2026年北京市第二次高中学业水平考试数学卷真题（含答案详解）

试卷第=page11页（共=sectionpages33页）试卷第=page11页（共=sectionpages33页）2026年北京市第二次普通高中学业水平合格性考试（一）第一部分（选择题

共54分）一、选择题：共18小题，每小题3分，共54分．在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项．1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．已知复数，则（

）A．3 B．4 C．5 D．63．已知函数则（

）A． B．0 C．1 D．24．已知向量，．若，则实数（

）A． B． C．1 D．25．下列函数中，在区间上单调递增的是（

）A． B． C． D．6．命题“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，7．函数的图象过点（

）A． B． C． D．8．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（

）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度9．如图，在正四棱锥中，下列结论正确的是（

）A．直线与直线相交 B．直线与直线平行C．直线与直线垂直 D．直线与直线是异面直线10．已知，，向量与向量的夹角为，则（

）A． B． C．1 D．11．在中，，，，则（

）A． B． C． D．12．已知，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件13．某快递公司为优化配送路线，从100000单快递中随机抽取了1000单，将这1000单快递的配送时长（单位：min）按照，，，，，分成6组，绘制成如下频率分布直方图：由此可估计这100000单快递中配送时长在的快递单数为（

）A．20000 B．30000 C．40000 D．5000014．设，，则，，1的大小关系为（

）A． B． C． D．15．某学校启用了“智慧食堂”系统，在该系统中，学生通过人脸识别或刷卡两种方式进行结算．若甲、乙两名学生每人从这两种方式中随机选择一种进行结算，则至少有一人选择人脸识别的概率为（

）A． B． C． D．16．已知a＞0，则a＋的最小值是（

）A．1 B．2 C．3 D．417．如图，，，，是半径为1的圆上的四等分点，圆与数轴相切于原点．数轴上的点对应的数为，把数轴看成一个“皮尺”，将线段按逆时针方向缠绕到圆上，则点与圆上重合的点是（

）A．点O B．点P C．点Q D．点R18．某市年1～8月运输邮电业主要业务量指标如下表所示：项目计量单位8月8月同比增长率1～8月1～8月同比增长率邮政行业业务总量亿标准量电信业务总量亿元客运量万人

货物量万吨

说明：在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如年8月与年8月相比较；同比增长率=（本期数-同期数）÷同期数．根据上述信息，下列结论中正确的是（

）A．表中的4个项目中，年8月同比增长率最低的是货物量B．表中的4个项目中，年1～8月同比增长率最高的是客运量C．年邮政行业业务总量，8月高于同年1～8月的平均值D．电信业务总量8月在1～8月中的占比，年低于年第二部分（非选择题

