49　第八章　第44课时　电场中功能关系及图像问题(思维进阶课)

第八章静电场第44课时电场中功能关系及图像问题(思维进阶课)[学习目标]

1．会分析处理电场中的功能关系。

2．理解电场中有关图像的斜率、面积表示的物理意义，并能结合图像分析电场、电势和电势能的变化。进阶点1电场中功能关系的应用几种常见的功能关系：(1)合外力做功等于动能的变化，即W合＝Ek2－Ek1＝ΔEk(动能定理)。(2)重力做功等于物体重力势能的变化，即WG＝EpG1－EpG2＝－ΔEp。(3)静电力做功等于电势能的变化，即W电＝Ep电1－Ep电2＝－ΔEp电。(4)弹簧弹力做功等于弹性势能的变化，即W弹＝Ep1－Ep2＝－ΔEp弹。(5)除了重力和弹簧弹力之外其他力做的总功等于物体机械能的变化，即W其他力＝E机2－E机1＝ΔE机。[典例1]

(2025·四川卷)如图所示，由长为R的直管ab和半径为R的半圆形弯管bcd、def组成的绝缘光滑管道固定于水平面内，管道间平滑连接。bcd圆心O点处固定一电荷量为Q(Q>0)的带电小球。另一个电荷量为q(q>0且q≪Q)的带电小球以一定初速度从a点进入管道，沿管道运动后从f点离开。忽略空气阻力。则(

)A．小球在e点所受库仑力大于在b点所受库仑力B．小球从c点到e点电势能先不变后减小C．小球过f点的动能等于过d点的动能D．小球过b点的速度大于a点的速度√

√√

归纳总结：(1)动能定理可以把不同力对物体做的功联系起来。(2)能量守恒定律可以把系统中参与变化的所有能量联系起来。若只有静电力做功，电势能与动能之和保持不变；若只有静电力和重力做功，电势能、重力势能、动能之和保持不变。角度1电场中的E-x图像1．E-x图像为静电场在x轴上的电场强度E随x的变化关系，若规定x轴正方向为电场强度E的正方向，则E>0，电场强度E沿x轴正方向；E<0，电场强度E沿x轴负方向。2．E-x图线与x轴所围图形“面积”表示电势差(如图所示)，两点的电势高低根据电场方向判定。在与粒子运动相结合的题目中，可进一步确定粒子的电性、动能变化、电势能变化等情况。进阶点2电场中的图像问题[典例3]

(多选)(2025·河北名校联盟一模)沿电场中某条电场线方向建立x轴，该电场线上各点电场强度E随x的变化规律如图所示，x轴正方向为电场强度E的正方向，坐标轴上的点O、x1、x2和x3分别与x轴上O、A、B、C四点相对应，相邻两点间距相等。一个带正电的粒子从O点由静止释放，运动到A点的动能为Ek，仅考虑静电力作用，则下列说法正确的是(

)A．从O点到C点，电势先升高后降低B．从O点到C点，粒子做变加速运动C．粒子运动到C点时动能大于3EkD．粒子在AB段电势能减少量小于BC段电势能减少量√√BC

[由O点到C点，电场方向不变，电势一直降低，故A错误；电场强度大小一直在变化，粒子做变加速运动，故B正确；根据E随x变化规律可知，由A到C电场强度平均值大于OA段电场强度平均值，粒子运动到A点的动能为Ek，则从O到A静电力做功为Ek，从A到C静电力做功大于2Ek，则粒子运动到C点时动能大于3Ek，故C正确；AB段平均电场强度大于BC段平均电场强度，则粒子在AB段平均静电力大于BC段平均静电力，则AB段静电力做的功大于BC段静电力做的功，所以在AB段电势能减少量大于BC段电势能减少量，故D错误。]角度2电场中的φ-x图像1．电场强度的大小等于φ-x图线的切线斜率的绝对值。如果图线是曲线，电场为非匀强电场；如果图线是倾斜的直线，电场为匀强电场(如图1)。切线的斜率为0时沿x轴方向电场强度为0。2．在φ-x图像中可以直接判断各点电势的高低，并可根据电势高低关系确定电场强度的方向，进而可以判断电荷在电场中的受力方向。(如图2)[典例4]

