函数的基本性质

函数单调性与奇偶性的应用

一、知识结构

定义

函数的基本性质单调性的判断方法

单调性的应用

函数的基本性质定义

奇偶性的判断方法

奇偶性奇偶性的应用

单调性与奇偶性的综合应用

典例分析

例1.定义在R上的偶函数出)满足：对任意〜，X2C(-8,。]区HX1都

有区-*2)七区)-4)]>0,则比较式-2),f⑴，f⑶的大小关系。

例2.已知函数f(x)=产+x2,x2°,若f(_a)+f(a)W2⑴，则实数a的取值

e-514-x2,x<0

范围是()

A.(―oo,—l]UB.[―l,o]C.[o,l]D.[―1,1]

例3.设f(x)是定义在[-3,3]上的偶函数，当0«x<3时，f(x)单调递减，若

f(l-2m)<f(m)成立，求m的取值范围。

三、对点练习

【比较大小】

1.已知函数六外是区间他,内)上的减函数，那么-a+1)与f]，的大小关

系O

2.设函数“X)满足当X1,X2e(-8,2)时，都有(X1-X2)•[f(x)-f(x2)]>0,且

f(x+2)是偶函数，则f(-l)与f(3)的大小关系是。

【解不等式】

3.函数f(x)在R上为减函数，且f(3a)<f(-2a+10),则实数a的取值范围

是。

4.设定义在［-2,2］上的奇函数,(x)在区间［0,2］上单调递减，若尸(而+，(m

-1)>0,求实数m的取值范围.

5.已知函数f(x)=卜2+"X'X之°,若式2-@2)>f(a)成立，则实数a的取值范

4x-x,x<0

国是()

A.(—8,—1)U(2,+co)B.(—1,2)C.(―2,1)D.(―8,—2)U(l,+°o)

6.设函数f(x)=ln(l+忖)--二"，则使得f(x)>f(2x-1)成立的取值范围是

U(L+8)—00,--------,+00

3

7.已知f(x)是定义在［a-1,2a］上的偶函数，当x>0时，f(x)单调递增，则关

于x的不等式f(x-1)>f(a)的解集为()

4F12

3句

2」

3~3D.随a的值而变化

8.定义在R上的偶函数f(x)在［0,23)上是增函数，且不等式f(x-a)Wf(x)对任

意恒成立，求实数a的取值范围

四、课堂小结：抽象函数或函数解析式比较复杂时，我们先考察函数的单调性

和对称性，利用性质达到自变量与函数值之间的转化。

五、易错点归纳：

(1)不会用函数的单调性与奇偶性解决问题；

(2)忽略变量范围出错。

备用拓展题：

的图象关于原点对称.

2X+2T

(1)求实数a的值；

(2)用定义法判断函数在上的单调性；

(3)若存在xG[-3,1],使得不等式f(4x)+f(x2-m)<0成立，求实数m的取值范

围

参考答案：

1.f(a2-a+1)>©J

2.f(-l)<f(3)

3.(2,+co)

4.-1W欣

2

5.C

6.B

7.B

8<0<a<1

拓展题：(1)a=-2

⑵略

(3)m>T

函数单调性与奇偶性的应用

三、知识结构

定义

函数的基本性质单调性的判断方法

单调性的应用

函数的基本性质定义

奇偶性的判断方法

奇偶性奇偶性的应用

单调性与奇偶性的综合应用

四、典例分析

例1.定义在R上的偶函数曲)满足：对任意X2C(-8,。]区HX1都

有区—2)小区)-散2)]>0,则比较「(-2),f⑴，f⑶的大小关系。

答案：f(3)<f(-2)<f(l)

例2.已知函数F(x)=产+x1x2°,若式-a)+f(a)<2⑴，则实数a的取值

e-x+x",x<0

范围是()

A.(―oo,—l]U[i,+°o)B.[―l,o]C.[o,l]D.[―1,1]

答案：D

例3.设f(x)是定义在[-3,3]上的偶函数，当OKXV3时，f(x)单调递减，若

f(l-2m)<f(m)成立，求6的取值范围。

答案:

三、对点练习

【比较大小】

1.已知函数W)是区间如8)上的减函数，那么fd-a+1)与彳力的大小关

系O

答案：f(cl2-cl+1)>fl-

⑷

2.设函数Hx)满足当XJ.XJ,€(-8,2)时,都有(X[-X。*[f(x))-f(xj]>0,且

f(x+2)是偶函数，则f(-l)与f(3)的大小关系是。

答案：f(-l)<f(3)

【解不等式】

3.函数f(x)在R上为减函数，且f(3a)<f(-2a+10),则实数a的取值范围

是O

答案:(2,+oo)

4.设定义在［-2,2］上的奇函数2(x)在区间［0,2］上单调递减，若尸(向+f(m

-1)>0,求实数m的取值范围.

答案：一1W欣i

2

5.已知函数f(x)=F+4?x2°,若£(2-a2)>f(a)成立，则实数a的取值范

4x-x2,x<0

围是()

A.(―oo,—l)U(2,+co)B.(—1,2)C.(—2,1)D.(―oo,—2)U(1,+℃>)

答案：C

6.设函数f(x)=ln(l+忖),则使得f(x)>f(2x-1)成立的取值范围是

()

一8,；)u(l,+8)B.11

A.C.D.—003,-J----U--3

33

答案：B

7.已知f(x)是定义在［a-1,2a］上的偶函数,当x>0时，f(x)单调递增，则关

于x的不等式f(x-D>的)的解集为()

45"]_2)

A.B.

5Q3U黄

C.U3-,+^iD.随a的值而变化

IJJ」L6J

答案：B

8.定义在R上的偶函数f(x)在[。，物)上是增函数，且不等式f(x-a)Wf(x)对任

意xt卜」]恒成立，求实数a的取值范围

2

答案：0WaW1

四、课堂小结：抽象函数或函数解析式比较复杂时，我们先考察函数的单调性

和对称性，利用性质达到自变量与函数值之间的转化。

五、易错点归纳：

(1)不会用函数的单调性