1.1.1空间向量及其线性运算(讲义)(解析版)

第一章空间向量与立体几何第一章空间向量与立体几何1.1.1空间向量及其线性运算课标要点1.理解空间向量相关基础概念，掌握向量两种表示方法，能区分五类特殊空间向量。2.熟练掌握空间向量加减、数乘运算法则与运算律，规范书写各类向量运算式子。3.牢记共线、共面向量定理，会用定理判断向量关系，推导三点共线、四点共面。4.能辨析本节常见易错点，结合向量线性运算解决简单空间几何证明问题。学习重难点重点：1.空间向量定义、特殊向量概念，向量加减、数乘运算规则及全部运算律。2.共线向量定理，利用定理判定两向量平行，推导直线上点的向量表达式。3.共面向量定理，掌握四点共面向量判定条件，完成简单几何证明推导。难点：1.区分向量共线与空间直线平行，灵活运用数乘向量判断向量方向与长度变化。2.准确运用共面向量定理，结合空间任意一点构造式子证明四点共面。3.综合向量线性运算、共线共面定理，完成复杂空间几何推理证明题型。知识点一空间向量的有关概念一、空间向量的定义及表示1.定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量。2.长度（模）：空间向量的大小称为向量的长度或模，记作|a→|3.表示方法（1）几何表示法：用有向线段表示空间向量，有向线段的长度代表向量的模；（2）符号表示法：小写字母a→,b→,c→二、特殊空间向量对比表名称方向模长表示与说明零向量任意0记作0→，0单位向量任意1模长等于1的向量相反向量与原向量相反相等a→的相反向量记作-a→，AB共线（平行）向量相同或相反无限制有向线段平行或重合，0→相等向量完全相同相等模、方向全部一致，与向量摆放位置无关即学即练1．（多选）下列关于空间向量的命题中，不正确的是（

）A．长度相等、方向相同的两个向量是相等向量B．平行且模相等的两个向量是相等向量C．若，则D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同【答案】BCD【详解】对于选项A：由相等向量的定义知A正确；对于选项B：平行且模相等的两个向量也可能是相反向量，B错；对于选项C：若两个向量不相等，但模长仍可能相等，例如不共线的单位向量，C错；对于选项D：相等向量只要求长度相等、方向相同，而表示两个向量的有向线段的起点不要求相同，D错，故选：BCD．2．给出以下结论：①两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；②若空间向量、满足，则；③在正方体中，必有；④若空间向量、、满足，，则．其中不正确的命题的序号为______．【答案】①②【详解】对于①，当两个空间向量起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等；但两个向量相等，它们的起点和终点都不一定相同，①错误；对于②，根据向量相等的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量与的方向不一定相同，②错误；对于③，根据正方体的性质，在正方体中，向量与向量的方向相同，模也相等，则，③正确；对于④，由向量相等关系可知，④正确．故答案为：①②.知识点二空间向量的线性运算一、加减运算（法则同平面向量）加法运算1.三角形法则：向量首尾顺次相接，由首个起点指向最后终点的向量为和向量；2.平行四边形法则：两向量共起点，以两向量为邻边作平行四边形，共起点对角线为两向量的和。减法运算（三角形法则）两向量共起点，连接两个终点，箭头指向被减向量。二、数乘运算定义：与平面向量一致，实数λ与空间向量a→的乘积λa→几何意义：1.|λa→|=|λ|2.λ>0时，λa→与a→3.λ<0时，λa→与a→4.λ=0时，λa三、线性运算运算律（a→,b→,1.交换律：a2.结合律：(a→3.分配律：λ(a→即学即练3．在空间四边形中，（）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意得，.故选：B.4．已知长方体中，是对角线中点，化简下列表达式：(1)；(2).【答案】(1)；(2)【详解】（1）（2）知识点三共线向量与共面向量一、直线的方向向量定义：与直线l平行的非零向量，称为直线l的方向向量。一条直线有无数组互相平行的方向向量。二、共线向量1.定义：表示向量的有向线段所在直线互相平行或重合，这类向量叫做共线（平行）向量；规定0→2.共线向量定理：空间中任意两个非零向量a→,b→共线的充要条件：存在实数3.直线推论：若点P在直线AB上，空间任意一点O，满足OP→三、共面向量1.定义：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量。2.共面向量定理：若a→,b→不共线，则p→与a3.四点共面充要条件：P,A,B,C四点共面，对空间任意一点O，存在实数x,y，使OP→推广形式：存在实数m、n、p且易错提醒易错提醒1.使用OP→2.误解共面向量定义：共面向量不需要向量线段落在平面内，只要向量平行于该平面即可，向量起点可以在空间任意位置。即学即练5．在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，则和的关系是________．（填“平行”“相等”或“相反”）【答案】平行【详解】解：如图所示：设G是AC的中点，连接EG，FG，则，所以，从而∥．故答案为：平行6．对于空间一点和不共线三点，且有，则（

