与四边形有关的证明和计算课件

与四边形有关的证明和计算

学

校某省市第八十中学学 科：数学（人教版） 年 级：九年级下学期初中数学学习目

标1.掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念、性质和判定，理解它们之间的关系；2.综合运用全等、相似和解直角三角形等相关知识解决四边形中的证明与计算问题；3.灵活运用轴对称、旋转、平移的知识解决与四边形有关的问题，体验图形变化在研究几何问题中的作用．初中数学复习引

入梯形平行四边形矩形菱形正方形一个角是直角一组邻边相等一组邻边相等一个角是直角两组对边分别平行四边形一般的四边形特殊的四边形初中数学平行四边形矩形菱形正方形性质边对边平行且相等.对边平行且相等.对边平行，四边相等.对边平行,四边相等.角对角相等.四个角都是直角.对角相等.对角线互相平分.互相平分且相等.互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角.判

定1、两组对边分别平行；2、两组对边分别相等；4、两组对角分别相等；1

、有三个角是直角的四边形;2

、有一个角是3、一组对边平行且相等; 直角的平行四边形;3

、对角线相等5、两条对角线互相平分.

的平行四边形.1、四边相等的四边形；2、对角线互相垂直的平行四边形；3、有一组邻边相等的平行四边形.四个角、都是直角.互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角.1、有一个角是直角的菱形；2、对角线相等的菱形；3、有一组邻边相等的矩形；4、对角线互相垂直的矩形.对称性只是中心对称图形.既是轴对称图形，又是中心对称图形.面

积S=

ahS=abS=S=

a2初中数学分析：本题考查平行四边形的定义与性质以及勾股定理等知识，是个几何图形问题.

解决这类问题，关键是分析这个四边形是否为特殊四边形.如果是，则运用特殊四边形性质解决，如果不是，则要转化为规则图形求解.

本题中已知CE∥AD，可证DE∥AC，可以先证明四边形ACED是平行四边形，得到DE=AC=2．由勾股定理和垂直平分线的定义可求AB和EB的长，从而求出四边形ACEB的．新知讲

解考查角度一：平行四边形的性质和判定引例

如图，在△

ABC

中，

ACB

90

,

D

是

BC

的中点，

DE

BC

，

CE

∥

AD

.若AC

2

，

CE

4

，求四边形

ACEB

的．EDCBA初中数学例1

如图，四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD=1，BC=3，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F．求证：四边形BDFC是平行四边形；若△BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积．（1）证明：∵∠A=∠ABC=90°，∴BC∥AD.∴∠CBE=∠DFE.在△BEC与△FED中，

CBE

DFE

,

BEC

FED

,

CE

DE

,

∴△BEC≌△FED.∴BE=FE.又∵E是边CD的中点，∴CE=DE.∴四边形BDFC是平行四边形.初中数学（2）若△BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积．（2）分三种情况讨论：①BC=BD=3

时，由勾股定理得，

AB

BD2

AD2

32

12

22

，∴.②BC=CD=3

时，如图，过点

C

作

CG⊥AF

于

G，则四边形

AGCB

是矩形，∴AG=BC=3，∴DG=AG﹣AD=3﹣1=2.由勾股定理得，

CG

CD2

DG2

32

22

5

，③BD=CD

时，BC

边上的中线应该与

BC

垂直，从而得到

BC=2AD=2，矛盾，此时不成立.综上所述，若△

BCD

是等腰三角形，四边形

BDFC

的面积是6

2

或35

．�四边形

BDFC=3×2√2=

6√2∴

�四边形

BDFC=3×√5=3√5

.初中数学14x2练习1如图，抛物线

y

x

的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个–3–2

–1–1–2–3y5DAB1 2 3 4 5 6

x4321OC交点为B，若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O，C，D，B四点为顶点的四边形为平行四边形，满足条件的D点的坐标为

．解：由抛物线的对称性可知B（4，0）.当OB为平行四边形的对角线时，点D与点A重合，D1（2，1）．当OB为边时，DC∥OB，DC=OB=4，∵点C的横坐标为2，∴点D的横坐标为-2或6.2 3∴D

（6，-3）或D

（-2，-3).∴满足条件的点D坐标为(2，1)，（6，-3）或（-2，-3）.【思想方法】(1)平行四边形是一种特殊的四边形，它具有对边平行且相等，对角线互相平–4