(2025·海南卷)某静电场电势φ在x轴上分布如图所示，图线关于φ轴对称，M、P、N是x轴上的三点，OM＝ON；有一电子从M点静止释放，仅受x轴方向的静电力作用，则下列说法正确的是(

)A．P点电场强度方向沿x轴负方向B．M点的电场强度小于N点的电场强度C．电子在P点的动能小于在N点的动能D．电子在M点的电势能大于在P点的电势能√D

[由图可知在x正半轴沿＋x方向电势降低，则电场强度方向沿x正方向，故A错误；φ-x图像斜率表示电场强度，由图可知M、N点的电场强度大小相等，方向相反，故B错误；电子在电势低处电势能大，故电子在P点的电势能小于在N点的电势能，根据能量守恒可知，电子在P点的动能大于在N点的动能，故C错误；电子在电势低处电势能大，故电子在M点的电势能大于在P点的电势能，故D正确。故选D。]拓展思考

试画出下图中几种典型电场的φ-x图像(以无穷远处电势为0)。(1)点电荷的φ-x图像；(2)两等量异种点电荷连线上的φ-x图像；(3)两个等量正点电荷的φ-x图像。[答案]

(1)(2)(3)

[典例5]

(多选)在甲、乙电场中，电场方向均与x轴平行，某试探电荷－q(q>0)具有的电势能Ep沿x方向的变化分别如图甲、乙所示，则下列说法正确的是(

)A．图甲中，试探电荷在O点受到的静电力为0B．图甲中，电场强度沿x轴正方向C．图乙中，x1处的电场强度小于x2处的电场强度D．图乙中，x1处的电势高于x2处的电势√√BD

[根据Ep-x图像斜率的绝对值表示静电力的大小，题图甲中，试探电荷在O点受到的静电力不为0，A错误；沿x轴正方向，电势能增大，静电力做负功，又因试探电荷带负电，则电场强度沿x轴正方向，B正确；题图乙中x1处的斜率大于x2处的斜率，即Fx1>Fx2，故Ex1>Ex2，C错误；负电荷在电势越高处电势能越小，故题图乙中φx1>φx2，D正确。]课时作业(四十四)电场中功能关系及图像问题(思维进阶课)题号135246879101．A、B是某电场中一条电场线上的两点，一正电荷仅在静电力作用下，沿电场线从A点运动到B点，速度—时间图像如图所示。下列关于A、B两点电场强度E的大小和电势φ的高低的判断正确的是(

)A．EA＝EB

B．EA<EBC．φA<φB

D．φA>φB√C

[由图线斜率看出，电荷在A处的加速度大于在B处的加速度，根据qE＝ma可知EA>EB，故A、B错误；从图线看出，电荷从A到B速度减小，静电力做负功，说明静电力方向从B指向A，而电荷带正电，则电场线方向从B指向A，则φA<φB，故C正确，D错误。]题号135246879102．一带负电的粒子只在静电力作用下沿x轴正向运动，其电势能Ep随位移x的变化如图所示，其中0～x2段是抛物线，x1处是顶点，x2～x3段是直线，且与抛物线相切。粒子在0～x3运动过程中，下列判断正确的是(

)A．x1处的电势最高B．0～x1段粒子动能增大C．x1～x2段粒子加速度增大D．x2～x3段粒子做匀速直线运动√题

[x1处的电势能最大，而粒子带负电，所以此处电势最低，A错误；因为粒子只受到静电力，所以粒子的电势能与动能之和不变，因为0～x1段粒子电势能增大，所以动能减小，B错误；在Ep-x图中，图线斜率的绝对值代表静电力的大小，而x1～x2段斜率绝对值增大，粒子受到的静电力也增大，所以加速度增大，C正确；x2～x3段图线斜率不变，粒子受到的静电力不变，粒子做匀加速直线运动，D错误。]题号135246879103．(多选)(2025·山东济南一模)静电场在x轴上的电场强度E随x的变化关系如图所示，x轴正向为电场强度正方向，带正电的点电荷沿x轴运动，则点电荷(

