第4章动态数列（课件）-《应用统计学》同步教学（电工版）

第4章动态序列

《应用统计学》

4.1动态数列概述

4.2动态数列水平分析指标

4.3动态数列速度分析指标

4.4长期趋势的测定与预测

4.5季节变动的测定与预测测定与预测

4.6用Stata软件进行长期趋势的测定六节用Stata软

件进行长期趋势的测定

第4章动态序列

《应用统计学》本章教学目的

通过学习掌握动态数列的含义、分类、编制原则；

掌握发展水平、增长量、发展速度及其平均值的计算；

熟悉动态数列各指标间的关系；

掌握长期趋势的测定方法；

了解季节变动的测定方法及预测方法；

掌握利用Stata软件进行长期趋势测定的操作方法。

第4章动态序列

《应用统计学》本章重点和难点

动态数列的含义及作用；

动态数列的分类；

动态数。列。的编制原则

第4章4.1动态数列概述

《应用统计学》4.1.1动态数列的含义及作用

动态数列是指以时间顺序为基础，对某一对象的观测值进行

有序排列，从而形成的数据集合。由于动态数列与时间这一特定

指标息息相关，所以，动态数列又可以称为时间数列。动态数列

包含两个基本要素，一个是取得相关数据的时间(常用t表示)，另

一个是相关数据本身的具体数值(常用y表示)。举例如表4-1所示。

第4章4.1动态数列概述

《应用统计学》4.1.1动态数列的含义及作用

表4-1某学校2020年1—6月各阶段毕业年级网络教学测试平均成绩

月份小学部初中部高中部

188.382.078.6

289.983.580.1

390.689.680.5

492.185.482.7

594.088.785.6

694.390.385.0

第4章4.1动态数列概述

《应用统计学》4.1.1动态数列的含义及作用

在表4-1中，2020年1—6月某学校的小学部、初中部、高中部的月网

络教学测试平均成绩数值，构成了三个动态数列，其中1—6月就是时间要

素t，而各阶段毕业生每月平均成绩的具体数值就是统计数据y。

由此可见，动态数列的研究具有重要作用和意义。首先，通过编制相

关动态数列，可以了解相关现象发展的现状和趋势；其次，通过动态数列

的研究可以了解相关现象发展的趋势及速度；最后，通过动态数列的研究

可以对某一现象的发展进行一定程度的预测。

第4章4.1动态数列概述

《应用统计学》4.1.2动态数列的分类

动态数列指标根据性质或表现形式的不同可以分为总量指标(绝对数)动

态数列、相对指标(相对数)动态数列和平均指标(平均数)动态数列三种。三

者之间的关系是以总量指标动态数列为主，相对指标动态数列和平均指标动态

数列则是在总量指标动态数列基础上的一种衍生。举例如表4-2所示。

国内生产总值年末全国人口女性人口比重城镇居民人均

年份

(亿元)(万人)(%)可支配收入(元)

