应用时间序列分析课后答案

应用时间序列分析课后答案问题1：检验某地区2000年1月至2020年12月月度工业产值序列的平稳性，并说明判断依据对该序列进行平稳性分析需结合图示法与单位根检验。首先绘制原始序列的时序图，观察到序列整体呈现明显的上升趋势，2010年后增速略有放缓，但长期趋势未消失；进一步绘制自相关函数（ACF）图，发现ACF值随滞后阶数增加缓慢衰减，前12阶ACF值均大于0.5且未显著落入置信区间（±1.96/√T，T=252），符合非平稳序列ACF拖尾的典型特征。为定量检验，采用ADF（AugmentedDickey-Fuller）检验，设定模型形式为包含截距项和趋势项（因时序图有明显趋势），滞后阶数根据AIC准则选择为4。原假设H₀：序列存在单位根（非平稳），备择假设H₁：序列平稳。检验结果显示，ADF统计量为-2.13，1%、5%、10%显著性水平下的临界值分别为-3.99、-3.43、-3.14。由于ADF统计量大于临界值（-2.13>-3.43），且p值为0.45（大于0.05），无法拒绝原假设，确认原始序列非平稳。为消除趋势，对序列进行一阶差分（Δyₜ=yₜyₜ₋₁），得到差分后序列。再次绘制时序图，趋势消失，序列围绕0值上下波动；ACF图显示，一阶滞后ACF值为0.32，二阶滞后降至0.08，三阶及以上均落入置信区间。ADF检验结果：统计量为-4.87，小于5%临界值-3.43，p值<0.01，拒绝原假设，差分后序列平稳。因此，原序列为一阶单整序列，即I(1)。问题2：根据平稳化后的序列（一阶差分序列）的ACF和PACF图，识别合适的ARMA模型阶数平稳化后的序列记为xₜ=Δyₜ。计算其ACF和PACF值（滞后1-12阶），结果如下：滞后阶数kACF(k)PACF(k)10.320.3220.08-0.0530.020.034-0.01-0.025-12均在±0.12内均在±0.15内根据Box-Jenkins方法，AR(p)模型的PACF在p阶后截尾（即PACF(k)=0，k>p），ACF拖尾；MA(q)模型的ACF在q阶后截尾，PACF拖尾；ARMA(p,q)模型的ACF和PACF均拖尾。观察表中数据：ACF在k=1阶后迅速衰减至接近0（k≥2时ACF(k)绝对值≤0.08），PACF在k=1阶后也无显著非零值（k≥2时PACF(k)绝对值≤0.05）。进一步验证截尾性：对于ACF，k=1阶的ACF值0.32显著异于0（大于1.96/√252≈0.12），k≥2阶的ACF值均未超过置信区间，可认为ACF在1阶截尾；PACF同理，k=1阶PACF值0.32显著，k≥2阶无显著值，PACF也在1阶截尾。但ACF和PACF同时截尾的情况通常对应低阶ARMA模型或特殊情况。结合实际，若ACF和PACF均在1阶截尾，可能为ARMA(1,1)模型，或简化为AR(1)、MA(1)。计算AR(1)、MA(1)、ARMA(1,1)的AIC和BIC准则：AR(1)：AIC=-4.12，BIC=-4.05MA(1)：AIC=-4.08，BIC=-4.01ARMA(1,1)：AIC=-4.15，BIC=-4.06ARMA(1,1)的AIC和BIC均最小，因此选择ARMA(1,1)模型。问题3：估计ARMA(1,1)模型的参数，并写出具体表达式使用极大似然估计法对xₜ=φ₁xₜ₋₁+εₜ+θ₁εₜ₋₁进行参数估计（εₜ~WN(0,σ²)），软件输出结果如下：参数估计值标准误t统计量p值φ₁0.280.093.110.002θ₁-0.450.12-3.75<0.001σ²0.820.05——所有参数的t统计量绝对值均大于2（显著性水平0.05对应的临界值约为1.96），p值均小于0.05，参数显著。因此，模型表达式为：xₜ=0.28xₜ₋₁+εₜ0.45εₜ₋₁，其中εₜ~N(0,0.82)问题4：对估计的ARMA(1,1)模型进行残差诊断，判断是否为白噪声残差诊断需检验残差序列{ˆεₜ}是否满足白噪声条件（无自相关、均值为0、方差恒定）。1.均值检验：残差均值为-0.01，t检验显示p值=0.87（大于0.05），不拒绝均值为0的原假设。2.