)A．在x2和x4处电势能相等B．由x1运动到x3的过程中电势能增大C．由x1运动到x4的过程中静电力先增大后减小D．由x1运动到x4的过程中静电力先减小后增大√√题C

[由图像可知，在0～x1之间，电场强度E是正的，是沿x轴正方向的；在x1～x4之间，电场强度E是负的，是沿x轴负方向的，故由x2到x4是逆着电场线的方向，所以x4处的电势要高于x2处的电势，正电荷在x4处的电势能大于在x2处的电势能，A错误；由x1运动到x3的过程中，是逆着电场线方向的，所以电势能增大，B正确；由x1运动到x4的过程中，x3处的电场强度是最大的，故电荷在该点受到的静电力也应该是最大的，故静电力先增大后减小，C正确，D错误。]135246879104．(2024·重庆卷)沿空间某直线建立x轴，该直线上的静电场方向沿x轴，电势φ随位置x变化的图像如图所示，一电荷量的绝对值为e、带负电的试探电荷，经过x2点时动能为1.5eV，速度沿x轴正方向，若该电荷仅受静电力，则其将(

)A．不能通过x3点B．在x3点两侧往复运动C．能通过x0点D．在x1点两侧往复运动√题

[带负电的试探电荷在x2处动能为1.5

eV，电势能为－1

eV，总能量为0.5

eV，且试探电荷速度沿x轴正方向，在x2到x3区域试探电荷受到沿x轴正方向的静电力，做加速运动，在x3处速度最大，试探电荷继续运动到x3右侧，做减速运动，当速度为0时，电势能为0.5

eV，即运动到电势为－0.5

V处减速到0，开始向x轴负方向运动，后反向回到x2处动能仍为1.5

eV，继续向左运动，在电势为－0.5

V处减速到0又反向，不会运动到x0、x1处，即试探电荷在x3点两侧往复运动。故选B。]题号题/p>

√题/p>

题号135246879106．在某电场中建立x坐标轴，一个质子沿x轴正方向运动，经过间距相等的A、B、C三点，该质子的电势能Ep随位置坐标x变化的关系如图所示，该质子只受静电力作用。下列说法正确的是(

)A．A点电势高于B点电势B．A点的电场强度大于B点的电场强度C．质子经过A点的速率小于经过B点的速率D．C、B两点电势差UCB大于B、A两点电势差UBA√题

[质子电势能增大，则静电力做负功，静电力方向与质子运动方向相反，质子带正电，说明电场方向与质子运动方向相反，即电场方向沿x轴负方向，沿电场方向电势降低，则A点电势低于B点电势，A错误；由Ep-x图像斜率的绝对值表示静电力大小可知，FxA<FxB，说明A点的电场强度小于B点的电场强度，B错误；质子只受静电力作用，由功能关系可知EkA>EkB，质子经过A点的速率大于经过B点的速率，C错误；根据U＝Ed定性分析，由A至C电场强度逐渐变大，A、B、C三点间距相等，则C、B两点电势差UCB大于B、A两点电势差UBA，D正确。]题号135246879107．(多选)(2025·安徽合肥模拟)静电场的电场强度方向与x轴平行，x轴上各点电势φ随坐标x分布情况如图所示。现从x＝－3x0处由静止释放一电子(重力不计)，电子在(－3x0，3x0)间运动时的速度v、电势能Ep、动能Ek及静电力的功率P随坐标x变化的图像正确的是(

)√√题C

[电子在(－3x0，－x0)间做匀加速直线运动，在(－x0，x0)间做匀减速直线运动，在(x0，3x0)间做匀加速直线运动，全程加速度大小均相等，但电子速度随位移并非线性变化，A错误；根据Ep＝qφ＝(－e)φ知，B正确；由动能定理得Ek＝qEx，C正确；电子在越过－x0前后