2010412119.313409148.7319109

2011487940.213473548.7421810

2012538580.013540448.7524565

2013592963.213607248.7626467

2014643563.113678248.7728844

2015688858.213746248.7831195

2016746395.113827148.7933616

2017832035.913900848.8336396

2018919281.113953848.8739251

2019986515.214000548.9142359

第4章4.1动态数列概述

《应用统计学》4.1.2动态数列的分类

1．总量指标(绝对数)动态数列

总量指标动态数列又称绝对数动态数列，是指按照时间顺序将某一总量指

标进行排列后所形成的动态数列。该指标反映的是某现象在各时间上达到的绝

对水平及变化情况。

例如，表4-2中国内生产总值和年末全国人口两个动态数列就属于总量指

标(绝对数)动态数列。它们是计算相关相对指标(相对数)动态数列和平均指标

(平均数)动态数列与动态分析的基础。在此基础上，由于时间要素的特征存在

差异，总量指标(绝对数)动态数列又可以分为时期数列与时点数列两类。

第4章4.1动态数列概述

《应用统计学》4.1.2动态数列的分类

(1)时期数列。

在总量指标(绝对数)动态数列中，如果时间要素以“时间段”为指标，

则计算的是在这一时间段中某种现象的总量，这种总量指标(绝对数)动态

数列就是时期数列。

例如，在表4-2中，2010—2019年国内生产总值动态数列就属于时期

数列，其中每项数据对应的都是相应年份内的国内生产总值经济指标。时

期数列具备以下特征。

第4章4.1动态数列概述

《应用统计学》4.1.2动态数列的分类

②时期数列中每个指标数值大小与对应时期的长短成正比，即时期越

长，其对应的指标数值越大，个别情境下也会出现不变的情况。例如，在

表4-2中，2010—2019年每年的国内生产总值都远远小于十年相加之和。

而具体时期长短的选择取决于研究的目的，一般常用的单位包括日、旬、

月、季、年等。

③时期数列中的数值一般是通过连续不断的记录所取得的。这也在一

定程度上决定了特征①，保证了数值相加的经济学意义。

第4章4.1动态数列概述

《应用统计学》4.1.2动态数列的分类

①时期数列各指标数值可相加，且具有经济学意义。原因在于，时期

数列中的每个数值表示相应时间段的指标总量，且数列中相应时间段连续，

将几个连续时间段的数值相加等于得到了相应更长时间段内的指标总量。

例如，表4-2中的国内生产总值动态数列，将2010—2019年对应的国

内生产总值数据相加后得到6848251.3亿元，表示从2010—2019年十年

间的国内生产总值为684851.3亿元，即由10个时期合并为1个时期。

第4章4.1动态数列概述

《应用统计学》4.1.2动态数列的分类

(2)时点数列。

在总量指标(绝对数)动态数列中，如果时间要素是以“时间点”为指

标，则计算的是在某一特定时间点上某种现象的数量，这种总量指标(绝对

数)动态数列就是时点数列。

例如，表4-2中的2010—2019年年末全国人口动态数列就属于时点数

列，其中每项数据对应的都是相应年份年底最后时刻全国人口数量指标。

第4章4.1动态数列概述

《应用统计学》4.1.2动态数列的分类

时点数列具备以下特征。

①时点数列各指标数值不可相加，且相加不具有经济学意义。

②时点数列中每个指标数值大小与对应时期的长短无直接关系，即时

期长短，不影响其对应的指标数值大小。

③时点数列中的数值一般是通过一定时期记录一次的方式取得的。

第4章4.1动态数列概述

《应用统计学》4.1.2动态数列的分类

(3)时期数列与时点数列的主要差异。

①时期数列各数值可相加，且具有经济学意义，而时点数列则不能。

②时期数列中每个指标数值大小与对应时期的长短有关，而时点数

列则没有。

③时期数列各指标数值通过连续记录取得，而时点数列则是通过间

断记录取得的。

第4章4.1动态数列概述

《应用统计学》4.1.2动态数列的分类

2．相对指标(相对数)动态数列

相对指标动态数列又称相对数动态数列，是指按照时间顺序将某一相

对指标进行排列后所形成的动态数列。它反映某现象在另一现象的基础上

表现出的相对变化情况，说明某种社会(经济)现象的对比关系、结构形式

和发展速度的变化过程。

例如，在表4-2中，2010—2019年全国女性人口比重就属于相对指标

(相对数)动态数列。这一数列形式的特征与时点数列相似，即各指标数值

不能相加，且相加无经济学意义。

第4章4.1动态数列概述

《应用统计学》4.1.2动态数列的分类

3．平均指标(平均数)动态数列

平均指标动态数列又称平均数动态数列，是指按照时间顺序将某一平

均指标进行排列后所形成的动态数列。它反映某现象在一定时期内的平均

变化情况，说明某种社会(经济)现象的一般发展趋势。

例如，在表4-2中，2010—2019年城镇居民人均可支配收入就属于平

