2027南方凤凰台5A新考案高考一轮复习全国版数学提高版第42讲　第1课时　椭圆的概念及基本性质

第八章第42讲椭圆解析几何知识整合·体系建构【解析】D【解析】B3．(教材经典题改编)(多选)已知椭圆的焦距是8，离心率等于0.8，则 (

)A．长轴的长为10 B．短半轴的长为6【解析】ACD4．(教材经典题改编)(多选)已知椭圆的方程为16x2＋25y2＝400，则 (

)A．长轴的长为5【解析】C．F(3,0)是一个焦点D．椭圆上存在一点P到两焦点的距离的和等于10BCD【解析】1．椭圆的概念平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做_______.这两个定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫做椭圆的________．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：(1)若_________，则集合P表示椭圆；(2)若_________，则集合P表示线段；(3)若_________，则集合P表示空集．椭圆焦点焦距a＞ca＝ca＜c2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程图形范围－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点标准方程

顶点坐标A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为______；短轴B1B2的长为______焦距|F1F2|＝_______离心率a，b，c的关系______________2a2b2ca2＝b2＋c23．常用结论(3)焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ．第1课时椭圆的概念及基本性质题型突破·思维拓展目标1椭圆的定义及应用1【解析】C【解析】1D

(3)已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，过点A(3，0)，且以坐标轴为对称轴，则该椭圆的标准方程为________________________．【解析】1(2)求椭圆方程的两个基本方法①

定义法：根据椭圆的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置求出椭圆方程．②

待定系数法：先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组．如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)的形式．变式1

(1)(2024·新高考Ⅱ卷)已知曲线C：x2＋y2＝16(y＞0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP′，P′为垂足，则线段PP′的中点M的轨迹方程为 (

)【解析】

设点M(x，y)，P(x，y0)，P′(x,0)，因为M为PP′的中点，所以y0＝2y，即P(x,2y)．A【解析】目标2椭圆的标准方程视角1

最值与范围【解析】2－1A．2

B．3 C．6

D．8C2－1【解析】【答案】A2－1【解析】【答案】B【解析】【答案】B视角2

焦点三角形2－2【解析】【答案】C视角3

离心率【解析】

如图，设|AF2|＝m．因为|AF1|＋|AF2|＝2a，所以|AF1|＝2a－|AF2|＝2a－m．又|BF1|＋|BF2|＝2a，|BF1|＝a，所以|BF2|＝a，所以|AB|＝a＋m．2－3【答案】D

(2)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，若C上存在一点P满足|PF1|2＝19|PF2|2，则C的离心率的取值范围是________________．【解析】2－3(1)求椭圆的离心率的方法：①求出a，c，直接求e；②借助a，b，c之间的关系，构造出a，c的齐次式，通过两边除以a2，进而得到关于e的方程，通过解方程得出离心率e的值．【解析】【答案】C微探究焦点四边形性质1：四边形MF1NF2为平行四边形．性质2：任意两邻边之和为2a，□MF1NF2的周长恒为4a．3【解析】3【解析】【答案】B

双曲线中同样存在类似的结构，相关性质可以类推．1．(2019·全国乙卷)已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为 (

)【解析】

如图，设|F2B|＝n，则|AF2|＝2n，|BF1|＝|AB|＝3n，由椭圆的定义有2a＝|BF1|＋|BF2|＝4n，所以|AF1|＝2a－|AF2|＝2n．【答案】B【解析】C【解析】【答案】B配套精练A组夯基精练一、单项选择题【解析】B【解析】B3．(2026·青岛期初)已知圆M的方程为(x＋1)2＋y2＝16，定点N(1,0)，P为圆M上任意一点，线段NP的垂直平分线与直线MP相交于点Q，则点Q的轨迹方程为 (

)【解析】B【解析】【答案】A二、多项选择题【解析】

如图，依题意，AB，F1F2互相平分，且|AB|＝|F1F2|，则四边形AF1BF2是矩形，令其半焦距为c，对于A，AF1⊥

AF2，A正确；对于B，四边形AF1BF2的周长为|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a，B正确；【答案】ABD

【解析】【答案】BC【解析】【答案】ACD【解析】12【解析】【解析】四、解答题【解答】(1)求椭圆C的离心率；【解答】12．已知椭圆的两焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，直线x＝4是椭圆的一条准线．(1)求椭圆的标准方程；【解答】12．已知椭圆的两焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，直线x＝