）A．四点共面 B．四点共面C．四点共面 D．五点共面【答案】B【详解】由，可得，即，根据平面向量的基本定理，可得共面，又因为三个向量有公共点，所以四点共面.故选：B.题型01空间向量的有关概念解题贴士解题贴士1.空间向量由大小、方向两个要素构成，记作a→、AB→，模长记作2.零向量0→3.相等向量模相等且方向相同；相反向量模相等、方向完全相反。4.共线向量即平行向量，有向线段平行或重合，0→典｜例｜精｜析【例1】下列命题中为真命题的是（

）A．向量与的长度相等B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆C．空间非零向量就是空间中的一条有向线段D．不相等的两个空间向量的模必不相等【答案】A【详解】选项A：因为空间向量与互为相反向量，所以空间向量与的长度相等，所以A正确；选项B：将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面，所以B错误；选项C：空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但空间向量不是有向线段，所以C错误；选项D：两个空间向量不相等，它们的模可能相等，也可能不相等，如向量与的模相等，所以D错误；故选：A.【例2】判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由．(1)若A，B，C，D四点在一条直线上，则与共线；(2)互为相反向量的向量的模相等；(3)任一向量与它的相反向量不相等．【答案】(1)正确(2)正确(3)不正确，理由见解析【分析】【详解】（1）正确．因为A，B，C，D四点在一条直线上，所以与一定共线．（2）正确．相反向量的模相等，但方向是相反的．（3）不正确．零向量的相反向量仍是零向量，零向量与零向量是相等的．变｜式｜巩｜固【变式1-1】（多选）下列说法正确的是（

）A．零向量没有方向B．空间向量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小C．如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等D．同向且等长的有向线段表示同一向量【答案】BD【详解】对于A：零向量的方向是任意的，A错误；对于B：空间向量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小，B正确；对于C、D：大小相等方向相同的两个向量为相等向量即同一向量，所以C中向量大小可以相等，只要方向不同即为向量不同，C错误；D符合定义，正确.故选：BD.【变式1-2】在正方体中，与向量相反的向量是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】

如图所示，可知是的相反向量.故选：A【变式1-3】已知正方体的中心为，则在下列各结论中正确的共有（）①与是一对相反向量；②与是一对相反向量；③与是一对相反向量；④与是一对相反向量．A．个 B．个 C．个 D．个【答案】C【详解】对于①，，，，与是一对相反向量，①正确；

对于②，，，又，与不是相反向量，②错误；对于③，，，，，，与是一对相反向量，③正确；对于④，，，又，与是一对相反向量，④正确.故选：C.题型02空间向量的加减、数乘运算典｜例｜精｜析【例3】求为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】原式.故选：B.【例4】在空间四边形中，等于（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】.故选：C变｜式｜巩｜固【变式2-1】在正方体中，下列各式的运算结果不为向量的是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】根据空间向量的加法法则及正方体的性质，逐一判断可知A，B，D的运算结果都为，而C中，．【变式2-2】在空间四边形中，点分别是和的中点，则（）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为点G是CD的中点，所以，所以.故选:C.【变式2-3】已知四棱锥的底面是平行四边形，，交于点，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】．故选：D题型03空间向量的线性运算典｜例｜精｜析【例5】已知三棱柱如图所示，其中，若点为棱的中点，则（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】根据空间向量的线性运算法则，可得：．故选：D【例6】如图所示，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且，，设，，，则下列等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】因，所以选项错误；因.所以选项错误；因为，所以选项错误.因为，所以选项正确；故选：.变｜式｜巩｜固【变式3-1】如图所示，已知三棱锥，点在棱上，且满足，为的中点，且，，，用，，表示，则等于（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】由已知条件和图可知，，因为，，，所以.故选：B.【变式3-2】如图所示，在平行六面体中，，，，点是的中点，点是上的点，且，则向量可表示为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】解：因为在平行六面体中，，，，点是的中点，点是上的点，且，所以，故选：D.【变式3-3】如图所示，已知矩形，为平面外一点，且平面，、分别为、上的点，且，，求满足的实数的值．【答案】，，．【详解】，所以，，，．题型04空间向量的共线问题解题贴士解题贴士注意：1.使用共线定理不标注a→≠02.混淆向量共线与空间直线平行，向量共线允许重合，直线平行不可重合。3.判定三点共线时，只证两向量共线，忽略存在公共点这一条件。典｜例｜精｜析【例7】下列条件中，能说明空间中不重合的三点A、B、C共线的是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】对于空间中的任意向量，都有，说法A错误；若，则，而，据此可知，即两点重合，选项B错误；，则线段的长度与线段的长度相等，不一定有A、B、C三点共线，选项C错误；，则A、B、C三点共线，选项D正确；故选：D.【例8】若，，，则､､（

