2026年苏教版高二数学第五章不等式证明同步练习题

2026年苏教版高二数学第五章不等式证明同步练习题一、单选题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知实数a，b满足a+b=2，则ab的最大值为（）A.1B.2C.3D.4解析：根据基本不等式，当且仅当a=b=1时，ab取得最大值1。若a+b=2，则ab≤1，当且仅当a=b=1时取等号。2.若a>0，b>0，且ab=1，则a+b与2的关系为（）A.a+b=2B.a+b>2C.a+b<2D.无法确定解析：根据均值不等式，a+b≥2√ab=2，当且仅当a=b=1时取等号。3.已知函数f(x)=x²-2x+3，则对于任意x₁∈R，x₂∈R，且x₁≠x₂，下列不等式恒成立的是（）A.f(x₁)+f(x₂)>2f(1)B.f(x₁)-f(x₂)<0C.f(x₁)+f(x₂)=2f(1)D.f(x₁)-f(x₂)>0解析：f(x)的对称轴为x=1，开口向上，故f(x₁)+f(x₂)≥2f(1)，当且仅当x₁=x₂=1时取等号，选项A正确。4.若a²+b²=2，则a+b的最大值为（）A.√2B.2C.√3D.3解析：由(a+b)²≤2(a²+b²)=4，得-2≤a+b≤2，故最大值为2，当且仅当a=b=1时取等号。5.已知x>0，y>0，且x+y=1，则3x+4y的最小值为（）A.4B.5C.7D.8解析：设z=3x+4y，则z=7+(3y+4x)(3x+4y)/(x+y)=7+7(3y+4x)/1≥7+7×2√12=7+28=35，当且仅当x=4/7，y=3/7时取等号。6.若a>b>0，则下列不等式一定成立的是（）A.a²>b²B.1/a<1/bC.√a>√bD.a³>b³解析：由a>b>0，得a²>b²，1/a<1/b，√a>√b，a³>b³均成立，选项全对，但需选一个，故选D。7.已知0<a<1，b>1，则下列不等式恒成立的是（）A.b²>a²B.ab>1C.a²>b²D.1/b<1/a解析：由0<a<1，b>1，得b²>a²，ab<1，a²<b²，1/b<1/a均成立，故选A。8.若x>1，y>1，且x+y=4，则lnx+lny的最小值为（）A.2ln2B.ln4C.2ln4D.ln2解析：lnx+lny=ln(xy)≥ln(√xy)²=2ln(√(xy))≥2ln(√(1×3))=2ln√3，当且仅当x=y=2时取等号。9.已知f(x)=x³-3x+1，则f(x)在区间[-2,2]上的最小值是（）A.-8B.-1C.0D.1解析：f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0得x=±1，f(-2)=-8，f(-1)=1，f(1)=-1，f(2)=3，故最小值为-8。10.若a>b>0，则下列不等式不成立的是（）A.a³>b³B.a²>b²C.√a>√bD.1/a<1/b解析：由a>b>0，得a³>b³，a²>b²，√a>√b，1/a<1/b均成立，但需选一个不成立的，故无正确选项。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若a>1，b>1，且ab=10，则lna+lnb的取值范围是________。解：lna+lnb=ln(ab)=ln10，故取值范围是{ln10}。2.已知x>0，y>0，且x+y=4，则2x+3y的最小值为________。解：设z=2x+3y，则z=12+(6y+2x)(2x+3y)/(x+y)=12+12(6y+2x)/4≥12+12×2√12=12+28=40，当且仅当x=6/5，y=4/5时取等号。3.若a>b>0，则(a+1)/(b+1)与a/b的关系是________。解：由a>b>0，得(a+1)/(b+1)>a/b，即分母增大使比值变小。4.已知x>0，y>0，且x²+y²=1，则x+2y的最小值为________。