2025-2026年四川省人教版高一数学第一章函数性质练习题

2025-2026年四川省人教版高一数学第一章函数性质练习题一、单选题（总共10题，每题2分，共20分）1.根据人教版高一数学第一章函数性质的内容，函数f(x)=x³在区间(-∞,0)上的单调性是（）A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.无法确定解析：函数f(x)=x³的导数f'(x)=3x²，在区间(-∞,0)上，x²始终为正，因此f'(x)始终为正，表明函数在该区间单调递增。选项B错误，选项A正确。2.若函数f(x)在区间(a,b)上单调递增，且f(x)在该区间有定义，则下列结论正确的是（）A.对于任意x₁∈(a,b)，必有f(x₁)≥f(a)B.对于任意x₁∈(a,b)，必有f(x₁)≤f(b)C.对于任意x₁∈(a,b)，必有f(a)≤f(x₁)≤f(b)D.对于任意x₁∈(a,b)，必有f(x₁)≥f(b)解析：根据单调递增的定义，若x₂>x₁，则f(x₂)>f(x₁)。因此对于任意x₁∈(a,b)，必有f(a)≤f(x₁)≤f(b)，选项C正确。3.函数f(x)=|x-1|在区间[0,2]上的最大值和最小值分别是（）A.最大值1，最小值0B.最大值2，最小值0C.最大值1，最小值-1D.最大值2，最小值-1解析：函数f(x)=|x-1|的图像是V形，顶点为(1,0)，在区间[0,2]上，当x=0时f(x)=1，当x=1时f(x)=0，当x=2时f(x)=1，因此最大值为1，最小值为0，选项A正确。4.若函数f(x)=kx+b在区间(-∞,∞)上单调递减，则实数k的取值范围是（）A.k>0B.k<0C.k=0D.k∈R解析：一次函数f(x)=kx+b的单调性由k决定，当k>0时函数单调递增，当k<0时函数单调递减，因此k<0，选项B正确。5.函数f(x)=√(x²-2x+1)在区间(-1,3)上的值域是（）A.[0,2]B.[0,√2]C.[1,2]D.[0,1]解析：f(x)=√(x²-2x+1)=√((x-1)²)，在区间(-1,3)上，x-1的取值范围是(-2,2)，因此f(x)的取值范围是[0,2)，选项A正确。6.若函数f(x)在区间I上单调递增，且f(x)是奇函数，则函数-f(x)在区间I上的单调性是（）A.单调递增B.单调递减C.无法确定D.先增后减解析：若f(x)是奇函数，则f(-x)=-f(x)，因此-f(x)的图像是f(x)关于原点对称的图像，单调性相反，因此-f(x)在区间I上单调递减，选项B正确。7.函数f(x)=1/(x-1)在区间(2,4)上的单调性是（）A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.无法确定解析：函数f(x)=1/(x-1)的导数f'(x)=-1/(x-1)²，在区间(2,4)上，(x-1)²始终为正，因此f'(x)始终为负，表明函数在该区间单调递减，选项B正确。8.若函数f(x)=ax²+bx+c在区间(-∞,1)上单调递减，且f(0)=1，则实数a的取值范围是（）A.a>0B.a<0C.a=0D.a∈R解析：函数f(x)=ax²+bx+c的导数f'(x)=2ax+b，在区间(-∞,1)上单调递减，则f'(x)≤0恒成立，即2ax+b≤0恒成立。当a=0时，b≤0；当a≠0时，需满足a<0且2a+b≤0。结合f(0)=1，即c=1，无法确定a的具体取值，选项D正确。9.函数f(x)=sin(x+π/4)在区间(-π/2,π/2)上的单调递增区间是（）A.(-π/2,π/4)B.(π/4,π/2)C.(-π/4,π/4)D.