用配方法解一元二次方程课件

第4章

一元二次方程4.2用配方法解一元二次方程学习目标1.理解配方法；知道“配方”是一种常用的数学方法.2.会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.3.能说出用配方法解一元二次方程的基本步骤.4.通过用配方法将一元二次方程变形的过程，让学生进一步体会转化的思想方法，并增强他们的数学应用意识和能力.新1.如果一个数的平方等于9，则这个数是__________

，若一个数的平方等于7，则这个数是__________.

一个正数有几个平方根？它们具有怎样的关系？±3

两个平方根，它们互为相反数.2.平方根的意义3.用字母表示完全平方公式.a2±2ab

＋b2

＝(a±b)2

4.用估算法求方程x2－4x＋2＝0的解，你能设法求出其精确解吗？观察与思考观察下面的三个一元二次方程：(x＋5)2＝9，①x2＋10x＋25＝9，②x2＋10x

＝－16.③(1)根据平方根的意义，你会解方程①吗?方程①有几个根?会.(x＋5)2＝9，x＋5＝±3，∴x1＝－2，x2＝－8.方程①有两个根.(2)比较方程②与方程①，你发现它

们有什么联系?根据这种联系，你

会解方程②吗?把方程②的左边分解因式得到方程①.

x2＋10x＋25＝9，即(x＋5)2＝9，由(1)可知x1＝－2，x2＝－8.(3)比较方程②与③，你发现它们有

哪些相同和不同?对于解方程③由

此能得到什么启示?方程③与方程②的二次项和一次项都相同，如果在方程③的两边都加上25，便可把方程图转化成方程②.对于方程③，小莹的解法是：在方程③的两边都加上25，得x2＋10x＋25＝9.即(x＋5)2＝9.由平方根的意义，得

x＋5＝±3.所以，x1＝－5＋3＝－2，

x2＝－5－3＝－8.加油站与一元一次方程不同，由于正数开平方时，有两个互为相反数的平方根，所以一元二次方程可以有两个实数根.通常用x1，x2

分别表示未知数为x

的一元二次方程的两个根,你同意小莹的解法吗?在小莹的解法中，有两步非常关键，第一步是利用等式的基本性质两边同加25，使方程的左边成为一个完全平方式，第二步是通过开平方，将一元二次方程转化为一元一次方程.(4)想一想，为什么在方程③的两边都

加上25之后，方程③的左边就成为

一个完全平方式?与同学交流.因为二次项的系数为1，且25等于一次项系数10的一半的平方.当二次项的系数为1时，可先把常数项移到方程的右边，然后在方程的两边都加上一次项系数的一半的平方，就把方程的左边配成了一个完全平方式，从而可以由平方根的意义求解方程.

这种解一元二次方程的方法叫做配方法.例1解方程：(1)x2＋4x＝12；配方，方程两边都加4，得

x2＋4x＋4＝16，即(x＋2)2＝16.由平方根的意义，得x＋2＝±4，所以x1＝2，x2＝－6.(2)x2－3x＋2＝0.

挑战自我你会用配方法解方程(x＋1)2＋2(x＋1)＝8吗?你能找到几种解法?会.方法一：(x＋1)2＋2(x＋1)＝8，配方，得(x＋1)2＋2(x＋1)＋1＝9，即(x＋1＋1)2＝9.由平方根的意义，得x＋2＝±3.∴x1＝1，x2＝－5.方法二：(x＋1)2＋2(x＋1)＝8，

整理，得x2＋4x＝5.

配方，得x2＋4x＋4＝5＋4，

即(x＋2)2＝9.

由平方根的意义，得x＋2＝±3.

∴x1＝1，x2＝－5.练习1.在下面的横线上各填上一个数，使各式成为完全平方式：(1)x2＋14x＋________＝(x＋________)2；(2)x2－20x＋________＝(x＋________)2；(3)x2＋x＋_______＝(x＋_______)2；(4)x2－0.2x＋_______＝(x＋________)2.497100－10

0.01－0.12.用配方法解下列方程：(1)x2＋4x

＝－3；解：配方，得

x2＋4x＋4＝

－3＋4，

即

(x＋2)2－1.由平方根的意义，得x＋2＝±1.

