2027南方凤凰台5A新考案高考一轮复习全国版数学提高版第45讲　第2课时　圆锥曲线中的最值与范围、证明与探索性问题

第八章第45讲圆锥曲线的综合问题解析几何第2课时圆锥曲线中的最值与范围、证明与探索性问题题型突破·思维拓展目标1最值与范围问题(1)若M是椭圆C上一动点，求|AM|＋|MF2|的最大值；1【解答】

根据题意作草图，易知F1(－1，0)，由椭圆的定义知|MF1|＋|MF2|＝2a＝4，于是|MF2|＝4－|MF1|．在△AMF1中，任意两边之差小于第三边，则|AM|＋|MF2|＝|AM|＋4－|MF1|＝4＋(|AM|－|MF1|)≤4＋|AF1|．(2)过F1作一直线交椭圆C于P，Q两点，试求△PBQ的面积的取值范围．1【解答】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；(2)代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．(1)求椭圆C的标准方程．【解答】(2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足|AP|·|AR|＝3．①

设P(m，n)，求点R的坐标(用m，n表示)；②

设O为坐标原点，Q是椭圆C上的动点，直线OR的斜率是直线OP的斜率的3倍，求|PQ|的最大值．【解答】目标2证明问题2【解答】2(2)在(1)的条件下，M为AP的中点，直线OM交C于点R(其中R在x轴上方)，求证：|OQ|2＋|OR|2＝|OB|2＋|OC|2．【解答】圆锥曲线证明问题的类型及求解策略(1)位置关系方面：如证明直线与曲线相切，直线间的平行、垂直，直线过定点等．(2)数量关系方面：如相等、存在定值、恒成立等等．在熟悉圆锥曲线的定义与性质的前提下，一般采用直接法，通过相关的代数运算证明，有时也可用反证法证明．目标3探索性问题

(2025·汕头一模)已知△APQ的三个顶点都在抛物线y2＝4x上，其中A(1，2).(1)当△APQ是直角三角形且∠A＝90°时，求证：直线PQ过定点．3【解答】当n＝－2m＋1时，Δ≥0，不合题意，所以n＝2m＋5，故直线PQ的方程为x－5＝m(y＋2)，过定点(5，－2)．

(2025·汕头一模)已知△APQ的三个顶点都在抛物线y2＝4x上，其中A(1，2).(2)设直线PQ过点T(5，－2)，是否存在以弦PQ为底边的等腰三角形APQ？若存在，这样的三角形有几个？若不存在，请说明理由．3【解答】存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化．其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．配套精练(1)求椭圆C的方程；【解答】(2)过T(1，0)作两条倾斜角互补的直线，分别交椭圆C在x轴上方部分于D，E两点，求△DTE面积的最大值．【解答】(1)求椭圆C的方程；【解答】(2)过点P(4，0)的直线与C交于A，B两点，N为线段FP的中点，直线NB交直线MF于点Q，求证：AQ⊥y轴．【解答】3．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点到准线的距离为2．(1)求抛物线C的方程；【解答】3．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点到准线的距离为2．(2)过C上一动点P作圆M：(x－4)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，求四边形PAMB面积的最小值．【解答】(1)求椭圆C的标准方程．【解答】