高等数学第1-6章复习课件含典型题型及第六章作业答案期末备考复习使用

-1-第1-6章典型题目行列式计算矩阵方程求解(先化简后计算)向量组的极大无关组及表示含参数线性方程组的解的讨论与求解(转化为向量组)二次型化标准型(求实对称矩阵的特征值与特征向量)含参数的正定矩阵判断（顺序主子式>0）-2-

-3-常见问题向量组的等价与矩阵的等价等价、相似、合同r(A+B)<=r(A)+r(B)-4-等价、相似、合同

-5-例12解-6-注：(1)(2)-7-计算

n阶行列式解将第列都加到第一列上,得

例7-8-特征1：对于所有行（列）元素相加后相等的行列式，可把第2行至n行加到第一行（列），提取公因子后在简化计算。-9-爪形行列式

例8特征2：第一行，第一列及对角线元素除外，其余元素全为零的行列式称为爪型行列式。-10-例5证明A和A+2E都可逆,并求其逆.设方阵A满足证-11-例6设A,B和A+B均可逆,证明也可逆,并求其逆.证-12-例7设A为3阶方阵,,求解-13-设即有初等矩阵使得问作一次行变换再作一次行变换继续…考虑对作行变换求逆矩阵的初等变换法-14-解矩阵方程解例12-15--16--17-与秩相关的等式、不等式设P,Q都是可逆矩阵，则

试卷汇编P35，第2题

课本P118，第14题考试时候如果不会做，代特殊值-18-设，证明A的特征值只能是0或1.

设是A的一个特征值，对应的特征向量为.则由再证：得证明n(A)+n(A-E)=n-19-例5设A是n阶的幂等矩阵（即），证明A必可对角化，并求出相应的对角矩阵.证：由前面的结果知A的特征值只可能为0或1.即从而，-20-由前面的结果知A的特征值只可能为0或1，且特征值的几何重数为，特征值的几何重数为.故A有从而A可对角化，且相应的对角矩阵为法2个线性无关的特征向量.-21-证例8-22-(5)设A是n阶方阵其中都是方阵,则称A为分块对角矩阵.

-23-例1时，有无穷多解。

，时，无解。

，时，有无穷多解。问a,b

为何值时,方程组有解,无解。解：-24-例5解：系数矩阵是方阵首选行列式法问为何值时，方程组有唯一解，无解，无穷多解。有无穷多解时，求通解。-25-分析：当时有唯一解，当时，此时系数矩阵中的参数已确定，方程组可能无解，也可能有无穷多解，这取决于右端项。再用初等行变换法加以判别。当时，方程组有唯一解。当时当时，，方程组无解。

当时，，方程组有无穷多解。-26-通解为通解的向量表示（略）k1和k2为任意实数-27-向量可由向量组线性表示存在数使即有解学会这种转换就可以了!注意:符号混用另外,如果解唯一,则表示方法是唯一的.如果……(按定义)(转换为方程组)(用矩阵的秩)方程组定理3.1.1-28-存在不全为零的数使即有非零解.还是转换！转换线性无关…向量组线性相关(按定义)(转化为方程组)齐次方程组(用矩阵的秩)把向量组排成矩阵，如果矩阵的秩等于向量的个数就线性无关，否则如果矩阵的秩小于向量的个数就线性相关。定理3.2.3证明向量组线性相关性的基本方法（向量方程）-29-(7)含有n个向量的n元向量组线性相关（无关）由它构成的n阶矩阵的行列式t

取何值时,下列向量组线性相关?解记当t=5时,上面向量组线性相关.例4-30-设线性无关,问满足什么条件,线性相关.向量组:

分析:这是一个向量组表示另一向量组的问题,就是矩阵乘法的关系。则例6经常考-31-设(要讨论上面方程组何时有非零解)(由

)-32-线性相关-33-另证:由于是列满秩矩阵,故线性相关上面秩<3殊途同归-34-例7重要结论设向量组能由向量组线性表示为且A组线性无关。证明B组线性无关的充要条件是证法一(适用于一般的线性空间)设-35-例3求向量一个最大无关组,并把其余向量用该最大无关组表出.矩阵的秩=?线性无关吗?是最大无关组吗?-36--37-是右边的最大无关组是左边的最大无关组总结矩阵的行初等变换不改变矩阵的列向量组的线性关系。引理2-38-定理

注:以前我们把向量组与它们排成矩阵的符号混用，而且把它们的秩的符号也混用正是由于三秩相等这个原因。但对于无限向量组符号就不能混用了。向量组的秩与矩阵秩的关系三秩相等定理-39-证(以前证过)例2证明齐次方程组的解集是一个向量空间.以后称为齐次方程组的解空间.看到N(A)要知道是什么，题目中可能不会解释-40-定义设是一向量组,称为由该向量组生成的(或张成的)向量空间.记为

特别地,由矩阵A的列向量生成的向量空间称为A的列空间(或称像空间或称值域).记为R(A)-41-六、正交矩阵定义正交矩阵.A

是正交矩阵定理A

的列组是规范正交组A

的行组是规范正交组-42-非齐次方程组解的存在性定理定理4.1.1对于非齐次方程组(4-1)

向量可由A的列向量组线性表示。-43-定理4.1.3对于齐次方程组(1)A的列向量组线性无关(2)A的列向量组线性相关推论1当方程的个数m小于未知量的个数n，则(4-3)必有非零解。-44-例3证明设,首先证明利用这一结论证重要结论-45-例4求一个齐次方程组,使它的基础解系为记之为AB=O,这相当于要解矩阵方程,习惯把未知的A放在右边,转置,只需解然后再把这些解拼成的列(A的行)即可.

解得基础解系设所求的齐次方程组为,则取即可.解-46-例7设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知是它的三个解向量,且求该方程组的通解.解取,则它就是解,从而也是基础解系.基础解系所含向量个数=4–3=1故非齐次方程组的通解为可能性很大-47-用正交变换化二次型为标准形的步骤-48-例2解化为标准形。求A的特征值求二次型的矩阵(P132例14)-49-求A的规范正交的特征向量单位化-50-得正交的基础解系单位化求正交变换矩阵-51