均指标(相对数)动态数列。这一数列形式的特征也与时点数列相似，即各

指标数值不能相加，且相加无经济学意义。但在计算序时平均数时，需要

将其相加进行计算。

一般情况下，在进行相关紧急现象分析时，常将上述各动态数列组合

使用，使分析结果更加全面及可信。

第4章4.1动态数列概述

《应用统计学》4.1.3动态数列的编制原则

1.时期长短的一致性

因为作为动态数列的时期数列，其特征之一是每个指标数值大

小与对应时期的长短成正比，即时期长短直接影响相应数值的大小，

而一旦时期长短不一致，就会导致相应数据无法直接进行比较，所

以一般情况下要求动态数列中时期长短应保持一致。而就时点数列

来说，虽然其数值大小不受时期长短的影响，但为了便于比较，同

时也为了便于找出现象发展的规律，原则上也要求时点数列的时间

间隔保持一致。

第4章4.1动态数列概述

《应用统计学》4.1.3动态数列的编制原则

2．总体范围的一致性

除时间要素影响动态数列相关数据以外，动态数列的取值范围也直接影

响动态数列相关数据的大小。例如，研究某一城市的经济发展情况，前提是

这一城市的行政区域无变化，因为行政区域一旦改变，其经济规模和形式等

就会发生改变，造成前后数据的不可比，而需要通过一定的调整，统一总体

范围后，才能进行对比。

第4章4.1动态数列概述

《应用统计学》4.1.3动态数列的编制原则

3．指标内容的一致性

动态数列各指标数值，必须统一在同一含义或者内容的范畴内，才具有

可比性。而不同内容及含义的指标，则不能编制在同一动态数列内。同时应注

意，同一指标所处的环境和背景，在不同环境和背景下同一指标也会呈现出不

同含义，致使可比性缺失。例如，私营企业与国营企业的经济内容存在一定差

异，在很多时候不能单纯地将二者进行混合，进而以动态数列的形式来比较。

第4章4.1动态数列概述

《应用统计学》4.1.3动态数列的编制原则

4．计算口径的一致性

对于同一动态数列而言，在进行比较分析时，保证计算方法、计量

单位等计算口径的一致性，也是保证比较结果科学有效的前提。例如，在

研究某企业产品合格率变化问题时，如果各时期的计算口径不一致，有的

按合格品数量计算，有的按不合格品数量计算，有的按合格品率计算，有

的按不合格品率计算。这样，各指标之间就失去了可比性，从而无法形成

有效的动态数列，更无法通过比较说明该企业的产品合格率变化问题。

第4章4.2动态数列水平分析指标

《应用统计学》

4.2.1发展水平

4.2.2平均发展水平

4.2.3增长量与平均增长量

第4章4.2动态数列水平分析指标

《应用统计学》4.2.1发展水平

n在动态数列中，以时间顺序排列的各项具体指标的数值称为发展水平，或

者动态数列水平，常用a0，a1，a2，…，an表示。

n发展水平既可以是总量指标，如国内生产总值、年末全国人口数等；也可

以是相对指标，如女性人口比重等；还可以是平均指标，如城镇居民人均可支

配收入等。在动态数列中处于首位的指标数值称为最初水平，一般用a0表示，

处于末位的指标数值称为最末水平，一般用an表示，而其余各指标数值称为中

间水平。如果要比较动态数列中两个时间的发展水平，作为被对比时期的指标

水平称为基础水平，作为对比时期的指标水平称为报告期水平或计算期水平。

第4章4.2动态数列水平分析指标

《应用统计学》4.2.1发展水平

如表4-3所示，2020年下半年我国手机产量的最初水平为7月的12

225.8万台，而12月的16495.5万台为最末水平，其余各数值为中间水平。

如果用符号表示，则7—12月分别用a0，a1，…，a5表示。如果将12月的手

机产量与7月的手机产量进行对比，那么7月的手机产量就是基础水平，而12

月的手机产量就是报告期水平或计算期水平。

月份7月8月9月10月11月12月

产量12225.813120.114877.813101.314966.316495.5

第4章4.2动态数列水平分析指标

《应用统计学》4.2.2平均发展水平

平均发展水平是指将动态数列中不同时期的发展水平加以平均

而得到的平均数，反映的是某一现象在某一时间段内的一般发展水

平。

要注意的是，平均发展水平与一般平均数存在着一定的差异，

主要表现在以下方面。

第4章4.2动态数列水平分析指标

《应用统计学》4.2.2平均发展水平

①平均发展水平是某一现象在不同时期中发展水平的平均数，是某一

现象总体在不同时期上的数量表现，是从动态上说明其在某一时期内发展的

一般水平；而一般平均数是同类型总体各单位同一时间的变量值的平均，用

以反映总体在具体历史条件下的一般水平。

②平均发展水平是根据动态数列计算出的某一现象在不同时间上数值

差异的抽象化，而一般平均数是根据分配数列计算出的同一时间总体某一数

量标志值差异的抽象化。

第4章4.2动态数列水平分析指标

《应用统计学》4.2.2平均发展水平

需要特别指出，平均发展水平在解决某些动态数列的可比性问题上具有

特定优势。例如，由于各自然月的天数不同，会造成企业每月产品生产总量

的差异，如果通过计算各月的平均日产量指标来进行比较，则各数值就具备

了可比性，且更能反映出产品产量的发展变化情况。

