2023-2024学年辽宁沈阳大东区八年级(下)期末数学试卷及答案

数学2023-2024学年辽宁省沈阳市大东区八年级（下）期末数学试卷一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的．每小题3分，共30分）1.(3分)下列设计的图案中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A.B.C.D.2.(3分)若a>b>0，则下列不等式正确的是（）A.a−2<b−2B.−8a>−8bC.aD.13.(3分)多项式8aA.abcB.4aC.aD.4a4.(3分)已知分式x2−1x+1A.x=1B.x=−1C.x>1D.x>−15.(3分)等腰三角形的一个角是80∘A.80∘或B.80C.80∘或D.206.(3分)正十二边形的外角和为（）A.180B.360C.540D.7207.(3分)沈阳的欧亚长青城到龙之梦要铺设一条长25千米的管道，为了尽量减少施工对周边居民生活造成的影响，实际施工时，每天铺设管道的长度比原计划增加20%，结果提前7天完成.设原计划每天铺设管道的长度为x千米，则可列方程为（）A.25B.25C.25D.18.(3分)在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，若AC=8，BD=6，则边AB的取值范围是（）A.1<AB<7B.2<AB<14C.6<AB<8D.3<AB<49.(3分)如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，连接AD.若∠B=40∘，BA=BD，则∠DAC为（）A.25B.30C.35D.4010.(3分)如图，桌面上有一把直尺和一个透明的学具△ABC，其中∠ABC=90∘，AB=3cm，AC=5cm，学具△ABC放置在直尺的一侧，AB边与直尺的边缘重合，点A对应直尺的刻度为3cm，现将学具△ABC沿直尺边缘平移到△A'B'CA.20cmB.30cmC.36cmD.40cm二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）11.(3分)因式分解：ab212.(3分)满足11x+3>4x−4的最小整数是.13.(3分)若方程xx−5=2−mx−5有增根x=514.(3分)如图，在▱ABCD中，∠A=60∘，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F.AD=22，CF=14，则BE=15.(3分)如图，在△ABC中，∠BAC=45∘，∠ACB是锐角，将△ABC沿着射线BC方向平移得到△DEF(平移后点A，B，C的对应点分别是点D,E,F)，连接CD，若在整个平移过程中，∠ACD和∠CDE的度数之间存在2倍关系，则∠ACD=三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤和推理过程）16.(10分)(1)利用因式分解进行简便运算：992(2)化简：(117.(8分)解不等式组&x−3(x−2)≥4&18.(8分)如图，在△ABC中，∠C=90∘，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点(1)求证：△ACD≌△AED；(2)若∠B=30∘，CD=10，求19.(12分)从2013年的首次太空授课到2023年“天宫课堂”第四课开讲，精彩的课程在全国青少年心中播下了追逐航天梦想的种子，激发了他们探索科学奥秘的兴趣.某学校为满足学生的需求，充实物理兴趣小组的实验项目，决定购入A，B两款物理实验套装，其中B款套装的单价比A款套装单价的2倍少30元，用600元购买A款套装的数量是用450元购买B款套装数量的2倍.(1)求A，B两款套装的单价.(2)根据学校实际情况，需一次性购买A款套装和B款套装共100个，但要求A款套装和B款套装的总费用不超过8000元，学校最多可以购买多少个B款套装？20.(8分)某市三个城镇中心A，B，C恰好分别位于一个等边三角形的三个顶点处，在三个城镇中心之间铺设通信光缆.解决问题：(1)以城镇A为出发点，设计了两种连接方案：装①如图1，AD+BC(D为BC中点）；②如图2，OA+OB+OC(O为△ABC三边的垂直平分线的交点)。请通过计算说明要使铺设的光缆长度最短，应选哪种方案？(2)尺规作图：请在备用图中用尺规作图画出（1）中你所选择的方案的图形（保留作图痕迹，不写作法)。21.(8分)延时课上，实验中学八（2）某学习小组对北师大八下教材P150页的中位线定理进行了探究，请依据图中添加的辅助线完成中位线定理的证明.