解：设z=x+2y，则z=1+(x²+4y²)(x+2y)/(x²+y²)=1+5(x+2y)/1≥1+5×2√2=1+10√2，当且仅当x=2√2/3，y=√2/3时取等号。5.若a>b>0，则1/a²+1/b²与1/(ab)的关系是________。解：由均值不等式，1/a²+1/b²≥2√(1/a²•1/b²)=2/(ab)，故1/a²+1/b²>1/(ab)。6.已知x>1，则x+1/x的最小值为________。解：x+1/x≥2√x•1/x=2，当且仅当x=1时取等号，但x>1，故无最小值。7.若a>b>0，则a³+b³与a²+b²的关系是________。解：由a>b>0，得a³>b³，a²>b²，故a³+b³>a²+b²。8.已知0<a<1，b>1，则ab与a+b的关系是________。解：由0<a<1，b>1，得ab<1，a+b>1，故ab<a+b。9.若x>0，y>0，且x+y=1，则x²+y²的取值范围是________。解：x²+y²=1-2xy≤1-2(1/2)²=1-1/2=1/2，当且仅当x=y=1/2时取等号，故取值范围是[1/2,1]。10.若a>b>0，则a²-b²与a-b的关系是________。解：a²-b²=(a+b)(a-b)>a-b，故a²-b²>a-b。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若a>b>0，则1/a>1/b恒成立。（）解：正确，由倒数的性质知a>b>0时1/a<1/b。2.若x>0，y>0，且x+y=1，则x²+y²≥1/2恒成立。（）解：正确，x²+y²=1-2xy≤1-2(1/2)²=1/2，当且仅当x=y=1/2时取等号。3.若a²+b²=1，则a+b≤1恒成立。（）解：正确，(a+b)²≤2(a²+b²)=2，故-√2≤a+b≤√2，当且仅当a=b=√2/2时取等号。4.若a>b>0，则a³+b³>a²+b²恒成立。（）解：正确，由a>b>0，得a³>b³，a²>b²，故a³+b³>a²+b²。5.若x>1，则x+1/x>2恒成立。（）解：正确，由均值不等式x+1/x≥2√x•1/x=2，当且仅当x=1时取等号，但x>1，故x+1/x>2。6.若a>b>0，则a²-b²>a-b恒成立。（）解：正确，a²-b²=(a+b)(a-b)>a-b，故a²-b²>a-b。7.若x>0，y>0，且x+y=1，则x³+y³≥1/3恒成立。（）解：正确，x³+y³=1-3xy+3x²y²≤1-3(1/2)²+3(1/2)²=1/4，当且仅当x=y=1/2时取等号。8.若a>b>0，则a³+b³≥a²+b²恒成立。（）解：正确，由a>b>0，得a³>b³，a²>b²，故a³+b³>a²+b²。9.若x>0，y>0，且x+y=1，则x²+y²≥2xy恒成立。（）解：正确，x²+y²=1-2xy≥2xy，当且仅当x=y=1/2时取等号。10.若a>b>0，则a²+b²≥2ab恒成立。（）解：正确，由均值不等式(a+b)²≥4ab，得a²+b²≥2ab。四、简答题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.证明：若a>b>0，则√a-√b<√a-√b²。证明：由a>b>0，得√a>√b>0，故√a-√b>0，√a-√b²=√a-√(a²)=√a(√1-√a)=√a√(1-√a)，显然√a-√b<√a-√b²。2.证明：若x>0，y>0，且x+y=1，则x³+y³≥1/9。证明：x³+y³=1-3xy+3x²y²≤1-3(1/2)²+3(1/2)²=1/4，当且仅当x=y=1/2时取等号，故x³+y³≥1/9。3.证明：若a>b>0，则a²+b²≥2(a-b)。证明：a²+b²-2(a-b)=a²+b²-2a+2b=(a-1)²+(b+1)²≥0，故a²+b²≥2(a-b)。4.证明：若x>0，y>0，且x+y=1，则x²+y²≥2xy。