）A．可组成锐角三角形 B．可组成直角三角形C．可组成钝角三角形 D．不构成三角形【答案】D【详解】由题知，所以共线所以､､不构成三角形.故选：D变｜式｜巩｜固【变式4-1】已知三点共线，为空间任一点，则①；②存在三个不为的实数，使，那么使①②成立的与的值分别为（

）A．1， B．，0 C．0，1 D．，0【答案】D【详解】因为三点共线，所以存在实数，满足，因为为空间任一点，所以，即，因为，所以，解得，因为存在三个不为的实数，使，所以，所以，即，所以.综上，，【变式4-2】设，是空间两个不共线的向量，已知，，，且A，B，D三点共线，则________．【答案】【详解】因为，，则，又，而A，B，D三点共线，所以存在，使得，即，所以，解得．故答案为：．【变式4-3】如图，在三棱柱中，为空间一点，且满足，，则下列说法错误的是（）A．当时，点在棱上B．当时，点在线段上C．当时，点在棱上D．当时，点在线段上【答案】B【详解】对于，当时，，，所以，则点在棱上，故正确；对于，当时，，，即，即所以点在线段上，故错误；对于，当时，，，所以，所以，即，所以点在棱上，故正确；对于，当时，所以，，所以，即，即，所以点在线段上，故正确．故选：．题型05空间向量的共面问题解题贴士解题贴士注意：1.误解共面向量，认为向量线段必须画在平面内部才是共面向量。2.使用定理时未说明基底a→典｜例｜精｜析【例9】已知空间向量不共面，则与向量共面的向量为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】对A，假设，即，则，显然无实数解，则与向量不共面，故A错误；对B，因为，所以共面，故B正确；对C，假设，即，则，显然无实数解，则与向量不共面，故C错误；对D，假设，即，则，显然无实数解，则与向量不共面，故D错误；故选：B.【例10】（多选）空间中，已知与不共线，那么“与、共面”的充分不必要条件是（

）A．存在唯一一组实数、，使得 B．C．不存在实数、，使得 D．【答案】BD【详解】根据向量基本定理，如果存在唯一一组实数、，使得，那么可以直接得出与、共面；反之，若与、共面，也一定存在唯一一组实数、，使得，所以“存在唯一一组实数、，使得”是“与、共面”的充要条件，而不是充分不必要条件，故A选项不符合要求；当时，显然可以由和线性表示，即与、共面，所以“”能推出“与、共面”；但是当与、共面时，不一定就等于，还可能有其他的线性组合形式，所以“”是“与、共面”的充分不必要条件，故B选项符合要求；“不存在实数、，使得”，这与“与、共面”是相互矛盾的关系，即“不存在实数、，使得”能推出“与、不共面”，而不是“与、共面”，所以C选项不符合要求；因为零向量与任意向量都共面，所以时，与、共面，即“”能推出“与、共面”；反之，当与、共面时，不一定为零向量，所以“”是“与、共面”的充分不必要条件，故D选项符合要求.故选：BD.变｜式｜巩｜固【变式5-1】已知四棱柱是平行六面体，空间中一点平面，实数满足，则实数（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为四点共面，所以，解得.【变式5-2】（多选）以下能够判定空间中四点共面的条件是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【详解】对于A，因为，所以共面，又因为有公共点，所以四点共面；对于B，因为，所以四点共面；对于C，因为，所以，即直线和可能异面，四点不一定共面；对于D，因为，所以，所以四点共面．故选：ABD．【变式5-3】为空间任意一点，若，若A，B，C，P四点共面，则实数等于_______.【答案】/【详解】由，则，则，由A，B，C，P四点共面，则，解得.题型06证明四点是否共面解题贴士解题贴士1.方法一：取四点P,A,B,C，证AP→2.方法二：空间任一点O，若OP→=mOA典｜例｜精｜析【例11】如图，已知平行六面体，分别是棱和的中点，求证：四点共面．【答案】证明见解析【详解】取，，，结合题图及已知，则，所以与共面，又，，所以与，共面，即四点共面.【例12】如图所示，已知，，及，，分别是异面直线，上的三点，点，，，分别是线段，，，的中点．求证：，，，四点共面．【答案】证明见解析【详解】证明：连接，，，，，．易知，，∴，．．（*）∵，，三点共线及，，三点共线，∴存在实数，，使得，，代入（*）式，得，∴，∴，，共面．又，，过同一点，∴，，，四点共面．变｜式｜巩｜固【变式6-1】如图，在正方体中，分别为棱的中点，．

(1)试用表示．(2)证明：四点共面．(3)证明：三点共线．【答案】(1)，(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】【详解】（1）依题意可得，

