2026新教材数学 第二讲 二次函数的性质 教学课件浙教版数学九年级上复习

第二讲二次函数的性质

重点分析：

难点分析：1.二次函数的性质是通过分析函数图象的特征得到的，因此数形结

合、分类讨论思想方法是研究二次函数性质的重要思想方法。二次

函数的图象是一个轴对称图形，它的对称性质在研究函数的图象和

性质时非常有用。2.当二次函数自变量的取值范围是某一确定范围时，二次函数最值的求

法要结合图象和它的增减性来综合考虑：（1）当抛物线的顶点在该范

围内时，顶点的纵坐标就是函数的最值。（2）当抛物线的顶点不在该

范围内时，二次函数的最值在该范围的两端点处取得。实际问题中所建

立的数学模型是二次函数时，所涉及的二次函数最值的求法是先建模后

求解。

已知二次函数y=2（x-3）2+1。下列说法：①图象的开口向下；②

图象的对称轴为直线x=-3；③图象的顶点坐标为（3，-1）；④当x<3

时，y随x的增大而减小。其中说法正确的有（）。A.1个B.2个C.3个D.4个

根据表达式和二次函数的性质逐个判断即可，注意找出对

称轴和顶点这些关键量。

①∵2>0，∴图象的开口向上，故①错误。②图象的对称轴

为直线x=3，故②错误。③图象的顶点坐标为（3，1），故③错误。④

当x<3时，y随x的增大而减小，故④正确。综上所述，说法正确的共1

个。故选A。

本题主要考查了二次函数图象的开口方向、对称轴表达

式、顶点坐标以及函数的增减性，这些都是二次函数的基本性质，需要

熟练掌握。

不定项选择要注意仔细判断每个选项，多选少选都错误，

二次函数的增减性是易错点，要注意结合图象判断。

已知二次函数y=x2-（2m+1）x+m2-1。（1）如果该函数的图象经过原点，请求出m的值及此时图象与x轴的

另一交点的坐标。（2）如果该函数的图象顶点在第四象限，请求出m的取值范围。

（1）当函数图象过原点时，m2-1=0，于是可求出m的

值，进而求出抛物线的表达式，然后根据抛物线的表达式即可得出二次

函数与x轴的另一交点的坐标。（2）先用配方法求出二次函数的顶点坐

标，然后令横坐标大于0，纵坐标小于0即可求出m的取值范围。（3）

将（1）中得出的抛物线顶点的横坐标代入直线的表达式中即可求出平

移后抛物线的顶点坐标，进而求出平移后的表达式。

（1）由题意可知m2-1=0，解得m=1或m=-1。当m=1时，y=x2-3x，二次函数与x轴另一交点的坐标为（3，0）。当m=-1时，y=x2+x，二次函数与x轴另一交点的坐标为（-1，0）。

本题考查二次函数的性质等知识点，将二次函数的表达式

化为顶点式进行求解是解本题的基本思路。

本题将函数表达式配成顶点式或用含m的代数式表示顶点

坐标是易错点，配方及计算过程要仔细，第（3）题要注意分类讨论。

已知函数y=kx2+（2k+1）x+2。（1）求证：无论k取任何实数，函数图象与x轴总有交点。（2）当抛物线y=kx2+（2k+1）x+2的图象与x轴两个交点的横坐标均为

