2027南方凤凰台5A新考案高考一轮复习全国版数学提高版第29讲　等比数列及其前n项和

第六章第29讲等比数列及其前n项和数列知识整合·体系建构1．(2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝

(

)A．14

B．12C．6

D．3D2．(2021·全国甲卷)已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn．设甲：q＞0，乙：{Sn}是递增数列，则

(

)A．甲是乙的充分不必要条件

B．甲是乙的必要不充分条件C．甲是乙的充要条件

D．甲是乙的既不充分又不必要条件【解析】

若a1＝－1，q＝1，则Sn＝na1＝－n，{Sn}是递减数列，不满足充分性；若{Sn}是递增数列，则q≠0，且Sn＋1－Sn＝an＋1＝a1qn＞0恒成立，则a1＞0，q＞0，满足必要性．故甲是乙的必要不充分条件．B3．已知等比数列{an}的前n项和Sn＝2λ＋(λ－3)·2n(λ为常数)，则λ＝ (

)A．－2

B．－1C．1

D．2【解析】

因为等比数列{an}的前n项和Sn＝2λ＋(λ－3)·2n(λ为常数)，所以a1＝S1＝2λ＋(λ－3)×2＝4λ－6，a2＝S2－S1＝2λ＋(λ－3)·22－(4λ－6)＝2λ－6，a3＝S3－S2＝2λ＋(λ－3)·23－[2λ＋(λ－3)·22]＝4λ－12．C4．(2025·新高考Ⅰ卷)若一个正项等比数列的前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为_____．【解析】

根据题意可得a1＋a2＋a3＋a4＝4，a5＋a6＋a7＋a8＝68－4＝64，所以a5＋a6＋a7＋a8＝(a1＋a2＋a3＋a4)×q4＝4×q4＝64，解得q＝2(q＝－2舍去)．21．等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项公式为an＝____________，其推导方法是累乘法．2．等比数列的前n项和公式设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝________；当q≠1时，Sn＝_____________________，其推导方法是错位相减法．a1·qn－1na1(5)若an＞0，则{logaan}(a＞0且a≠1)是以logaa1为首项，logaq为公差的等差数列．(6)∀m，p∈N*，Sm＋p＝Sm＋qmSp．(8)等比数列的单调性：当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，{an}是递增数列；当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，{an}是递减数列；当q＝1时，{an}是常数列．4．常用结论(1)等比数列{an}的通项公式可以写成an＝cqn，其中c≠0，q≠0．(2)等比数列{an}的前n项和Sn可以写成Sn＝Aqn－A，其中A≠0，q≠1,0．题型突破·思维拓展目标1等比数列的基本量运算

(1)(2026·肇庆一模)设Sn为正项等比数列{an}的前n项和，若a5＋3a6＝8，a8＋3a9＝64，则S3＝

(

)1【解析】C

(2)(2023·全国甲卷)设等比数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，若a1＝1，S5＝5S3－4，则S4＝

(

)1【解析】

设等比数列{an}的公比为q(q＞0)．方法二：由题知1＋q＋q2＋q3＋q4＝5(1＋q＋q2)－4，即q3＋q4＝4q＋4q2，即q3＋q2－4q－4＝0，即(q－2)(q＋1)(q＋2)＝0．由题知q＞0，所以q＝2，所以S4＝1＋2＋4＋8＝15．C等比数列基本量运算的解题策略(1)等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．(2)运用等比数列的前n项和公式时，一定要讨论公比q＝1的情形，否则会漏解或增解．【解析】【答案】BC目标2等比数列的判定与证明2【解答】2【解答】等比数列的两种常用判定方法【解答】(2)求{an}的通项公式；【解答】【解答】目标3等比数列的性质及其应用视角1

项的性质【解析】3－1A．－4

B．－3 C．3

D．4B【解析】3－1

(2)(2025·苏州期初)(多选)已知数列{an}是等比数列，则 (

)【答案】AB视角2

和的性质

(2025·苏锡常镇二模)已知等比数列{an}的公比q≠－1，前n项和为Sn，则对于∀n∈N*，下列结论一定正确的是

(

)A．Sn＋S3n＝2S2n B．3Sn＋S3n＝2S2n【解析】3－2【答案】D变式3

(2025·赣州二模)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S20＝21，S30＝49，则S10＝ (

)A．－7

B．7 C．63

D．7或63【解析】设等比数列{an}的公比为q，若S10＝63，则S20－S10＝S10q10⇒－42＝63·q10，而q10＞0，显然等式不成立；若S10＝7，则S20－S10＝S10q10⇒14＝7·q10⇒q10＝2＞0，满足题设，所以S10＝7．B1．(2025·南昌一模)已知{an}为等比数列，若a2＋4a4＝4a3，则{an}的公比q＝ (