∴x1＝－1，x2

＝－3.(2)x2

－6x－7＝0；解：移项，得x2－6x＝7.

配方，得x2－6x＋9＝7＋9，

即(x－3)2＝16.

由平方根的意义，得x－3＝±4.∴x1＝7，x2＝－1.(3)y2

＝8－2y；解：移项，得y2＋2y＝8.

配方，得y2＋2y＋1＝8＋1，即(y＋1)2＝9.

由平方根的意义，得y＋1＝±3.∴y1＝2，y2＝－4.(4)t2＋8＝6t.解：移项，得t2－6t＝－8.

配方，得t2－6t＋9＝－8＋9，

即(t－3)2＝1.由平方根的意义，得t－3＝±1.

∴t1＝4，t2＝2.例2解4.1节问题(3)中的方程x2＋x－1＝0(精确到0.001).

例3解方程2x2＋3x－1＝0.如果一元二次方程的二次项系数不是1，为了便于配方，可以利用等式的基本性质，先把方程的二次项系数化为1.

挑战自我如果p与q

都是常数，且p2

≥4q，你会用配方法解关于x的一元二次方程x2＋px

＋q＝0吗?试一试练习1.用配方法解下列方程：(1)3x2－6x＝0；(2)2x2－4x－3＝0；(3)2x2－7x＋3＝0；(4)4x2－7x－2＝0.习题4.2复习与巩固1.用配方法解下列方程：(1)x2＋8x＝9；解：配方，得x2＋8x＋16＝9＋16，

即(x＋4)2

＝25.

由平方根的意义，得x＋4＝±5.∴x1＝1，x2＝－9.(2)x2－3x

＝0；

(3)x2＋4x

＝－3；解：配方，得x2＋4x＋4＝－3＋4，即(x＋2)2

＝1.

由平方根的意义，得x＋2＝±1.

∴x1＝－1，x2

＝－3.(4)x2－18x＋31＝0.

2.用配方法解下列方程：(1)x2－6x－3＝0；(2)－x2＋4x＝3；(3)2x2－3x－2＝0；(4)3x2－6x－1＝0.3.解答下列问题：(1)当x为何值时，代数式x2－15x＋45的值等于－5?解：由题意，得x2－15x＋45＝－5.解得x1

＝10，x2

＝5.所以当x＝10或x＝5时，

代数式x2－15x＋45的值等于－5.(2)当x为何值时，代数式x2－13x＋40与x－5的值相等?解：由题意，得x2－13x＋40＝x－5.

解得x1＝5，x2＝9.

所以当x＝5或x＝9时，

代数式x2－13x＋40与x－5的值相等.4.(中国古代数学问题)有一个矩形，面积为864平方步，

它的宽比长少12步.求这个矩形的长和宽.小资料步是我国古代的长度单位，1步约等于1.67米.亩、分、平方步都是面积单位，它们的关系是：1亩＝10分；1分＝24平方步.拓展与延伸5.用配方法证明，无论x取何实数，代数式2x2－8x＋18的值不小于10.6.用配方法解方程x2＋(x＋7)2＝112，然后借助计算器求解的近似值(精确到0.1)，并将得出的近似值与4.1节“实验与探究”中的估计值进行比较.7.右图是一表.在此月历表上可以用一个矩形任意圈出2×2个位置上相邻的数(如2，3，9，10).如果圈出的4个数中最大数与最小数的积为128，求这4个数中最小的数.解：设最小的数为x，

则最大的数为x＋8.根据题意，得x(x＋8)＝128.解得x1＝－16，x2

＝－8.当x＝－16时，不合题意，舍去，所以x＝8.答：这4个数中最小的数是8.探索与创新8.关于x的二次方程4x2＋4kx＋k2＝1的一个根是－2，

求k的值和另一个根.