人教版数学九年级上册 29.2 与圆有关的性质 学案 无答案

第二十九章圆29.2与圆有关的性质知识点一圆的对称性圆是_________图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，圆有无数条对称轴.圆也是_________图形，圆心是它的对称中心.圆还具有_________不变性.知识点二垂径定理定理垂直于弦的直径_________弦，并且平分弦所对的两条弧.如图，CD是O的直径，AB为弦，CD⊥AB于点E，则AE＝BE，推论平分弦（非直径）的直径_________于弦，并且_________弦所对的两条弧.如图，CD是O的直径，AE＝BE，则_____________________________________________.小技巧一条直线如果具备：①经过圆心；②垂直于弦，③平分弦（非直径），④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧，上述五个条件中的任意两个条件都可以推出其它三个结论，简称“知二推三”.即学即练1．（25-26九年级上·江西赣州·期末）把半径为的球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，若，则的长为（

）A． B． C． D．2．（2021·山东淄博·中考真题）“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表述是：如图所示，为的直径，，垂足为E，寸，寸，则直径长度是（

）A．12寸 B．13寸 C．24寸 D．26寸3．（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）如图，是的弦，半径于点D．若，则的长是（

）A．4 B．3 C．2 D．4．（25-26九年级上·浙江温州·期末）如图1是直径为圆形干果盘，其示意图如图2，四条隔板长度相等，横纵隔板互相垂直且交于隔板的三等分点，则该干果盘的隔板长为（

）A． B． C． D．知识点三圆心角及弧、弦、圆心角之间的关系圆心角的定义：顶点在_________的角叫做圆心角.弧、弦、圆心角之间的关系定理：在__________________中，相等的圆心角所对的弧_________，所对的弦也_________.如图所示，∵∠AOB＝∠COD，∴AB＝CD，.推论：在__________________中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别_________.【注意】不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，如果遗漏了这个前提条件，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等.反例：【解题思路】在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么这两条弧所对的弦相等，所对的圆心角、圆周角也都相等，运用这些相等关系，可以实现线段相等与角相等之间的相互转化．即学即练1．（22-23九年级上·北京·单元测试）下列图形中的角是圆心角的是（

）A．B．C． D．2．（2025·四川广元·一模）如图，在中，下列结论不正确的是（

）A． B．C． D．3．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，在中，点A、B、C、D在圆上，，，则（

）A． B． C． D．知识点四圆周角及圆周角定理圆周角的定义：顶点在_________，且两边都和圆_________的角叫做圆周角.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的_________.（即：圆周角=_________圆心角）圆周角定理的推论推论1：同弧或等弧所对的圆周角_________.推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是_________；90°的圆周角所对的弦是_________.即学即练1．（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）如图，内接于圆，点在上，连接，．下列角中，所对圆周角的是（

）A． B． C． D．2．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）如图，在⊙中，直径垂直于弦，若，则的度数是（

）A． B． C． D．3．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，点，，，都在上，且，若，则的度数为（

）．A． B． C． D．4．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，内接于，是直径，若，则的度数为（

）A． B． C． D．知识点五圆内接四边形及其性质概念如果一个四边形的所有顶点均在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆内接四边形.性质圆内接四边形_________.∠BAD+∠BCD=180°，

∠ABC+∠ADC=180°延伸圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（即与该外角相邻的内角的对角）.∠1=∠2即学即练1．（25-26九年级上·山东淄博·期末）如图，已知四边形是的内接四边形，若，则的度数为（

）A． B． C． D．2．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图，四边形是的内接四边形，，则的度数为（

）A． B． C． D．3．（25-26九年级上·云南昆明·期末）如图，四边形内接于，点在的延长线上，若，则（

）A． B． C． D．4．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段检测）点P是上异于点A，B的一点，若，则的度数为（

）A． B． C．或 D．或题型01利用垂径定理求解1）有弦无垂径时，可过圆心，作垂线，连半径，造Rt△，用勾股，求长度；【补充】在构造Rt△ODE中，半径OD，弦心距OE，弦长CD，拱高BE四个量知二推二.2）有弦中点，连中点和圆心，得垂直平分.典｜例｜精｜析例1．（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，以点为圆心的圆弧与轴交于A、B两点，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（

）A． B． C． D．变｜式｜巩｜固1．（2026九年级上·四川南充·专题练习）如图是的直径，弦与相交于点，且，，，则的长为（

）A． B． C．6 D．2．（25-26九年级上·江苏南通·期末）如图，是的直径，是的弦，，点E是的中点，连接，．若，则的度数为（

）A． B． C． D．3．（25-26九年级上·北京顺义·期末）半圆形纸片的半径为，用如图所示的方法将纸片对折，使对折后半圆弧的中点与圆心重合，则折痕的长为______．题型02利用垂径定理的推论求解典｜例｜精｜析例2．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，在中，C，D分别是和弦的中点，若，，则的半径是________．变｜式｜巩｜固1．（23-24九年级下·江西赣州·阶段检测）如图，是的弦，半径经过的中点．若，则的大小为______．2．（25-26九年级上·安徽淮南·期末）如图，的半径为，为弦，为的中点，若，则弦的长为（