平均发展水平(序时平均数)的计算既可以根据绝对指标(绝对数)动态数

列来计算，也可以根据相对指标(相对数)动态数列和平均指标(平均数)动态

数列来计算。

第4章4.2动态数列水平分析指标

《应用统计学》4.2.2平均发展水平

1．总量指标动态数列平均发展水平计算

总量指标动态数列可以理解为绝对指标(绝对数)动态数列，而其平均发

展水平的计算也是基于绝对指标(绝对数)动态数列来展开的。由于绝对指标

动态数列又分为时期数列与时点数列两类，所以其具体计算方法也存在着一

定的差别。

(1)用时期数列计算平均发展水平(序时平均数)。

由于时期数列中各项指标数值之和等于全部时期的总量，因此，用时期

数列计算序时平均数时，通过简单的加和后计算平均数即可。具体计算公式

为：

aaaaa

a12n1n

nn

第4章4.2动态数列水平分析指标

《应用统计学》4.2.2平均发展水平

(2)用时点数列计算平均发展水平。

由于时点数列本身的复杂性，需要将时点数列分为连续时点数列和间

断时点数列。这里的连续时点数列意味着任意相邻两个指数的时间间隔相

同，即计数的频率相同，在实际社会经济统计中一般以“一天”作为最小

的时间单位。而在实际生活中，并非所有现象都能够保持相同时间间隔统

计，那这些并非按照相同时间间隔统计的指标数值，称为间断时点数列。

第4章4.2动态数列水平分析指标

《应用统计学》4.2.2平均发展水平

①用连续时点数列计算平均发展水平。

在连续时点数列中，有连续变动和非连续变动两种情况。

A.用连续变动的连续时点数列计算平均发展水平。

如果连续时点数列每日的指标数值都有变动，则该数列被称为连续变

动的连续时点数列。其计算方法与用时期数列计算平均发展水平的公式相

似。具体计算公式为：

a

a

n

第4章4.2动态数列水平分析指标

《应用统计学》4.2.2平均发展水平

B.用非连续变动的连续时点数列计算平均发展水平。

如果连续时点数列并非每日的指标数值都有变动，而是间隔几天变动

一次，则该数列被称为非连续变动的连续时点数列。其计算需采用加权算

术平均法来计算。具体计算公式为：

af

a

f

第4章4.2动态数列水平分析指标

《应用统计学》4.2.2平均发展水平

②用间断时点数列计算平均发展水平。

在间断时点数列中，有间隔相等和间隔不等两种情况。

A.用间隔相等的间断时点数列计算平均发展水平。

在实际工作中，为了简化登记手续，对具有时点性质的指标往往采取

每隔一段时间登记一次的做法，如销售企业中商品的库存、流动资金占用

额等，这些指标只需统计月末数字即可，这就组成了间隔相等的间断时点

数列。对这类数列，采用简单算术平均法计算平均发展水平即可。

第4章4.2动态数列水平分析指标

《应用统计学》4.2.2平均发展水平

B.用间隔不等的间断时点数列计算平均发展水平。

在时点数列中，当相邻两个时间间隔不等时，计算其平均发展水平需

计算各时期发展水平后乘以相应加权系数再加和，最后求总体平均数，即

为总体平均发展水平。具体计算公式为：

a1a2a2a3an1an

f1f2fn1

a222

f

第4章4.2动态数列水平分析指标

《应用统计学》4.2.2平均发展水平

2．相对指标或平均指标动态数列平均发展水平计算

由于相对指标或平均指标动态数列的各项指标都是由两个总量指标对比计算出来

的，属于派生数列，所以对这类数列进行发展水平计算不能根据数列中各发展水平直

接计算，应先分别计算分子数列与分母数列的平均发展水平，再通过对比求得最终结

果。具体计算公式为：

a

c

b

式中，c表示相对指标或平均指标的平均发展水平；b表示分子数列发展水平；a

表示分母数列平均发展水平。就分子与分母数列来说，既可以是时期数列，也可以是

时点数列。

第4章4.2动态数列水平分析指标

《应用统计学》4.2.2平均发展水平

(1)用两个时期数列对比而成的相对数或平均数动态数列计算平均发

展水平。

(2)用两个时点数列对比而成的相对数或平均数动态数列计算平均发

展水平。

①间隔相等的时点数列。

aa

1an

2aa

221an

a2

其公式为：cn122

bbbnbbn

1b1b

222222

n1

第4章4.2动态数列水平分析指标

《应用统计学》4.2.2平均发展水平

②间隔不等的时点数列。

这里需要先计算分子与分母各自的加权平均数，然后再进行比较。其公

式为：

a1a2a2a3an1an

f1f2fn1f

a222

c

bb1b2b2b3bn1bn

f1f2fn1f

222

(3)用一个时点数列和一个时期数列对比而成的相对数或平均数动态数

列计算平均发展水平。

第4章4.2动态数列水平分析指标

《应用统计学》4.2.2平均发展水平

根据表4-8，计算某企业2020年第四季度平均月劳动生产率。

表4-8某企业2020年第四季度月劳动生产率

月份9月30日10月31日11月30日12月31日

总产量(台)5320548055905760

月末职工人数

230234240242

(人)

劳动生产率

23.123.423.323.8

(台/人)