(-π/2,-π/4)解析：函数f(x)=sin(x+π/4)的导数f'(x)=cos(x+π/4)，在区间(-π/2,π/2)上，x+π/4的取值范围是(-π/8,3π/8)，cos(x+π/4)在该区间内为正的区间是(0,π/4)，对应x的区间是(-π/4,π/4)，选项C正确。10.若函数f(x)在区间I上单调递增，且f(x)是偶函数，则函数f(x)在区间I上的单调性是（）A.单调递增B.单调递减C.无法确定D.先增后减解析：若f(x)是偶函数，则f(-x)=f(x)，因此f(x)的图像关于y轴对称。若f(x)在区间I上单调递增，则对称区间上的单调性相反，因此f(x)在区间I上单调递减，选项B正确。二、填空题（总共10题，每题2分，共20分）1.函数f(x)=x³-3x在区间(-2,2)上的最大值是______，最小值是______。参考答案：2，-2解析：函数f(x)=x³-3x的导数f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0，得x=±1。计算f(-2)=-10，f(-1)=-2，f(1)=-2，f(2)=2，因此最大值为2，最小值为-10。2.函数f(x)=|x-1|+|x+1|在区间(-∞,∞)上的最小值是______。参考答案：2解析：函数f(x)=|x-1|+|x+1|的图像是折线，在x=-1时取得最小值2。3.若函数f(x)=kx+1在区间(-∞,∞)上单调递增，则实数k的取值范围是______。参考答案：k>0解析：一次函数f(x)=kx+1的单调性由k决定，当k>0时函数单调递增。4.函数f(x)=√(4-x²)在区间[-2,2]上的值域是______。参考答案：[0,2]解析：函数f(x)=√(4-x²)是半圆的上半部分，在区间[-2,2]上，f(x)的取值范围是[0,2]。5.若函数f(x)在区间I上单调递增，且f(x)是奇函数，则函数f(-x)在区间I上的单调性是______。参考答案：单调递减解析：若f(x)是奇函数，则f(-x)=-f(x)，因此f(-x)的图像是f(x)关于原点对称的图像，单调性相反。6.函数f(x)=1/(x²-1)在区间(1,2)上的单调性是______。参考答案：单调递减解析：函数f(x)=1/(x²-1)的导数f'(x)=-2x/(x²-1)²，在区间(1,2)上，x²-1始终为正，因此f'(x)始终为负，表明函数在该区间单调递减。7.若函数f(x)=ax²+bx+c在区间(-∞,1)上单调递减，且f(0)=1，则实数b的取值范围是______。参考答案：b≤0解析：函数f(x)=ax²+bx+c的导数f'(x)=2ax+b，在区间(-∞,1)上单调递减，则f'(x)≤0恒成立，即2ax+b≤0恒成立。当a=0时，b≤0；当a≠0时，需满足a<0且2a+b≤0。结合f(0)=1，即c=1，无法确定b的具体取值，但b≤0。8.函数f(x)=cos(x-π/3)在区间(0,2π)上的单调递减区间是______。参考答案：(π/2,5π/6)解析：函数f(x)=cos(x-π/3)的导数f'(x)=-sin(x-π/3)，在区间(0,2π)上，x-π/3的取值范围是(-π/3,5π/3)，sin(x-π/3)在该区间内为正的区间是(0,π)，对应x的区间是(π/2,5π/6)。9.若函数f(x)在区间I上单调递增，且f(x)是偶函数，则函数f(x)在区间-I上的单调性是______。参考答案：单调递增解析：若f(x)是偶函数，则f(-x)=f(x)，因此f(x)的图像关于y轴对称。若f(x)在区间I上单调递增，则对称区间上的单调性相同，因此f(x)在区间-I上单调递增。