共46分）二、填空题：共3小题，每小题4分，共12分．19．已知中，已知，则______.20．已知，则______，______．（两空均填“”或“”）21．2025年7月我国首台月壤打砖机在深空探测实验室研制成功，这种打砖机可以利用聚光太阳能将月壤熔融成型．小明在通用技术课上制作了“月壤砖”模型，并拼成如图1所示的长方体，该长方体是由图2、图3所示的榫、卯结构多面体组成．在图1中，，，，，，，，．给出下列三个结论：①图2所示的榫结构多面体的体积为；②图3所示的卯结构多面体的体积为；③图2、图3所示的榫、卯结构多面体的表面积之和比图1所示的长方体的表面积多．其中所有正确结论的序号是______．三、解答题：共4小题，共34分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．22．已知函数．(1)求的值；(2)求在区间上的最大值．23．阅读下面题目及其解答过程．如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面．（1）求证：平面；（2）若，求证：．证明：（1）因为侧面为正方形，所以①．又②，平面，所以平面．（2）因为侧面为正方形，所以③．因为平面平面，平面平面，所以④．又因为平面，所以⑤．因为，，，所以．所以⑥．所以．以上题目的解答过程中，设置了①～⑥六个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个符合逻辑推理．请选出符合逻辑推理的选项，并填写在横线上（只需填写“A”或“B”）．空格序号选项①（A）（B）②（A）平面（B）平面③（A）（B）④（A）平面（B）平面⑤（A）（B）⑥（A）（B）24．已知函数（a为常数）的图象过点．(1)求a的值，判断的奇偶性，并说明理由；(2)求不等式的解集．25．给定正整数，从区间中的个整数中任取个不同的整数，若这个整数中存在和为0的3个数，则称具有性质．(1)判断2是否具有性质，2是否具有性质；（结论无需证明）(2)若具有性质，求的最大值；(3)若5具有性质，求的最小值．答案第=page11页（共=sectionpages22页）答案第=page11页（共=sectionpages22页）1．A【详解】由，，得.2．C【详解】因为，所以.3．D【详解】由函数，所以.4．A【详解】因为，所以，解得.5．D【详解】在上单调递减，选项A错误；开口向下，对称轴是轴，在区间上单调递减，选项B错误；是指数函数，底数，在上单调递减，选项C错误；是对数函数，底数，在区间上单调递增，选项D正确.6．A【详解】命题“，”为全称量词命题，它的否定是：，.7．B【详解】当时，，则函数的图象过点，故选项A错，B对；当时，，则函数的图象过点，故选项C错；当时，，则函数的图象过点，故选项D错.8．B【详解】将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象.9．D【详解】对于AB，由于与相交，，因此直线与直线异面，AB错误，对于C，若与直线垂直，,平面，故平面，而平面，故，这与四棱锥为正四棱锥矛盾，故与直线不可能垂直，C错误，对于D，由于与相交，，因此直线与直线异面，D正确，10．C【详解】利用数量积公式得.11．B【详解】根据正弦定理得.12．A【详解】当时可推出；当时，，不一定得到，故“”是“”的充分不必要条件.13．D【详解】目标区间包含和两个组，从图中可得这两组相应矩形的高分别为0.02和0.03，因此该区间总频率为：，故100000单中配送时长在的快递单数为：.14．D【详解】因为，，所以.15．C【分析】利用古典概型即可.【详解】记学生甲通过人脸识别为，刷卡为；学生乙通过人脸识别为，刷卡为.则样本空间为，共种.所以至少有一人选择人脸识别的样本点为，共种.所以至少有一人选择人脸识别的概率为.16．B【分析】利用基本不等式即得.【详解】根据题意，，则，当且仅当，即时等号成立，即的最小值是2；故选：B.17．C【详解】圆的半径，周长，已知，，，是圆上的四等分点，则，线段长度为，沿圆逆时针缠绕，从出发，走到，再走到，故点与圆上重合的点是．18．D【详解】选项A：由上表可知，8月同比增长率最低的为客运量，增长率为，错误；选项B：由上表可知，1～8月同比增长率最高的是邮政行业业务总量，增长率为，错误；选项C：邮政行业业务总量：1～8月平均值为，8月值为，则8月低于同年1～8月的平均值，故C错误；选项D：电信业务总量年8月为，1～8月为，8月占比为；设年8月电信业务量为，1～8月总量为，由同比公式得：，解得；故，即年低于年，故D正确．19．【分析】利用余弦定理即可得出结果【详解】中，，根据余弦定理可得：故故答案为【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用，熟练掌握定理解决本题的关键，属于基础题．20．【详解】因为，所以；因为，所以.21．①②③【分析】由长方体的体积公式和表面积公式即可求解.【详解】图1表面积：图2体积为：，①正确；图2表面积：，图3体积为：，②正确；图3表面积：，故图2、图3所示的榫、卯结构多面体的表面积之和比图1所示的长方体的表面积多：，正确.22．(1)(2)【分析】（1）利用正弦和角公式得即可求.（2）利用正弦型函数的性质即可.【详解】（1）因为，所以.所以．（2）因为，所以．所以．当，即时，取得最大值．所以在区间上的最大值为．23．①A

②B

③A

④B

⑤B

⑥A【分析】对于①，结合平面几何知识，根据正方形可得；对于②，结合线面平行判定定理可知应选平面；对于③④⑤，结合面面垂直、线面垂直、线线垂直的性质定理求解；对于⑥，结合全等三角形的性质以及需要证明的结论可知.【详解】对于①，侧面为正方形，因此对边平行，故选A.对于②，根据线面平行判定定理，结合图形可知平面，故选B.对于③，根据面面垂直性质定理可知，应当为，故选A.对于④，根据面面垂直性质定理可知,由面面垂直得到线面垂直，故选B.对于⑤，由线面垂直性质定理可知，由平面可以得到，故选B.对于⑥，题目要证，因此由全等三角形得到，所以应当选A.24．(1)因为函数的图象过点．所以，解得．因此，．是偶函数，理由如下：因为，都有，所以是偶函数．(2)或【分析】（1）将点代入函数解析式求出，再验证即可判断奇偶性；（2）将不等式移项整理为二次不等式，因式分解后写出解集．【详解】（1）略；（2）由，得，所以，即．所以或．所以原不等式的解集为或．25．(1)2不具有性质；2具有性质．(2)3(3)7【分析】（1）根据性质的定义进行判断即可；（2）根据性质的定义，先求得时，不存在和为0的3个数，再证明时，能够找到3个数使得3个数和为0；（3）分别讨论与时，5是否具有性质即可.【详解】（1）证明2不具有性质：从区间中的个整数中任取个不同的整数，若这个整数中存在和为0的3个数，则称2具有性质.以下举出反例：取个不同的整数为，于是取其中3个数有如下可能：，分别计算三个数的和可知，三个数的和均不为0，所以2不具有性质.证明2具有性质：从区间中的个整数中任取个不同的整数，若这个整数中存在和为0的3个数，则称2具有性质.取个不同的整数为，取可知这3个数和为0，所以2具有性质.综上所述，2不具有性质；2具有性质．（2）的最大值为3．设所选出的5个数组成的集合记为．当时，取，此时中不存在和为0的3个数．当时，①若，令，，，则从，，，1，2，3这6个数中选4个数，必有2个数属于同一个集合，此时中存在和为0的3个数．②若，令，，则从，，，1，2，3这6个数中选5个数，必有3个数属于同一个集合，此时中存在和为0的3个数．综上，的最大值为3．（3）当时，设所选出的个数组成的集合