解：由表4-8可知，总产量动态数列为时期数列，职

工人数动态数列是间隔相等间断时点数列，则平均月

劳动生产率为：

即该企业的平均月劳动生产率约为23.7台/人。

第4章4.2动态数列水平分析指标

《应用统计学》4.2.3增长量与平均增长量

n1．增长量

n增长量是说明社会经济现象在一定时期内所增长的绝对数量，它取决于报

告期水平和基期水平之差，反映的是基期水平的增长情况。其公式为：

增长量报告期水平基期水平

n由于基期性质的不同，增长量可分为逐期增长量和累计增长量。

n逐期增长量是指报告期水平与前一期水平之差，报告期前一期水平相当于当

前报告期水平的基期，它表明本期比上一期增长的绝对数量。其公式为：

n逐期增长量：

a1a0，a2a1，，anan1

第4章4.2动态数列水平分析指标

《应用统计学》4.2.3增长量与平均增长量

累计增长量是指报告期水平与最初期水平或某一固定时期水平之差，最

初期水平或某一固定时期水平相当于当前报告期水平的基期，它表明本期比

最初期水平或某一固定时期水平增长的绝对数量。其公式为：

累计增长量：a1a0，a2a0，，ana0

逐期增长量与累计增长量之间的关系是累计增长量等于各逐期增长量之

和，即

(a1a0)(a2a1)(anan1)(ana0)