整数，且k为正整数时，此抛物线上的两点P（a，y1），Q（1，y2）

满足y1>y2。请结合函数图象确定实数a的取值范围。

（1）分类讨论：该函数可能是一次函数和二次函数两种

情况，当该函数为二次函数时，Δ≥0，抛物线与x轴总有交点。（2）通

过解kx2+（2k+1）x+2=0得到k=1，由此得到该抛物线表达式为

y=x2+3x+2，结合图象回答问题。

（1）当k=0时，函数为一次函数y=x+2，与x轴交于（-

2，0）；当k≠0时，∵Δ=（2k+1）2-4k×2=（2k-1）2≥0，即Δ≥0，∴函数图象与x轴有交点。综上，无论k取任何实数，函数图象与x轴总有交

点。

本题考查了抛物线与x轴的交点与判别式的关系及二次函

数图象上点的坐标特征，以及利用二次函数的图象确定自变量的取值范

围，数形结合是主要思想方法。

解答（1）题时由于函数类型没有确定所以要注意分类讨

论。

（1）若抛物线经过点（1，k2），求k的值。（2）若抛物线经过点（2k，y1）和点（2，y2），且y1>y2，求k的取值

范围。

（1）把点坐标代入表达式即可。（2）分别把点（2k，

y1）和点（2，y2）代入函数表达式，表示出y1，y2，然后利用条件构造

关于k的不等式，求解即可。（3）根据平移得到新顶点，用含k的代数

式表示出顶点坐标，找到最小值求k。

本题为二次函数综合题，考查二次函数图象的性质及平

移。抛物线的表达式中含有字母系数k，用含k的代数式表示出对称轴

及顶点坐标是解答本题的关键。

含字母系数的二次函数问题，关键在于用字母系数表示顶

点、对称轴等关键元素，要注意二次函数的性质的正确应用。

【福建】已知直线y=2x+m与抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M

（1，0），且a<b。（1）求抛物线顶点Q的坐标（用含a的代数式表示）。（2）说明直线与抛物线有两个交点。（3）直线与抛物线的另一个交点记为N。

②求△QMN面积的最小值。

（1）把点M的坐标代入抛物线的表达式可得到b与a的关

系，可用a表示出抛物线的表达式，化为顶点式可求得其顶点坐标。

（2）由直线表达式可先求得m的值，联立直线与抛物线的表达式，消

去y，可得到关于x的一元二次方程，再判断其判别式大于0即可。（3）①由（2）的方程，可求得点N坐标，利用勾股定理可求得MN2，

利用二次函数性质可求得MN长度的取值范围。②设抛物线对称轴交直

线于点E，则可求得点E坐标，利用S△QMN=S△QEN+S△QEM可用a表示出

△QMN的面积，再整理成关于a的一元二次方程，利用判别式可得其面

积的取值范围，从而求得答案。

（2）∵直线y=2x+m经过点M（1，0），∴0=2×1+m，解得m=-2。联立直线与抛物线的表达式，消去y可得ax2+（a-2）x-2a+2=0（*），∴Δ=（a-2）2-4a（-2a+2）=9a2-12a+4。由（1）知b=-2a，且a<b，∴a<0，b>0。∴9a2>0，-12a>0。∴Δ>0。∴方程（*）有两个不相等的实数根。∴直线与抛物线有两个交点。

②如图，设抛物线对称轴交直线于点E，

∴27a2+（8S-54）a+24=0（**）。∵关于a的方程（**）有实数根，

本题为二次函数的综合应用，涉及函数图象的交点、二次

函数的性质、根的判别式、勾股定理、三角形的面积等知识。在（1）

中由点M的坐标得到b与a的关系是解题的关键，在（2）中联立两函数

表达式，得到关于x的一元二次方程是解题的关键，在（3）中求得点N

的坐标是解题的关键，在最后一小题中用a表示出△QMN的面积是解题

的关键。

本题考查的知识点较多，综合性较强，运算难度较大，每

一步都要认真运算，一步错误便会前功尽弃。

A.

b≥1B.

b≤1C.

b≥-1D.

b≤-1B2.若二次函数y=x2-mx的对称轴是直线x=-3，则关于x的方程x2+mx=7的解是（D）。A.

x1=0，x2=6B.

x1=1，x2=7C.

x1=1，x2=-7D.

x1=-1，x2=7D

A.1个B.2个C.3个D.4个C4.如图，二次函数的图象经过（-2，-1），（1，1）两点，则下列关于

此二次函数的说法正确的是（D）。A.

y的最大值小于0B.当x=0时，y的值大于1C.当x=-1时，y的值大于1D.当x=-3时，y的值小于0D

-1或0

或2128.已知抛物线y1=-x2+mx+n，直线y2=kx+b，y1的对称轴与y2交于点A（-1，5），点A与y1的顶点B的距离是4。（1）求y1的表达式。

（2）若y2随着x的增大而增大，且y1与y2都经过x轴上的同一点，求y2的表达式。

9.【江西】已知抛物线C1：y=ax2-4ax-5（a>0）。（1）当a=1时，求抛物线与x轴的交点坐标及对称轴。【答案】9.

