2026年应用光学课后习题附答案

2026年应用光学课后习题附答案一、基础概念与几何光学定律1.已知某光学介质对波长550nm的光折射率为1.52，对波长650nm的光折射率为1.50。当一束包含这两种波长的混合光以30°入射角从空气（折射率n₀=1.00）入射到该介质表面时，两种波长的折射角分别为多少？答案：根据折射定律n₀sinθ₀=n₁sinθ₁，对550nm光：sinθ₁=1.00×sin30°/1.52≈0.5/1.52≈0.3289，θ₁≈19.2°；对650nm光：sinθ₁=1.00×sin30°/1.50≈0.5/1.5≈0.3333，θ₁≈19.47°。2.某光纤芯层折射率n₁=1.48，包层折射率n₂=1.45，求该光纤的数值孔径NA及光在芯层与包层界面发生全反射的临界角θc。答案：数值孔径NA=√(n₁²-n₂²)=√(1.48²-1.45²)=√[(1.48-1.45)(1.48+1.45)]=√(0.03×2.93)=√0.0879≈0.296；临界角θc=arcsin(n₂/n₁)=arcsin(1.45/1.48)≈arcsin(0.9797)≈78.2°。3.一凹面镜的曲率半径为40cm，当物体位于镜前15cm处时，求像的位置、性质（实/虚、正/倒、放大/缩小）及横向放大率。答案：凹面镜焦距f=R/2=20cm（符号规则：实物距u=-15cm，f=-20cm）。由1/f=1/u+1/v，代入得1/v=1/f-1/u=1/(-20)-1/(-15)=(-3+4)/60=1/60，故v=60cm（正号表示像在镜前，为实像）。横向放大率β=-v/u=-60/(-15)=4（正号表示正立，绝对值大于1表示放大）。因此，像位于镜前60cm处，实像、正立、放大4倍。二、透镜成像与组合系统4.一双凸透镜的两个球面曲率半径均为30cm，玻璃折射率n=1.52，求其在空气中的焦距。若将该透镜置于折射率n'=1.60的液体中，焦距变为多少？答案：空气中焦距f=1/[(n-1)(1/R₁-1/R₂)]，双凸透镜R₁=30cm，R₂=-30cm（符号规则：凸面朝向物方时R₁为正，另一面R₂为负），故f=1/[(1.52-1)(1/30-1/(-30))]=1/[0.52×(2/30)]=1/(0.52×1/15)=15/0.52≈28.85cm。置于液体中时，相对折射率n_rel=n/n'=1.52/1.60=0.95，焦距f'=1/[(n_rel-1)(1/R₁-1/R₂)]=1/[(0.95-1)(2/30)]=1/[(-0.05)(1/15)]=1/(-1/300)=-300cm（负号表示透镜变为发散）。5.两薄透镜L₁和L₂共轴放置，L₁焦距f₁=+20cm，L₂焦距f₂=-10cm，两透镜间距d=15cm。当物体位于L₁左侧40cm处时，求最终像的位置及横向放大率。答案：第一步，L₁成像：u₁=-40cm，f₁=+20cm，由1/f₁=1/u₁+1/v₁，得1/v₁=1/20-1/(-40)=3/40，v₁=40/3≈13.33cm（像在L₁右侧13.33cm处）。第二步，L₂成像：物距u₂=v₁-d=13.33-15=-1.67cm（虚物），f₂=-10cm，代入1/f₂=1/u₂+1/v₂，得1/v₂=1/(-10)-1/(-1.67)=(-0.1)+0.6≈0.5，v₂=2cm（像在L₂右侧2cm处）。总放大率β=β₁×β₂=(-v₁/u₁)×(-v₂/u₂)=(-13.33/-40)×(-2/-1.67)=0.333×1.2≈0.4。最终像位于L₂右侧2cm处，实像（因v₂>0），正立（β>0），缩小0.4倍。三、像差与光学系统优化6.简述球差产生的原因及减小球差的常用方法。答案：球差是由于球面透镜（或反射镜）的近轴区与边缘区对光线的会聚能力不同引起的。近轴光线焦距较长，边缘光线焦距较短，导致轴上物点发出的宽光束经系统后不能会聚于同一点，形成弥散斑。减小球差的方法包括：①采用非球面透镜，使不同孔径的光线经非球面折射后会聚于同一点；②组合透镜，利用正负透镜的球差互补（如双胶合透镜中，正透镜产生正球差，负透镜产生负球差，适当选择参数可抵消）；③限制光束孔径，使用光阑遮挡边缘光线，但会降低系统通光量。7.某光学系统对钠黄光（λ=589nm）校正了色差，但对氢红光（λ=656nm）和氢蓝光（λ=486nm）仍存在剩余色差。若系统由冕牌玻璃（阿贝数ν₁=60）和火石玻璃（ν₂=30）的双胶合透镜组成，求两透镜的光焦度分配比例（φ₁:φ₂）。