）A． B． C． D．3．（25-26九年级上·甘肃甘南·期末）如图，已知为的直径，是弦，且于点，连接．(1)求证：；(2)若，求的长．题型03利用垂径定理解决实际问题典｜例｜精｜析例3．（25-26九年级上·山东临沂·期末）如图1，唐代李皋发明了桨轮船，如图2，某桨轮船的轮子可看作圆，被水面截得的弦长为，轮子的吃水深度为，半径于点D，则该桨轮船的轮子半径为________米．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）如图，拱桥可以近似的看作直径为260的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，那么这些钢索中最长的一根的长度为__________．2．（25-26九年级上·广东湛江·期末）在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点D，交劣弧于点C，测出，则圆形工件的半径为（）A． B． C． D．3．（25-26九年级上·浙江金华·期末）如图某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改造为一个圆弧形的门洞，如图，已知矩形门洞的宽为、高为，圆弧所在的圆外接于矩形，则改造后的门洞高（圆弧形门洞弓高）为（

）A． B． C． D．题型04利用垂径定理解决平行弦问题此类问题中两弦与圆心的相对位置往往不确定，需要分类讨论.典｜例｜精｜析例4．（25-26九年级上·甘肃平凉·期末）已知半径是13，弦，，，则与之间距离为（

）A．7 B．17 C．7或17 D．无法计算变｜式｜巩｜固1．（2025学年第一学期期末考试九年级数学试题卷）衢州山茶油生产已有二千多年历史，有“东方黄金液体”的美誉．如图1，在某榨油厂中，榨油师傅会将包好的圆形油饼整齐码入木榨的榨槽中．如图2，圆形油饼紧靠在木榨的榨槽中的，，，四点．已知，，与之间的距离为，则的半径为（

）A． B． C． D．2．（23-24九年级上·浙江温州·阶段检测）如图，的两条弦（不是直径），点为中点，连接，．

(1)求证：直线；(2)求证：．3．（21-22九年级上·浙江金华·期末）在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（）cmA．1 B．3 C．3或4 D．1或7题型05利用垂径定理解决同心圆问题典｜例｜精｜析例5．（25-26九年级上·贵州遵义·期末）如图，两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于两点，大圆的半径为10，小圆半径为7．若，则弦的长是__________．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·山东淄博·阶段检测）如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于，两点，若，则两圆之间的圆环的面积是（

）A． B． C． D．2．（24-25九年级下·全国·随堂练习）如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦与小圆有公共点，则弦的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（25-26九年级上·全国·期末）如图，在以点O为圆心的两个同心圆（两圆的圆心均为点O）中，大圆的弦交小圆于点C，D．(1)求证：．(2)若大圆的半径，小圆的半径，且圆心O到直线的距离为3，求的长．题型06圆心角及圆周角的识别典｜例｜精｜析例6．（25-26九年级上·全国·课后作业）下图中的是圆心角的是（

）A． B． C． D．变｜式｜巩｜固1．（24-25九年级上·河南商丘·期中）下列圆中既有圆心角又有圆周角的是（

）A．

B．

C．

D．

2．（25-26九年级上·吉林长春·期中）下列图中是圆周角的是（

）A．B．C． D．3．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在图中标出的4个角中，圆周角有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个题型07利用弧、弦、圆心角的关系求解弧、弦、圆心角之间的关系的定理及推论是说明线段相等、角相等、弧相等的重要依据.解决此类问题的关键是充分利用圆中弧、弦、角之间的关系，灵活地进行相互转化.典｜例｜精｜析例7．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）在直径为的中，弦，则弦所对的圆心角是（

）A． B． C． D．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，均为圆周上十二等分点，若弦长为，则两点的距离是（

）A． B． C． D．2．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）如图，、、均为半径，，，点D为弧中点，则________．3．（25-26九年级上·山东泰安·期末）如图，点在上，是弧的中点，交于点．若，，则的度数是_______．题型08利用弧、弦、圆心角的关系求证典｜例｜精｜析例8．（25-26九年级上·福建南平·期中）如图，在中，，则下列结论①，②，③，④，正确的是____________．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，分别为的两条弦，于M，于N，且，则下列结论中，正确的个数为（）①；②；③．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个2．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，，，，是上的四点，且．(1)求证：；(2)设与交于点．求证：．3．（25-26九年级上·广东江门·期末）如图，是的直径，是的弦，于点E，C是的中点，连接．(1)求证：．(2)若，求的半径．题型09利用圆周角定理求解应用圆周角定理时，要识别图形，确认同弧或等弧所对的圆周角和圆心角，必要时依据弧构造圆周角或圆心角.典｜例｜精｜析例9．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，点A，点B，点C在上，连接，，，连接并延长交于点D．若，，则（

）A． B． C． D．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·河南开封·期末）如图，圆内接四边形中，，连接，，，，．则的度数是（

）A． B． C． D．2．（25-26九年级上·山西晋城·期末）小文在假期旅游时，看到了一个美丽的圆弧形门洞（如图），她对这个门洞进行了测量，测得圆弧上任意两点间的最大距离为，门洞最底部的两个端点和圆弧上一点C构成的，则这个门洞处边长为（

）A． B． C． D．3．（24-25九年级上·山东泰安·期末）如图，是的直径，，点C在上，，D为弧的中点，P是直径上一动点，则的最小值为______．题型10利用圆周角定理推论求解典｜例｜精｜析例10．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图，内接于，是的直径，，则的度数是_____．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·安徽芜湖·期末）如图，点在外，分别切于点是的直径，若，则的度数为_____．2．（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，中，，是内部的一个动点，且满足，则线段的最小值为___________．3．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如