10.函数f(x)=x/(x²+1)在区间(-∞,0)上的单调性是______。参考答案：单调递增解析：函数f(x)=x/(x²+1)的导数f'(x)=(1-x²)/(x²+1)²，在区间(-∞,0)上，1-x²始终为正，因此f'(x)始终为正，表明函数在该区间单调递增。三、判断题（总共10题，每题2分，共20分）1.若函数f(x)在区间I上单调递增，则对于任意x₁,x₂∈I，必有f(x₁)≥f(x₂)。（×）解析：单调递增的定义是若x₂>x₁，则f(x₂)>f(x₁)，因此应为f(x₁)≤f(x₂)。2.函数f(x)=|x|在区间(-1,1)上是单调递增的。（×）解析：函数f(x)=|x|在区间(-1,1)上不是单调的，在(0,1)上单调递增，在(-1,0)上单调递减。3.若函数f(x)在区间I上单调递减，且f(x)是奇函数，则函数f(x)在区间-I上单调递增。（√）解析：若f(x)是奇函数，则f(-x)=-f(x)，因此f(x)的图像关于原点对称。若f(x)在区间I上单调递减，则对称区间上的单调性相反，因此f(x)在区间-I上单调递增。4.函数f(x)=1/x在区间(1,2)上是单调递减的。（√）解析：函数f(x)=1/x的导数f'(x)=-1/x²，在区间(1,2)上，f'(x)始终为负，表明函数在该区间单调递减。5.若函数f(x)=ax²+bx+c在区间(-∞,1)上单调递减，则实数a的取值范围是a<0。（×）解析：函数f(x)=ax²+bx+c的导数f'(x)=2ax+b，在区间(-∞,1)上单调递减，则f'(x)≤0恒成立，即2ax+b≤0恒成立。当a=0时，b≤0；当a≠0时，需满足a<0且2a+b≤0。因此a<0或a=0且b≤0。6.函数f(x)=sin(x+π/4)在区间(-π/2,π/2)上是单调递增的。（×）解析：函数f(x)=sin(x+π/4)的导数f'(x)=cos(x+π/4)，在区间(-π/2,π/2)上，x+π/4的取值范围是(-π/8,3π/8)，cos(x+π/4)在该区间内既有正值也有负值，因此函数在该区间不是单调的。7.函数f(x)=|x-1|在区间[0,2]上的最大值是1，最小值是0。（√）解析：函数f(x)=|x-1|的图像是V形，顶点为(1,0)，在区间[0,2]上，当x=0时f(x)=1，当x=1时f(x)=0，当x=2时f(x)=1，因此最大值为1，最小值为0。8.若函数f(x)在区间I上单调递增，且f(x)是偶函数，则函数f(x)在区间I上的值域是(-∞,0]∪[0,∞)。（√）解析：若f(x)是偶函数，则f(x)的图像关于y轴对称。若f(x)在区间I上单调递增，则对称区间上的单调性相反，因此f(x)在区间I上的值域是(-∞,0]∪[0,∞)。9.函数f(x)=1/(x²+1)在区间(-∞,∞)上是单调递减的。（√）解析：函数f(x)=1/(x²+1)的导数f'(x)=-2x/(x²+1)²，在区间(-∞,0)上f'(x)为正，在(0,∞)上f'(x)为负，因此函数在区间(-∞,∞)上是单调递减的。10.函数f(x)=x³在区间(-∞,∞)上是单调递增的。（√）解析：函数f(x)=x³的导数f'(x)=3x²，在区间(-∞,∞)上始终为正，表明函数在该区间单调递增。四、简答题（总共4题，每题4分，共16分）1.简述函数单调性的定义及其几何意义。参考答案：函数单调性的定义：若对于区间I上的任意两个自变量x₁,x₂，当x₂>x₁时，总有f(x₂)>f(x₁)，则称函数f(x)在区间I上单调递增；当x₂>x₁时，总有f(x₂)<f(x₁)，则称函数f(x)在区间I上单调递减。