答案：消色差条件为φ₁/ν₁+φ₂/ν₂=0。设总光焦度φ=φ₁+φ₂，联立得φ₁=φν₁/(ν₁-ν₂)，φ₂=-φν₂/(ν₁-ν₂)。代入ν₁=60，ν₂=30，得φ₁=φ×60/(60-30)=2φ，φ₂=-φ×30/(60-30)=-φ，故φ₁:φ₂=2φ:(-φ)=-2:1（负号表示两透镜光焦度符号相反）。四、光学仪器原理8.一台生物显微镜的物镜焦距f₁'=4mm，目镜焦距f₂'=25mm，光学筒长Δ=160mm（物镜后焦点到目镜前焦点的距离）。求显微镜的总放大率Γ。答案：显微镜总放大率Γ=-(Δ/f₁')×(250mm/f₂')（250mm为明视距离）。代入数据：Δ=160mm，f₁'=4mm，f₂'=25mm，故Γ=-(160/4)×(250/25)=-40×10=-400×（负号表示倒像）。9.某天文望远镜的物镜焦距f₁'=800mm，目镜焦距f₂'=20mm，视场角2ω=2°。求望远镜的视放大率Γ及目镜的视场角2ω'。答案：视放大率Γ=-f₁'/f₂'=-800/20=-40×（负号表示倒像）。根据视场角关系，Γ=tanω'/tanω（近似小角度时Γ≈ω'/ω），故ω'=Γ×ω=40×1°=40°，视场角2ω'=80°。五、波动光学基础10.波长λ=632.8nm的氦氖激光垂直入射到一衍射光栅上，测得第一级主极大的衍射角为15°，求该光栅的光栅常数d及可能观测到的最高衍射级次k_max。答案：光栅方程dsinθ=kλ，第一级k=1时，d=λ/sinθ=632.8nm/sin15°≈632.8nm/0.2588≈2444nm≈2.44μm。最高级次k_max满足dsin90°=k_maxλ，即k_max=d/λ≈2444/632.8≈3.86，故k_max=3（取整数）。11.一束线偏振光垂直入射到厚度为d的石英波片上，石英对o光和e光的折射率分别为n_o=1.544，n_e=1.553。若要使该波片成为1/4波片（相位差δ=π/2），求d的最小值（λ=550nm）。答案：相位差δ=(2π/λ)(n_e-n_o)d。1/4波片要求δ=π/2，故d=λ/(4(n_e-n_o))=550nm/(4×(1.553-1.544))=550nm/(4×0.009)=550nm/0.036≈15277.8nm≈15.28μm。六、综合应用题12.设计一个用于检测微小位移的迈克尔逊干涉仪系统，已知光源波长λ=532nm，当动镜移动Δd时，观测到干涉条纹移动了N=1000条。求Δd的大小；若系统要求位移检测精度为0.01μm，理论上至少需要分辨多少条干涉条纹？答案：迈克尔逊干涉仪中，动镜移动Δd与条纹移动数N的关系为Δd=Nλ/2。代入数据Δd=1000×532nm/2=266000nm=266μm。检测精度Δd_min=0.01μm=10nm，由Δd_min=N_minλ/2，得N_min=2Δd_min/λ=2×10nm/532nm≈0.0376，理论上需至少分辨1条条纹（因条纹移动1条对应Δd=λ/2≈266nm>0.01μm，实际需提高光源相干长度或采用相位细分技术）。13.某光学系统的物镜口径D=50mm，焦距f'=200mm，求其相对孔径D/f'及瑞利判据下的最小分辨角θ（λ=550nm）。答案：相对孔径=D/f'=50/200=1/4。瑞利判据θ=1.22λ/D=1.22×550nm/50mm=1.22×550×10⁻⁹m/0.05m≈1.34×10⁻⁵rad≈2.76角秒。14.一光纤通信系统中，光源发射波长λ=1550nm的光，光纤芯径2a=10μm，芯层折射率n₁=1.447，包层折射率n₂=1.445。判断该光纤是单模还是多模光纤，并计算其归一化频率V（V=2πa√(n₁²-n₂²)/λ）。答案：单模光纤条件V≤2.405。计算V=2π×5μm×√(1.447²-1.445²)/1550nm=2π×5×10⁻⁶m×√[(1.447-1.445)(1.447+1.445)]/1550×10⁻⁹m=2π×5×10⁻⁶×√(0.002×2.892)/1.55×10⁻⁶≈2π×5×√(0.005784)/1.55≈2π×5×0.076/1.55≈2π×0.38/1.55≈1.53<2.405，故为单模光纤。15.设计一个激光准直系统，要求输出光束的发散角小于0.1mrad（毫弧度），所用激光器的初始发散角为1mrad，光束直径为2mm。需选择怎样的望远镜系统（由物镜和目镜组成）实现准直？答案