第4章4.2动态数列水平分析指标

《应用统计学》4.2.3增长量与平均增长量

2．平均增长量

平均增长量是说明在一定时期内某一经济现象的平均每期增长数量，是各

逐期增长量的平均数。它既可以由逐期增长量求得，也可以由累计增长量求得，

其公式为：

逐期增长量之和累积增长量

平均增长量

逐期增长量个数动态数列项数1

第4章4.2动态数列水平分析指标

《应用统计学》4.2.3增长量与平均增长量

根据表4-9，计算某企业2020年四个季度平均生产增长

量。表4-9某企业2020年各季度产量表

单位：台

季度一季度二季度三季度四季度

总产量5320548055905760

逐季增长量―160110170

解：

累计增长量0160270440

或

即该企业2020年四个季度平均生产增长量约为146.7

台。

第4章4.3动态数列水平分析指标

《应用统计学》

动态数列的速度分析指标是反应某一现象在某段时间内发展变化快慢程度

的指标，主要包含发展速度、平均发展速度、增长速度与平均增长速度四种，

且四者间具有高度关联性，其中以发展速度作为基本分析指标。

4.3.1发展速度与平均发展速度

4.3.2增长速度与平均增长速度

4.3.3计算和运算速度相关指标应注意的问题

第4章4.3动态数列速度分析指标

《应用统计学》4.3.1发展速度与平均发展速度

n1．发展速度

n发展速度是描述现象发展程度的相对指标，其计算结果是报告期水平

与基期水平的比值，一般以百分数或倍数形式表示。其公式为：

报告期水平报告期水平

发展速度或100%

基期水平基期水平

n而根据基期的不同，又把发展速度分为定基发展速度和环比发展速度

两类。

第4章4.3动态数列水平分析指标

《应用统计学》4.3.1发展速度与平均发展速度

(1)定基发展速度。

定基发展速度指以最初时期或某一固定时期水平作为基期，以报告期水平

与基期的比值来解释现象在总的观察期内的发展变化程度，因此也被称为“总

速度”。其公式为：aaa

定基发展速度1，2，，n

a0a0a0

式中，an表示报告期水平；a0表示最初(固定)时期水平。

第4章4.3动态数列水平分析指标

《应用统计学》4.3.1发展速度与平均发展速度

(2)环比发展速度

环比发展速度指以上一时期水平作为基期，以报告期水平与基期的比值

来解释现象逐期的发展变化程度。其公式为：

aaa

环比发展速度1，2，，n

a0a1an1

式中，an表示报告期水平；an1表示报告期前一时期水平。

定基发展速度与环比发展速度具有一定的关联，具体表现在以下两点。

第4章4.3动态数列水平分析指标

《应用统计学》4.3.1发展速度与平均发展速度

①定基发展速度等于该时期内环比发展速度的连乘积。即

aaaa

n12n

a0a0a1an1

②两个相邻定基发展速度的比值等于这两个时期的环比发展速度。即

aaa

nn1n

a0a0an1

根据上述关系，可以进行速度的相互推算。

第4章4.3动态数列水平分析指标

《应用统计学》4.3.1发展速度与平均发展速度

2．平均发展速度

平均发展速度是各期环比发展速度的序时平均数，说明某现象在一定时

期内的平均发展变化程度。就其计算方法而言，主要分为几何平均法和方程

法，这里主要介绍几何平均法。

计算平均发展速度时，因为总速度不能通过各期环比发展速度求和来获

得，而是通过各期环比发展速度的连乘积而获得，所以我们不能采用简单的

算术平均法，而要采用几何平均法来计算。其公式为：

a1a2anan

Xnn

a0a1an1a0

式中，X表示平均发展速度；n表示环比发展速度的个数，它由观

察数据项数减1获得。

第4章4.3动态数列水平分析指标

《应用统计学》4.3.2增长速度与平均增长速度

n1．增长速度

n增长速度是表明现象增长程度的相对指标，是增长量与相对水平之比。

它既可以根据增长量求得，也可以根据发展速度求得。其公式为：

增长量报告期水平基期水平

增长速度100%100%发展速度1

基期水平基期水平

n而根据基期的不同，仍需把增长速度分为定基增长速度和环比增长速度

两类。定基增长速度是累计增长量与某一固定时期水平之比，反映现象在较

长时期内总的增长程度。环比增长速度是逐期增长量与前一期水平之比，反

映现象逐期的增长程度。而二者本身无法进行互相换算。

第4章4.3动态数列水平分析指标

《应用统计学》4.3.2增长速度与平均增长速度

2．平均增长速度

平均增长速度是各期环比增长速度的平均发展水平，说明现象在一定时期内逐期平

均增长的变化程度。而根据增长速度与发展速度之间的运算关系，其公式为：

平均增长速度平均发展速度1或100%

由公式可以看出，增长速度的正负仍取决于发展速度是大于1还是小于1，当发展速

度大于1时，增长速度为正，说明某现象在一个较长时期内逐期平均递增，将该速度称

为平均递增速度或平均递增率；而当发展速度小于1时，增长速度为负，说明某现象在

一个较长时期内逐期平均递减，将该速度称为平均递减速度或平均递减率。

第4章4.3动态数列水平分析指标

《应用统计学》4.3.3计算和运用速度相关指标应注意的问题

(1)当动态数列的组成中有0或者负数出现时，不应直接计算速度。因

为对这类动态数列进行速度计算，既不符合数学公理，又不具备实际意义。

这种情况下采用绝对数分析是较好的方法。

(2）计算方法的选择要依据统计研究目的而定。当目的在于考察最末

期发展水平而非各期水平总和时，应采用几何平均法，而相反情况则应选

用方程法。

第4章4.3动态数列水平分析指标

《应用统计学》4.3.3计算和运用速度相关指标应注意的问题

（3)单纯的速度计算结果具备一定的说明局限，需要结合与基期的绝对水平来进

行判断。通常以计算增长1%的绝对值来进行补充说明。增长1%的绝对值指速度每增

加1%而增加的绝对数量，其公式为：

前期水平

增长1%绝对值

100

根据表4-10比较A、B两工厂的业绩，假设两工厂的生产条件基本相同。

表4-10A、B两工厂生产状况表

A厂B厂

年份

生产量(台)增长速度(%)生产量(台)增长速度(%)

20192000―120―

202024002016840

解：就表格内数据分析，根据速度指标数据判断B厂的生产增长速度

是A厂的2倍。如果就此判断B厂的生产率好于A厂就会产生偏差。原因是

通过进一步计算两工厂速度增长1%所增加的产量绝对额，发现A厂增长1%

的绝对产量为20台，而B厂增长1%的绝对产量仅为1.2台，可见A厂的生产

率远高于B厂。

第4章4.4长期趋势的测定与预测

《应用统计学》

4.4.1长期趋势测定与预测的意义

4.4.2间隔扩大法

4.4.3移动平均法

4.4.4最小平方法

第4章4.4长期趋势的测定与预测

《应用统计学》

根据影响因素的性质及作用不同，动态数列反映现象大致可分为四类：

n长期趋势(T)，指各个时期普遍和长期起作用的基本因素引起的变动，是现象

按一定方向不断长期发展变化所形成的趋势；

n周期变动(C)，也称循环变动，指某现象在较长时间内反复高低变化的一种变

动，是一种规律性的盛衰交替变动；

n季节变动(S)，指由自然季节变换和社会习俗等因素引起的规律性周期波动，

一般以年为周期产生变化起伏；

n不规则变动(I)，也称偶然变动，指由社会或自然的临时或偶然因素所引发的

非趋势性、非周期性变动，一般可以用来泛指除上述三种变动以外的变动。如果根

据四种变动因素不同的相互关系进行假设和说明，可分为加法模式变动和乘法模式

变动。

第4章4.4长期趋势的测定与预测

《应用统计学》

加法模式：将动态数列的总变动设为Y，当四种变动因素之间的关系是相

互独立时，动态数列总变动为各因素之和，即

YTSCI

式中，Y、T表示总量指标；S、C、I表示季节变动、周期变动、不规

则变动对长期趋势产生的偏差，可能为正值，也可能为负值。

乘法模式：将动态数列的总变动设为Y，当四种变动因素之间的关系是相

互影响时，动态数列总变动为各因素之积，即

YTSCI

式中，Y、T表示总量指标；S、C、I表示比率，需用百分数表示。

第4章4.4长期趋势的测定与预测

《应用统计学》4.4.1长期趋势测定与预测的意义

n长期趋势本身就是针对某现象在一个相当长时间内持续变动(向上或向下)