连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.已知：如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点.求证：DE∥BC，且DE=1证明：如图，延长DE至点F，使EF=DE，连接CF.22.(9分)我们定义，关于同一个未知数的不等式A和B，两个不等式的解集相同，则称A与B为同解不等式.(1)若关于x的不等式A:3x−1>0，不等式B：3x+a2>1是同解不等式，求(2)若关于x的不等式C:x+1>mn，不等式D:x−3>m是同解不等式，其中m，n是正整数，求m，n的值；(3)若关于x的不等式P:(2a−b)x+3a−4b<0，不等式Q：14x−12>7223.(12分)【问题初探】(1)在数学活动课上，王老师给出如下问题：如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=60∘，D为AC中点，点E在线段BC上，且BE<12BC，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转60∘，得到线段DF，连接①如图2，小明同学发现：如果过D作DG∥AB交BC于点G，那么△DCG是等边三角形，通过构造全等三角形可以找到AD，CF，BE之间的数量关系.②如图3，小颖同学发现：如果过E作EG∥AB交AC于点G，那么△ECG是等边三角形，也可以构造出全等三角形，找到AD，CF，BE之间的数量关系.请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程.【类此分析】(2)王老师发现之前两名同学都运用数学的转化思想，将证明三条线段的关系转化为证明两条线段的关系；为了帮助学生更好地感悟转化思想，王老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答.如图4，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90∘，D为AC中点，点E在线段BC上，且BE>12BC，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90∘，得到线段DF，连接EF，CF.探究线段【学以致用】(3)在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α(α⩽90∘)，点D在边AC上，点E在边BC上，连接DE(DE不平行AB)，将线段DE绕点D逆时针旋转角α，得到线段DF，连接EF，CF.再过D点作DG∥AB交BC于点G，过点G作GH∥AC交AB于点H，当AD=3，BE=2.5，数学2023-2024学年辽宁省沈阳市大东区八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的．每小题3分，共30分）1、【答案】D【知识点】轴对称图形,中心对称图形2、【答案】C【知识点】二次根式的性质与化简,不等式的性质3、【答案】B【知识点】公因式4、【答案】A【知识点】分式的值为零的条件5、【答案】A【知识点】等腰三角形的性质6、【答案】B【知识点】多边形内角与外角7、【答案】B【知识点】由实际问题抽象出分式方程8、【答案】A【知识点】三角形三边关系,平行四边形的性质9、【答案】C【知识点】线段垂直平分线的性质,等腰三角形的性质10、【答案】D【知识点】平移的性质二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）11、【答案】a【知识点】提公因式法与公式法的综合运用12、【答案】0【知识点】一元一次不等式的整数解13、【答案】−5【知识点】分式方程的增根14、【答案】17【知识点】平行四边形的性质15、【答案】15∘或30∘【知识点】平移的性质三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤和推理过程）16、【解答】解：（1）由题意，原式====40000.(2)由题意，原式=(==−=−x−1.【知识点】因式分解的应用17、【解答】解：&x−3(x−2)≥4①&1+2x3>x−1②，解①得：x⩽1，解②得：x<4【知识点】在数轴上表示不等式的解集,解一元一次不等式组18、【解答】(1)证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90∴CD=ED，∠DEA=∠C=90∵在Rt△ACD和Rt△AED中&AD=AD∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)(2)∵DC=DE=10，DE⊥AB，∴∠DEB=90∵∠B=30∴BD=2DE=20.