几何意义：函数f(x)在区间I上单调递增，则其图像在区间I上是上升的；函数f(x)在区间I上单调递减，则其图像在区间I上是下降的。2.判断函数f(x)=x³-3x+1在区间(-∞,∞)上是否单调，并说明理由。参考答案：函数f(x)=x³-3x+1的导数f'(x)=3x²-3。令f'(x)=0，得x=±1。在区间(-∞,-1)上，f'(x)>0，函数单调递增；在区间(-1,1)上，f'(x)<0，函数单调递减；在区间(1,∞)上，f'(x)>0，函数单调递增。因此函数f(x)在区间(-∞,∞)上不是单调的。3.若函数f(x)在区间I上单调递增，且f(x)是奇函数，则函数f(-x)在区间I上的单调性如何？参考答案：若f(x)是奇函数，则f(-x)=-f(x)，因此f(-x)的图像是f(x)关于原点对称的图像。若f(x)在区间I上单调递增，则对称区间上的单调性相反，因此f(-x)在区间I上单调递减。4.函数f(x)=|x|在区间(-1,1)上的单调性如何？参考答案：函数f(x)=|x|在区间(-1,1)上不是单调的，在(0,1)上单调递增，在(-1,0)上单调递减。因为其导数在x=0处不存在，导致单调性在x=0处发生改变。五、应用题（总共4题，每题6分，共24分）1.已知函数f(x)=ax²+bx+c在区间(-∞,1)上单调递减，且f(0)=1，f(1)=3，求实数a的取值范围。参考答案：由f(0)=1，得c=1；由f(1)=3，得a+b+1=3，即a+b=2。函数f(x)=ax²+bx+1的导数f'(x)=2ax+b，在区间(-∞,1)上单调递减，则f'(x)≤0恒成立，即2ax+b≤0恒成立。当x=1时，2a+b≤0，即2a+2≤0，得a≤-1。因此实数a的取值范围是a≤-1。2.求函数f(x)=√(x²-2x+1)在区间[0,3]上的最大值和最小值。参考答案：函数f(x)=√(x²-2x+1)=√((x-1)²)=|x-1|，在区间[0,3]上，当x=1时f(x)=0，当x=0或x=3时f(x)=1，因此最大值为1，最小值为0。3.若函数f(x)=kx+b在区间(-∞,∞)上单调递增，且f(1)=2，f(2)=5，求实数k的值。参考答案：由f(1)=2，得k+b=2；由f(2)=5，得2k+b=5。解方程组：k+b=22k+b=5得k=3，b=-1。因此实数k的值为3。4.求函数f(x)=sin(x+π/4)在区间(π/4,π/2)上的单调区间。参考答案：函数f(x)=sin(x+π/4)的导数f'(x)=cos(x+π/4)，在区间(π/4,π/2)上，x+π/4的取值范围是(π/2,3π/4)，cos(x+π/4)在该区间内为负的区间是(π/2,3π/4)，因此f'(x)始终为负，表明函数在该区间单调递减。【标准答案及解析】一、单选题1.A2.C3.B4.B5.A6.B7.B8.D9.C10.B二、填空题1.2，-102.23.k>04.[0,2]5.单调递减6.单调递减7.b≤08.(π/2,5π/6)9.单调递增10.单调递增三、判断题1.×2.×3.√4.√5.×6.×7.√8.√9.√10.√四、简答题1.参考答案：函数单调性的定义：若对于区间I上的任意两个自变量x₁,x₂，当x₂>x₁时，总有f(x₂)>f(x₁)，则称函数f(x)在区间I上单调递增；当x₂>x₁时，总有f(x₂)<f(x₁)，则称函数f(x)在区间I上单调递减。几何意义：函数f(x)在区间I上单调递增，则其图像在区间I上是上升的；函数f(x)在区间I上单调递减，则其图像在区间I上是下降的。2.参考答案：函数f(x)=x³-3x+1的导数f'(x)=3x²-3。令f'(x)=0，得x=±1。在区间(-∞,-1)上，f'(x)>0，函数单调递增