（1）当a=1时，抛物线的表达式为y=x2-4x-5=（x-2）2-9，

∴对称轴为直线x=2。∴当y=0时，x-2=3或-3，即x=-1或5。∴抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0）或（5，0）。（2）①试说明无论a为何值，抛物线C1一定经过两个定点，并求出这

两个定点的坐标。

【答案】（2）①抛物线C1的表达式为y=ax2-4ax-5，整理得y=ax（x-4）-5。∵当ax（x-4）=0时，y恒定为-5，∴抛物线C1一定经过两个定点（0，-5），（4，-5）。

②将抛物线C1沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线C2，直接写出C2的表达式。【答案】②这两个定点连线为y=-5。将抛物线C1沿y=-5翻折，得到抛物

线C2，开口方向变了，但是对称轴没变，∴抛物线C2的表达式为y=-

ax2+4ax-5。（3）若（2）中抛物线C2的顶点到x轴的距离为2，求a的值。

10.【陕西】已知抛物线y=x2-2mx-4（m>0）的顶点M关于坐标原点O的对称点为M'，若点M'在这条抛物线上，则点M的坐（

C）。A.（1，-5）B.（3，-13C.（2，-8）D.（4，-20）C11.【乐山】二次函数y=x2+（a-2）x+3的图象与一次函数y=x

（1≤x≤2）的图象有且仅有一个交点，则实数a的取值范围是

（D）。B.-1≤a<2D12.【淄博】已知抛物线y=x2+2x-3与x轴交于A，B两点（点A在点B的

左侧），将这条抛物线向右平移m（m>0）个单位，平移后的抛物线

与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），若B，C是线段AD的三等

分点，则m的值为

⁠。2或813.已知二次函数y=x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下

表：x…-101234…y…1052125…（1）求该二次函数的表达式。

（2）当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？【答案】（2）∵y=x2-4x+5=（x-2）2+1，∴当x=2时，y有最小值，最小值是1。（3）若A（m，y1），B（m+1，y2）两点都在该函数的图象上，试比较y1与y2的大小。

14.【天津】已知抛物线y=x2+bx-3（b是常数）经过点A（-1，0）。（1）求该抛物线的表达式和顶点坐标。【答案】14.

（1）∵抛物线y=x2+bx-3经过点A（-1，0），∴0=1-b-3，解得b=-2。∴抛物线的表达式为y=x2-2x-3。∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4，∴抛物线顶点坐标为（1，-4）。（2）P（m，t）为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为P'。①当点P'落在该抛物线上时，求m的值。

②当点P'落在第二象限内，P'A2取得最小值时，求m的值。

15.如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，-2），点B的坐标

为（3，-1），二次函数y=-x2的图象为l1。（1）平移抛物线l1，使平移后的抛物线过点A，但不过点B，写出平移

后的抛物线的一个表达式（任写一个即可）。【答案】15.

（1）令平移后的抛物线为y=-x2+bx+c，把点A的坐标代入

计算，得到b+c=-1，不过点B，则把点B的坐标代入得到3b+c≠8。故

平移后的抛物线的一个表达式为y=-x2+2x-3（满足条件即可）。（2）平移抛物线l1，使平移后的抛物线过A，B两点，记抛物线为l2，

如图2，求抛物线l2的函数表达式及顶点C的坐标。

（3）在（2）的条件下，设P为y轴上一点，且S△ABC=S△ABP，求点P的

坐标。

（4）请在图2上用尺规作图的方式探究抛物线l2上是否存在点Q，使

△QAB为等腰三角形？若存在，请判断点Q共有几个可能的位置（保留

作图痕迹）；若不存在，请说明理由。【答案】（4）作图痕迹如图2所示。若AB为等腰三角形的腰，则分别以A，B为圆心，以AB长为半径画圆，分别交抛物线于Q1，Q2；若AB为等腰三角形的底边，则作AB的垂直平分线，分别交抛物线于Q3，Q4，由图可知，满足条件的点有Q1，Q2，Q3，Q4，共4个可能的位置。

1.【眉山】若一次函数y=（a+1）x+a的图象经过第一、三、四象限，

则二次函数y=ax2-ax（B）。B

C3.【泸州】已知二次函数y=ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），当

x≥2时，y随x的增大而增大，且-2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为

（D）。A.1或-2D.1

D

或-

3<a<-25.【荆州】已知关于x的一元二次方程x2+（k-5）x+1-k=0，其中k为

常数。（1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根。【答案