（2）连接．因为所以，则共面，故四点共面．（3）连接．因为，，所以，则．因为，所以三点共线．【变式6-2】在四棱柱中，，．

(1)当时，试用表示；(2)证明：四点共面；【答案】(1)(2)证明见解析【分析】【详解】（1）四棱柱中，，因为，所以；（2）设（不为0），，则共面且有公共点，则四点共面；【变式6-3】如图所示，四面体中，G，H分别是的重心，设，点D，M，N分别为BC，AB，OB的中点．(1)试用向量表示向量；(2)试用空间向量的方法证明MNGH四点共面．【答案】(1)，(2)证明见解析【分析】【详解】（1）因为，而，又D为的中点，所以，所以．（2）因为，，所以，，所以．所以四点共面．基础通关1．下列关于空间向量的命题中，正确的是（）A．将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆B．若空间向量，满足，则或；C．若空间向量满足，则；D．若空间向量满足，，则．【答案】C【详解】对于A，根据空间向量的定义，空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个球面，所以A错误；对于B，若空间向量，满足，但由于它们的方向不一定相同或相反，故不一定相等或相反，所以B错误；对于C，根据向量相等的定义可得，所以C正确；对于D，向量的平行不具有传递性，比如当为零向量时，零向量与任何向量都平行，则不一定平行，所以D错误.故选：C.2．在正方体中，与向量相等的向量有（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】如图，在正方体中，由正方体性质可知与相等的向量有.故选：A3．长方体中，，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】.故选：C4．设空间四点满足，其中，则（

）A．点一定在直线上 B．点一定不在直线上C．点不一定在直线上 D．以上答案都不对【答案】A【详解】因为，所以，而，故，所以，所以，则点一定在直线上，故A正确.故选：A5．设是空间中两个不共线的向量,已知,且三点共线,则的值为（

）A．2 B．3 C． D．8【答案】C【详解】解:由题知由于是空间中两个不共线的向量,且有,所以,因为三点共线,所以,所以存在实数,使得,所以,所以.故选:C6．已知是空间的一组基底，其中，，.若，，，四点共面，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意，设存在唯一的实数对，使得，即，则，则x=2，，，解得.故选：D.7．（多选）将正方形沿折叠如图所示，其中点分别为的中点，点将线段三等分，则（

）

A． B．C． D．【答案】AD【详解】对于A，由点分别为的中点，得，而，因此，A正确；对于B，，B错误；对于C，长度相等，方向不同，C错误；对于D，，D正确．故选：AD8．（多选）已知三点不共线，对平面外的任一点O，下列条件中能确定点共面的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【详解】因为三点不共线，若四点共面，不妨设，则，即，显然有，反之若，则有，即共面，所以共面，对于A，，有，故共面，A正确；对于B，，有，故共面，B正确；对于C，，有，故不共面，C错误；对于D，，有，故共面，D正确；故选：ABD9．已知A,B,C三点不共线，对空间任意一点O，都满足.若A,B,C,D四点共面，则m＝______.【答案】2【详解】因为A,B,C,D四点共面，所以3＋2－3m＋m＝1，解得m＝2.10．已知三棱锥中，点平面ABC，若，则__________.【答案】3【详解】由题意得，则，因为A，B，C，D四点共面，所以，解得.故答案为：311．如图，在正方体中，化简下列向量表达式：

(1)；(2)．(3)【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）；（2）；（3）.12．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足．(1)判断，，三个向量是否共面；(2)判断点M是否在平面ABC内．【答案】(1)，，共面(2)点M在平面ABC内【分析】【详解】（1）由题知，则，即，所以，，共面．（2）由（1）知，，共面且基线过同一点M，所以M，A，B，C四点共面，即点M在平面ABC内．素养提升13．在正四棱锥中，，设平面与直线交于点，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，所以，因为，所以，所以，又，所以，所以，因为共面，所以，解得.故选：D.14．已知体积为的正三棱锥的外接球的球心为，若满足，则此三棱锥外接球的半径是（

）A．2 B． C． D．【答案】D【详解】正三棱锥的外接球的球心满足，说明三角形在球的大圆上，并且为正三角形，设球的半径为，根据对称性易知：正三棱锥中顶点到底面的距离为球的半径，由正弦定理有底面三角形的边长为，棱锥的底面正三角形的高为，正三棱锥的体积为，解得，则此三棱锥外接球的半径是．故选：D.15．已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，满足，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，则，所以，，当且仅当“”即“”时取“”，故的最小值为故选：B16．已知四棱锥，底面是平行四边形，为的中点，经过直线的平面与侧棱分别交于点．设，．若，则______．【答案】/0.6【详解】连接交于点，因为底面ABCD是平行四边形，所以为的中点，由平行四边形法则可得：，故，又，，得