方差齐性：绘制残差时序图，未观察到明显的异方差（如波动集群现象）；计算残差的滚动方差（窗口50），标准差在0.8-0.9之间波动，无趋势性变化。3.自相关检验：计算残差的ACF和PACF（滞后1-12阶），所有滞后阶数的ACF和PACF值均落入置信区间（±0.12）；进一步使用Ljung-Box检验，原假设H₀：残差序列前m阶无自相关。取m=12，计算Q统计量=10.2，自由度=12-2=10（扣除模型中2个参数），p值=0.42（大于0.05），不拒绝原假设，说明残差无显著自相关。综上，残差序列为白噪声，模型设定合理。问题5：利用估计的模型对2021年1月至3月的工业产值进行预测（假设2020年12月产值为y₂₅₂=158.6，2020年11月为y₂₅₁=155.2）首先，预测平稳化序列xₜ=Δyₜ的未来值，再通过累加得到原始序列yₜ的预测值。平稳化序列的ARMA(1,1)模型为：xₜ=0.28xₜ₋₁+εₜ0.45εₜ₋₁一步预测（2021年1月，t=253）：x̂₂₅₃=E(x₂₅₃|Ω₂₅₂)=0.28x₂₅₂+E(ε₂₅₃|Ω₂₅₂)0.45E(ε₂₅₂|Ω₂₅₂)由于εₜ是白噪声，E(ε₂₅₃|Ω₂₅₂)=0，E(ε₂₅₂|Ω₂₅₂)=0（残差ˆε₂₅₂已知），因此：x̂₂₅₃=0.28x₂₅₂=0.28×(y₂₅₂y₂₅₁)=0.28×(158.6155.2)=0.28×3.4=0.952二步预测（2021年2月，t=254）：x̂₂₅₄=E(x₂₅₄|Ω₂₅₂)=0.28x̂₂₅₃+E(ε₂₅₄|Ω₂₅₂)0.45E(ε₂₅₃|Ω₂₅₂)=0.28×0.952=0.267三步预测（2021年3月，t=255）：x̂₂₅₅=0.28x̂₂₅₄=0.28×0.267≈0.075将平稳化序列的预测值累加得到原始序列的预测值：ŷ₂₅₃=y₂₅₂+x̂₂₅₃=158.6+0.952=159.552ŷ₂₅₄=ŷ₂₅₃+x̂₂₅₄=159.552+0.267=159.819ŷ₂₅₅=ŷ₂₅₄+x̂₂₅₅=159.819+0.075≈159.894问题6：若原序列存在显著的12阶季节性（如春节因素导致1月产值偏低），如何构建SARIMA模型并解释其结构若原始序列yₜ存在12阶季节性（s=12），需通过季节差分消除季节趋势。设d为非季节差分阶数（此处d=1），D为季节差分阶数（通常D=1），则季节差分后的序列为：∇∇₁₂yₜ=(1-L)(1-L¹²)yₜ=yₜyₜ₋₁yₜ₋₁₂+yₜ₋₁₃对季节差分后的序列进行平稳性检验，若已平稳，则构建SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)₁₂模型，其中：p为非季节自回归阶数，q为非季节移动平均阶数；P为季节自回归阶数，Q为季节移动平均阶数。假设季节差分后序列的ACF显示12阶滞后显著（ACF(12)=0.45），PACF(12)=0.38，其他非季节滞后ACF(1)=0.29，PACF(1)=0.25，其余滞后无显著值。则可能的模型为SARIMA(1,1,1)(1,1,1)₁₂，其结构为：(1-φ₁L)(1-Φ₁L¹²)∇∇₁₂yₜ=(1+θ₁L)(1+Θ₁L¹²)εₜ其中，φ₁为非季节自回归系数，Φ₁为季节自回归系数，θ₁为非季节移动平均系数，Θ₁为季节移动平均系数，εₜ为白噪声。该模型同时捕捉了非季节（一阶）和季节（12阶）的自回归与移动平均效应，适用于既有趋势又有年度周期波动的序列。问题7：若原始序列的残差存在异方差（如金融资产收益率的波动集群现象），如何用GARCH模型刻画其波动率对于存在异方差的序列（如股票日收益率rₜ），需分离条件均值和条件方差方程。设均值方程为AR(1)模型：rₜ=μ+φ₁rₜ₋₁+εₜ，εₜ|Ωₜ₋₁~N(0,hₜ)条件方差方程采用GARCH(1,1)模型：hₜ=ω+α₁εₜ₋₁²+β₁hₜ₋₁其中，ω>0（截距项），α₁≥0（ARCH项系数，衡量过去冲击对当前波动率的影响），β₁≥0（GARCH项系数，衡量过去波动率对当前的影响），且α₁+β₁<1（保证方差过程平稳）。假设估计结果为：μ=0.001（p=0.03），φ₁=0.12（p=0.01），ω=0.0002（p=0.04），α₁=0.18（p<0.001），β₁=0.75