【知识点】全等三角形的判定与性质,角平分线的性质19、【解答】解：（1）设A款套装的单价是x元，则B款套装的单价是(2x−30)元，根据题意得：600x解得：x=60，经检验，x=60是原方程的解，且符合题意，∴2x−30=2×60−30=90，答：A款套装的单价是60元，B款套装的单价是90元；(2)设学校可以购买m个B款套装，则购买(100−m)个A款套装，根据题意得：90m+60(100−m)⩽8000解得：m≤66∵m是正整数，∴m的最大值为66，答：学校最多可以购买66个B款套装.【知识点】分式方程的应用,一元一次不等式的应用20、【解答】解：（1）设等边三角形的边长为a，如图1所示，∵△ABC为等边三角形，AD⊥BC，∴D为BC的中点，即BD=DC=1在Rt△ABD中，根据勾股定理得：AD=A则铺设的通讯电缆长为a+3如图2所示，∵△ABC为等边三角形，且O为三角形三条高的交点，∴DO=x，则BO=2x，BD=1故x2解得：x=3则BO=3则铺设的通讯电缆长为AO+OB+OC=3×3∵3则方案②铺设方案好；(2)如图，分别作CB、AB的中垂线，交点即为点O.【知识点】线段垂直平分线的性质,勾股定理21、【解答】证明：根据题意知EF=DE，∵E是AC的中点，∴AE=EC.在△ADE和△CFE中，&AE=EC∴△ADE≌△CFE(SAS)∴AD=CF，∠DAE=∠FCE，∴AD∥CF，∵D是AB的中点，∴BD=AD，∴BD=CF，∴四边形DBCF是平行四边形，∴DF∥BC，DF=BC，∴DE∥BC，DE=1【知识点】三角形中位线定理22、【解答】解：(1)不等式A，移项得：3x>1，解得：x>1不等式B，去分母得：3x+a>2，移项得：3x>2−a，解得：x>2−a∵不等式A与B为同解不等式，∴2−a解得：a=1；(2)不等式C移项得：x>mn−1，不等式D移项得：x>m+3，∵不等式C与D为同解不等式，∴mn−1=m+3，即(n−1)m=4∵m，n为正整数，当m=1时，n=5；m=2时，n=3；m=4时，n=2，则&m=1&n=5或&(3)不等式P移项得：(2a−b)x<4b−3a不等式Q去分母得：14x−1>7−4x，移项得：14x+4x>7+1，合并同类项得：18x>8，解得：x>4∵不等式P与Q为同解不等式，∴2a−b<0，即不等式P解集为x>4b−3a∴4b−3a2a−b=整理得：8b=7a，即4b=3.5a，a=8∴a−4b=a−3.5a=−2.5a>0，∴不等式(a−4b)x+2a−3b<0，解得：x<则不等式(a−4b)x+2a−3b<0的解集为x<【知识点】解一元一次不等式23、【解答】(1)证明：方法一：如图，过D作DG∥AB交BC于点G，∵AC=BC，∠BAC=∴△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠ACB=60∵DG∥AB，∴∠CDG=∠A=60∘，∴△DCG是等边三角形，∴DC=DG，∵D是AB中点，∴CD=AD=CG=BG，由旋转得DF=DE，∠EDF=∴∠FDC=∠EDG=60∴△FDC≌△EDG(SAS)∴CF=GE，∴BG=BE+GE=BE+CF，∴AD=BE+CF.方法二：如图，过E作EG∥AB交AC于点G，∵AC=BC，∠BAC=60∴△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠ACB=60∵EG∥AB，∴∠CGE=∠A=60∘，∴△GEC是等边三角形，∴CG=CE=EC，∴AC−CG=BC−CE，即AG=BE，由旋转得ED=FD，∠EDF=∴△DEF是等边三角形，∴ED=EF，∠FED=60∘，在△DEG和△FEC中，&EG=EC∴△DEG≌△FEC(SAS)∴GD=CF，∴AD=AG+GD=BE+CF.(2)解：2AD=BE−CF理由：如图，取BC的中点M，AB的中点N，连接DM、MN，则MN∥AC，MN=1∵AB=AC，∠BAC=∴∠B=∠ACB，∴∠BNM=∠BAC=90∘，∴MN=BN，∴BM=M∵D为AC中点，∴AD=12AC∴MN=AD，∠MDC=∠BAC=90∘，∴BM=2AD，由旋转得DE=DF，∠EDF=90∴∠MDE=∠CDF=90在△MDE和△CDF中，&DM=DC∴△MDE≌△CDF(SAS)∴ME=CF，∴BM=BE−ME=BE−CF，