分的性质，根据平行四边形的性质可以解决一些有关的计算或证明；(2)平行四边形的判定有含定义在内的五种方法．初中数学考查角度二：矩形、菱形和正方形的性质和判定引例 如图，在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，且AE⊥BC，AF⊥CD，求菱形各个内角的度数．60°、120

°初中数学例2

如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连结CF.求证：AF＝DC；若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．证明：(1)∵E是AD的中点，∴AE＝ED.∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∠FAE＝∠BDE.∴△AFE≌△DBE.∴AF＝DB.∵AD是BC边上的中线，∴DB＝DC，∴AF＝DC.初中数学例2

如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连结CF.求证：AF＝DC；若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．(2)四边形ADCF是菱形．理由：由(1)知，AF＝DC.∵AF∥CD，∴四边形ADCF是平行四边形．2∴平行四边形ADCF是菱形．∵AB⊥AC，∴

AD＝1BC＝DC，初中数学【思想方法】要掌握矩形、菱形、正方形的性质和判定方法，比较它们的区别和联系．对于矩形的性质，重点从“四对”入手，即从对边、对角、对角线及对称轴入手；判定菱形可以从一般四边形入手，也可以从平行四边形入手；正方形既具有矩形的性质又具有菱形的性质．初中数学3FECBA练习2如图，菱形ABCD中，分别延长DC，BC至点E，F，使CE=CD，

CF=CB，连接DB，BE，EF，FD.（1）求证：四边形DBEF是矩形；，求DF的长．D（2）如果∠A=60

，菱形ABCD的面积为8点拨：问题（1）主要考查平行四边形和矩形的判定方法以及菱形的性质，题中已经有了CE=CD，CF=CB的条件，可以得出四边形DBEF是平行四边形，只需证明有一个内角是直角或对角线相等即可，由菱形ABCD得CD=CB，从而可证BF=DE；问题（2）主要考查了菱形的性质以及方程思想.初中数学则42＋(8－x)2＝x2，解得：x＝5，考查角度三：特殊四边形的对称性例3

如图，将一矩形纸片ABCD折叠，使两个顶点A，C重合，折痕为FG.若AB＝4，BC＝8，则△ABF的面积为

.解∵将矩形纸片ABCD折叠，使两个顶点A，C重合，折痕为FG，∴FG是AC的垂直平分线.∴AF＝CF.设AF＝CF＝x，则BF＝8－x，在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB2＋BF2＝AF2，【思想方法】图形折叠问题，通常要注意利用折叠的性质，勾股定理等，得出关于x的∴CF＝5，BF＝8－5＝3，则△ABF的面积为6. 方程是解题的关键.初中数学练习3如图，将平行四边形ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕l交CD边于点E，连结BE.求证：四边形BCED′是平行四边形；若BE平分∠ABC，求证：AB2＝AE2＋BE2.点拨：(1)利用折叠变换的性质以及平行线的性质得出∠DAE＝∠EAD′＝∠DEA＝∠D′EA，进而利用平行四边形的判定方法得出四边形DAD′E是平行四边形；(2)利用平行线的性质结合勾股定理得证．初中数学考查角度四：以特殊四边形为背景的图形平移与旋转例4 (1)如图①，纸片▱ABCD中，AD＝5，S▱ABCD＝15.过点A作AE⊥BC，垂足为E，沿AE剪下△ABE，将它平移至△DCE′的位置，拼成四边形AEE′D，则四边形AEE′D的形状为 ( )A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形(2)如图②，在(1)中的四边形纸片AEE′D中，在EE′上取一点F，使EF＝4，剪下△AEF，将它平移至△DE′F′的位置，拼成四边形AFF′D.①求证：四边形AFF′D是菱形；②求四边形AFF′D的两条对角线的长．①②初中数学，【解析】(1)由平移知，AE∥DE′且AE=DE′∴四边形AEE′D是平行四边形.又AE⊥BC，∴∠AEE′＝90°，∴四边形AEE′D是矩形.

∴C选项正确．(2)①∵AF∥DF′且AF=DF′

，∴四边形AFF′D是平行四边形.∵S▱ABCD＝AD·AE＝15，又∵AD＝5，∴AE＝3，EF＝4，∠E＝90°.∴AF＝5.∴AD＝AF.∴四边形AFF′D是菱形.②如图，连结AF′，DF，在Rt△AEF′中，AE＝3，EF′＝9，∴AF′＝3在Rt△DFE′中，FE′＝1，DE′＝AE＝3，∴DF＝∴四边形AFF′D两条对角线的长分别是310和 1010

.10.初中数学