趋势的研究。而通过排除短期性的及偶然性的因素影响，来研究和分析现象

变动的总趋势是动态数列分析的重要任务之一。

n测定长期趋势的主要目的有以下几点：首先，可以把握现象的趋势变化；

其次，通过数量研究寻找现象规律，通过生成趋势曲线为统计预测做准备；

最后，长期趋势的测定可以有效消除原有动态数列中长期趋势的影响，可以

更准确地显示和测定季节性变动。

第4章4.4长期趋势的测定与预测

《应用统计学》

长期趋势的基本形式主要分为两种，即直线趋势和非直线(曲线)趋势。

当现象在一个相当长时期内呈现比较稳定的变动(上升或下降)，且其变动轨

迹为一条直线时，称为直线趋势。而当现象在一个相当长时期内呈现出的变

动轨迹为抛物线或指数曲线等形式时，称为非直线(曲线)趋势。直线趋势的

变化率或斜率基本不变，而非直线(曲线)趋势的变化率或斜率则是变化的。

研究现象的长期趋势，需要对现有动态数列进行长期趋势的测定。而测

定长期趋势的主要方法有间隔扩大法、移动平均法和最小平方法。

第4章4.4长期趋势的测定与预测

《应用统计学》4.4.2间隔扩大法

n间隔扩大法是一种简单的测定直线趋势的方法。间隔扩大法是指将

动态数列间隔扩大，使部分项数合并，从而得到新的动态数列。这种方

法常用于现有动态数列变化规律不明显时，同时这种方法可以部分抵消

数据的不规则变动，包括季节变动和周期变动也适用于这种方法。

第4章4.4长期趋势的测定与预测

《应用统计学》4.4.2间隔扩大法

【例4-9】根据表4-11，计算某企业2020年产品产量的长期趋势。表4-11某企业2020年各月产量表

月份123456789101112

121413161615191718192118

产量(台)