)【解析】D【解析】A3．(2026·无锡期中)在数列{an}中，a1＝1，若数列{an·an＋1}是公比为2的等比数列，则a1＋a3＋a5＋…＋a19＝ (

)A．2048

B．2047C．1024

D．1023【解析】D4．(2026·保定期中)记Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}是等比数列，乙：{Sn＋2－Sn}是等比数列，则 (

)A．甲是乙的充分不必要条件

B．甲是乙的必要不充分条件C．甲是乙的充要条件

D．甲是乙的既不充分又不必要条件【解析】

先判断充分性：若{an}是等比数列，设其公比为q，首项为a1，可得Sn＋2－Sn＝an＋2＋an＋1＝a1qn＋1＋a1qn＝a1qn(1＋q)，Sn＋3－Sn＋1＝an＋3＋an＋2＝a1qn＋2＋a1qn＋1＝a1qn＋1(1＋q)．当q＝－1时，Sn＋2－Sn＝0，{Sn＋2－Sn}不是等比数列；综上，当{an}是等比数列时，{Sn＋2－Sn}不一定是等比数列，故充分性不成立．【答案】D配套精练A组夯基精练一、单项选择题1．(2025·青岛二测)记等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2＋a3＝6，a1a4＝8，则S4＝

(

)A．15

B．14C．13

D．12【解析】A2．(2023·新高考Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝

(

)A．120

B．85 C．－85

D．－120【解析】当S2＝－1时，由(S6－S4)2＝(S4－S2)·(S8－S6)，解得S8＝－85；C3．(2025·南京盐城一模)已知数列{an}为等比数列，公比为2，且a1＋a2＝3．若ak＋ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋9＝214－24，则正整数k的值是 (

)A．4

B．5C．6

D．7【解析】

因为数列{an}为等比数列，公比为2，且a1＋a2＝3，所以a1＋2a1＝3，解得a1＝1，故an＝2n－1．B4．(2026·武汉期初)已知正方形ABCD的边长为1，取正方形各边的中点A1，B1，C1，D1作第二个正方形A1B1C1D1，然后再取正方形A1B1C1D1各边中点A2，B2，C2，D2作第三个正方形，依此方法一直继续下去，则前11个正方形的面积和为 (

)【解析】【答案】D二、多项选择题5．(2025·新高考Ⅱ卷)

记Sn为等比数列{an}的前n项和，q为{an}的公比，且q＞0．若S3＝7，a3＝1，则 (

)C．S5＝8

D．an＋Sn＝8【解析】【答案】AD6．(2026·宁波一模)已知等比数列{an}满足a1a2＝1，则下列说法正确的是(

)A．若a1＞1，则数列{an}是递减数列B．若0＜a1＜1，则数列{an}是递减数列C．若－1＜a1＜0，则数列{an}是递增数列D．若a1＜－1，则数列{an}是递增数列【解析】【答案】AD7．(2025·泉州二检)设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，{an}的前n项积为Tn．若a10＝1，S10－S7＝7，则

(

)A．数列{log2an}为等差数列 B．a1＝1024C．Sn＜1024 D．Tn的最大值为245【解析】

对于A，设公比为q(q＞0)，因为a10＝1，所以an＝a10·qn－10＝qn－10，故log2an＝log2qn－10＝(n－10)log2q，由log2an＋1－log2an＝log2qn－9－log2qn－10＝log2q为常数，故A正确；【答案】

ACD

【解析】99．(2024·邵阳一模)已知数列{an}的首项为1，anan＋1＝3n(n∈N*)，则a8＝______．【解析】8110．(2026·徐州期中)在各项均为正数的等比数列{an}中，a4a6＝a7，则a5＋16a2的最小值为______．【解析】1211．(2025·厦门二模)

已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＋an＝n＋3．(1)求证：数列{an－1}是等比数列；【解答】11．(2025·厦门二模)

已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＋an＝n＋3．(1)求证：数列{an－1}是等比数列；【解答】因为y＝2x，y＝x－1在[1，＋∞)上为增函数，所以数列{2n＋n－1}为递增数列．又T10＝210＋10－1＝1033＜2026，T11＝211＋11－1＝2058＞2026，所以满足Tn＞2026的最小正整数n的值为11．12．(2025·清远二模)已知数列{an}的首项为a1＝4，且满足an＋1＋an＝6×5n(n∈N*)．(1)求证：{an－5n}是等比数列；【解答】12．(2025·清远二模)已知数列{an}的首项为a1＝4，且满足an＋1＋an＝6×5n(n∈N