收敛三．解答下列各题1．求函数的定义域，并画出其区域图2．函数是由方程确定，求及3．求表面积为36而体积最大的长方体四．计算下列积分1．计算，其中由直线，及围成的闭区域2．计算，其中是由平面及三个坐标面所围成的闭区域3．利用格林公式计算，其中L为圆周，取逆时针方向五．解答下列级数1．判别级数的敛散性2．求幂级数的收敛域及其和函数六．（本题满分7分）设有连结点和点的一段向上凸的曲线弧，对于上任一点，曲线弧与直线段所围成的图形的面积为，求曲线弧的方程七．（本题满分8分）求微分方程的通解广州大学20XX-20XX学年第二学期考试卷答案与评分标准课程：高等数学（90学时）考试形式：闭卷考试题号一二三四五六七总分分数151520201578100评分评卷人一．填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）1．设，则2．设具有一阶连续偏导数，,,则3．为圆周，则4．若级数收敛，则5．微分方程的通解是二．单项选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）1．函数在点处可微是在该点偏导数及存在的【A】（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充分必要条件（D）无关条件.2.曲线，，在点处的法平面方程为【B】（A）（B）（C）（D）3．设是连续函数，改换二次积分的积分次序【D】（A）（B）（C）（D）4.设是球面的内侧，为所围成闭区域，由高斯公式，曲面积分【C】（A）（B）（C）（D）5．设有级数，则【D】（A）当时，级数绝对收敛（B）当时，级数条件收敛（C）当时，级数绝对收敛（D）当时，级数条件收敛三．解答下列各题1．求函数的定义域，并画出其区域图解：要使函数有意义，须满足即所求定义域为┉┉┉┉┉3分区域的图形如左图阴影部分┉┉┉┉┉┉┉┉┉6分2．函数是由方程确定，求及解：令则，┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉3分┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉5分┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉6分3．求表面积为36而体积最大的长方体解：设长方体的三棱长为，则体积，且令┉┉┉┉┉┉┉┉┉3分由┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉5分得┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉7分由实际问题可知，当棱长为的正方体时体积最大┉┉┉┉8分四．计算下列积分1．计算，其中由直线，及围成的闭区域解：┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉3分┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉5分┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉6分2．计算，其中是由平面及三个坐标面所围成的闭区域解：┉┉┉┉┉┉┉┉3分┉┉┉┉┉┉┉4分┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉5分=┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉6分3．利用格林公式计算，其中L为圆周，取逆时针方向解：记，由格林公式┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉3分┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉6分┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉7分┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉8分五．解答下列级数1．判别级数的敛散性解：┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅2分┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅4分该级数收敛┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅5分2．求幂级数的收敛域及其和函数解：┅┅2分故┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅3分当时，级数发散┅┅┅┅┅┅┅┅┅4分当时，级数发散┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅5分幂级数的收敛域为┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅6分记又设，，┅┅8分知（）┉┉┅┅10分六．（本题满分7分）设有连结点和点的一段向上凸的曲线弧，对于上任一点，曲线弧与直线段所围成的图形的面积为，求曲线弧的方程解：设曲线弧的方程为，依题意┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅2分两边关于求导，得即┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅3分该方程为一阶线性微分方程，由常数变易公式得┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅4分┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅6分由得，所求方程为┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅7分七．（本题满分8分）求微分方程的通解解：该方程为二阶常系数非齐次线性微分