468842088626

解：通过表4-11可以看出，该企业月产品生产量变化不明显且不均匀，研究发现通过该数列

无法清晰准确地反映该企业2020年产品生产的变动趋势。所以现将该数列间隔扩大为以季为单

位，将间隔由原来的1个月扩大为3个月，经重新整理得到表4-12。表4-12某企业2020年各季

度产量表

季度一二三四

产量(台)408484556594

通过表4-12可以看出，间隔扩大后新数列呈现出了较为明显的长期变化趋势，即2020年该企业的产品

产量呈现增长的变化趋势。除了加和的方式扩大间隔，还可以运用平均数的方式来编制新的动态数列。

根据平均数计算的话，表4-11还可以整理为表4-13。表4-13某企业2020年各季度平均产量表

季度一二三四

产量(台)136161.3185.3198

通过表4-13同样可以看出，2020年该企业的产品产量呈现增长的变化趋势。

第4章4.4长期趋势的测定与预测

《应用统计学》4.4.3移动平均法

移动平均法也是一种常见的长期趋势测定方法，该方法采用逐项递推移

动法，通过计算一系列移动的平均发展水平(序时平均数)，从而生成一个新

的动态数列，使长期趋势显现出来。这种方法同间隔扩大法一样，可以一定

程度地抵消数据的不规则变动，包括季节变动和周期变动等。而与间隔扩大

法相比，移动平均法在防止数据大量丢失上具有更大的优势。

第4章4.4长期趋势的测定与预测

《应用统计学》4.4.3移动平均法

【例4-10】根据表4-11，用移动平均法计算某企业2020年产品产量的长期趋势。

解：将表4-11利用移动平均法重新整理后得到表4-14。

表4-14某企业2020年各月产量移动平均法计算表

月份产量(台)三项移动平均数五项移动平均数

1124――

2146136―

3138150.7148

4168156.7153.6

5164161.3162.4

6152168.7170.4

7190173.3174.4

8178185.3180.8

9188187.3192.8

10196198.7192

11212198―

12186――

从上述结果可以看出，无论是三项移动平均数还是五项移动平均数，都比原来的动态数

列更加清晰地表现出了现象的发展趋势，从表中的两个新动态数列可以明显看出某企业的产

品生产产量呈现增长的变化趋势。

第4章4.4长期趋势的测定与预测

《应用统计学》4.4.3移动平均法

而应用移动平均法进行长期趋势分析时，应注意以下几方面内容：

首先，移动平均法修匀的项数越多，其趋势线越平滑，效果越好；

其次，原有动态数列如存在循环周期，则移动平均的项数应以循环周期

的长度为准，这样可以最大程度地将周期波动消除；

再次，移动平均法采用移动奇数项比移动偶数项简单，原因是奇数项移

动后所得新值可以与原值对应，而偶数项移动后其所得新值处在两个原值中

间，所以采用偶数项移动的平均值需再次进行两项“移正平均”；

最后，移动平均后的数列在总项数上要少于原数列。

第4章4.4长期趋势的测定与预测

《应用统计学》4.4.4最小平方法

最小平方法又称最小二乘法，是通过一定的数学模型通过一条适当的趋

势曲线对原有动态数列进行修匀。根据最小平方法的原理，这条趋势线必须

满足最基本的要求，即原有数列的实际数值与趋势线的估计数值的离差平方

之和为最小。其公式为：

2最小值

(yyc)

式中，y表示原数列的实际数值；表示趋势线的估计数值。

yc

由于长期趋势有直线型和曲线型的区别，而最小平方法既可以配合直线

趋势，也可以配合曲线趋势，因此它是分析长期趋势十分普遍和理想的方法。

第4章4.4长期趋势的测定与预测

《应用统计学》4.4.4最小平方法

1．直线趋势方程

如果现象的逐期增长量基本相等，则可考虑配合直线趋势方程。直线趋

势方程的一般形式为：

ycabt

式中，a表示截距；b表示直线的斜率；t表示时间。

第4章4.4长期趋势的测定与预测

《应用统计学》4.4.4最小平方法

在上述直线趋势方程中，a、b为两个未定参数，依据最小平方法的要求，

可用求偏导数的方法，导出以下联立方程组：

ynabt

2

tyatbt

式中，t表示动态数列的时间；y表示动态数列中各期水平；n表示动态数

列的项数。

第4章4.4长期趋势的测定与预测

《应用统计学》4.4.4最小平方法

为了方便计算，可以通过假设时间t使a、b两个参数的求解简化。具体

方法是通过设定t的时间序号使t0。当动态数列为奇数项时，可假设t

的中间项为0，使动态数列时间依次为：…,3,2,1,0,1,2,3,…；当

动态数列为偶数项时，可假设t的中间两项中点为0，使动态数列时间依次

为：…,5,3,1,0,1,3,5,…。则联立方程组简化为：

y

a

ynan

或

tybt2ty

b

2

t

第4章4.4长期趋势的测定与预测

《应用统计学》4.4.4最小平方法

【例4-11】根据表4-15，用最小平方法进行长期趋势预测。

表4-15某商场客流量的最小平方法计算表

2

年份客流量(千人)tttyyc

201420011200187.5

201524024480230.7

201626039780273.9

20173004161200317.1

20183505251750360.4

20194106362460403.6

20204607493220446.8

合计222028140100902220.0

虽然上表用最小平方法可以正常计算出长期趋势，但是过程比较烦琐，根据简化方程的方法，可以

把上表进一步简化为表4-16的形式。

表4-16某商场客流量的最小平方法计算表(简化版)

2

年份客流量(千人)tttyyc

2014200-39-600187.5

2015240-24-480230.7

2016260-11-260273.9

2017300000317.1

201835011350360.4

201941024820403.6

2020460391380446.8

合计222002812102220.0

第4章4.4长期趋势的测定与预测

《应用统计学》4.4.4最小平方法

解：计算过程如表4-16所示。

y2220

a317.1

n7

ty1210

b43.2

t228

将a、b两个参数代入直线趋势方程，得。

此时，通过上述直线趋势方程可计算各年趋势值，而由表4-15和表4-16可知，两

种方法的各年趋势值计算结果相同。

第4章4.4长期趋势的测定与预测

《应用统计学》4.4.4最小平方法

2．抛物线(曲线)趋势方程

如果现象的逐期增长量的增长量(各期的二级增长量)基本相等，则可考

虑配合抛物线趋势方程。抛物线趋势方程的一般形式为：

2

ycabtct

在抛物线趋势方程中，有a、b、c三个未定参数，依据最小平方法的要求，

同样可用求偏导数的方法，导出以下联立方程组：

ynabtct2

tyatbt2ct3

2234

tyatbtct

第4章4.4长期趋势的测定与预测

《应用统计学》4.4.4最小平方法

通过求解上述方程组，可得到a、b、c三个参数值，将其代入抛物线

趋势方程中，即可求得趋势值与预测值。

同样，为了方便计算，通过使

t0，t3，0仍可得到简化的联立方

程组：

ynact2

tybt2

224

tyatct

第4章4.4长期趋势的测定与预测

《应用统计学》4.4.4最小平方法

【例4-12】根据表4-17，用最小平方法进行长期趋势预测。

表4-17某企业近年产品产量(台)

年份产量(