证明：x²+y²=1-2xy≥2xy，当且仅当x=y=1/2时取等号，故x²+y²≥2xy。五、应用题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）1.某工厂生产两种产品A和B，已知生产每吨A产品需要消耗原料10吨，生产每吨B产品需要消耗原料8吨，且每天原料供应总量不超过100吨。若每吨A产品利润为3万元，每吨B产品利润为4万元，问如何安排生产才能使利润最大？解：设生产A产品x吨，B产品y吨，利润为z万元，则z=3x+4y，约束条件为10x+8y≤100，x≥0，y≥0。由10x+8y=100，得y=(100-10x)/8，代入z得z=3x+4(100-10x)/8=3x+50-5x=50-2x，当x=0时z最大，即不生产A产品，生产B产品12.5吨，利润最大为50万元。2.某学校组织学生去科技馆参观，租用客车若干辆，每辆客车限载45人，若每辆客车坐40人，则有10人无车坐；若每辆客车坐36人，则有一辆车不满载。问租用客车多少辆？解：设租用客车n辆，则学生总数为40(n-1)+10=36n+4，解得n=7，即租用7辆客车。3.某商品售价为每件100元，成本为每件60元，若销售量y件与广告费x元满足关系y=500√(1+x/25)，求广告费投入多少元时利润最大？解：利润z=(100-60)y-x=40×500√(1+x/25)-x=20000√(1+x/25)-x，令t=√(1+x/25)，则z=20000t-25t²，当t=1时z最大，即x=0，但需考虑实际意义，故需进一步计算。4.某农场种植两种作物A和B，种植1亩A作物需劳动力20人天，种植1亩B作物需劳动力15人天，且每天劳动力供应不超过300人天。若每亩A作物产值500元，每亩B作物产值600元，问如何安排种植才能使产值最大？解：设种植A作物x亩，B作物y亩，产值z元，则z=500x+600y，约束条件为20x+15y≤300，x≥0，y≥0。由20x+15y=300，得y=(300-20x)/15，代入z得z=500x+600(300-20x)/15=500x+12000-80x=12000+420x，当x=0时z最大，即不种植A作物，种植B作物20亩，产值最大为12000元。【标准答案及解析】一、单选题1.A2.B3.A4.B5.B6.D7.A8.A9.A10.无正确选项解析：第10题需改为"若a>b>0，则下列不等式不成立的是（）"并选D，即1/a<1/b不成立。二、填空题1.ln102.403.>4.1+5√25.>6.无最小值7.>8.<9.[1/2,1]10.>解析：第6题需改为"若x>1，则x+1/x的最小值是________"，答案为无最小值。三、判断题1.×2.√3.√4.√5.√6.√7.√8.√9.√10.√解析：第1题需改为"若a>b>0，则1/a>1/b恒成立。（）"，答案为×。四、简答题1.证明：由a>b>0，得√a>√b>0，故√a-√b>0，√a-√b²=√a(√1-√a)，显然√a-√b<√a-√b²。2.证明：x³+y³=1-3xy+3x²y²≤1-3(1/2)²+3(1/2)²=1/4，当且仅当x=y=1/2时取等号，故x³+y³≥1/9。3.证明：a²+b²-2(a-b)=a²+b²-2a+2b=(a-1)²+(b+1)²≥0，故a²+b²≥2(a-b)。4.证明：x²+y²=1-2xy≥2xy，当且仅当x=y=1/2时取等号，故x²+y²≥2xy。五、应用题1.解：设生产A产品x吨，B产品y吨，利润为z万元，则z=3x+4y，约束条件为10x+8y≤100，x≥0，y≥0。由10x+8y=100，得y=(100-10x)/8，代入z得z=3x+4(100-10x)/8=3x+50-5x=50-2x，当x=0时z最大，即不生产A产品，生产B产品12.5吨，利润最大为50万元。2.解：设租用客车n辆，则学生总数为40(n-1)+10=36n+4，解得n=7，即租用7辆客车。3.解：利润z=(100