2025-2026年高中数学高三第九章排列组合与概率练习题

2025-2026年高中数学高三第九章排列组合与概率练习题一、单选题（总共10题，每题2分，共20分）1.某班级有6名男生和4名女生，现要选出3名代表参加数学竞赛，其中至少包含1名女生，则不同的选法共有（）种。A.160种B.240种C.320种D.400种解析：本题考查组合数的实际应用。至少包含1名女生的选法可分为三类：1名女生2名男生、2名女生1名男生、3名女生。分别计算各类选法数目：C(4,1)×C(6,2)=4×15=60种，C(4,2)×C(6,1)=6×6=36种，C(4,3)=4种。总数为60+36+4=100种。选项B、C、D计算错误，未考虑组合顺序或分类计数原理。正确答案为A。2.从1到10这10个自然数中任取3个不同的数，使其和为偶数的选法共有（）种。A.80种B.100种C.120种D.140种解析：本题考查组合与分类思想。三个数的和为偶数，可能情况为：三偶数、两奇一偶。三偶数有C(5,3)=10种，两奇一偶有C(5,2)×C(5,1)=50种。总数为10+50=60种。选项A、C、D计算错误，可能混淆了奇偶性分类或重复计数。正确答案为B。3.一个盒子里有5个红球、4个白球和3个黑球，现从中随机取出4个球，则取出的4个球颜色各不相同的概率为（）。A.1/14B.3/35C.2/21D.1/7解析：本题考查古典概型与组合计算。总取法数为C(12,4)=495种。颜色各不相同的取法为C(5,1)×C(4,1)×C(3,1)=60种。概率为60/495=2/21。选项A、B、D计算错误，可能错误计算了组合数或概率公式。正确答案为C。4.某校举行数学竞赛，共有5道选择题和4道填空题，规定每题至少答对3道才能获奖。某学生随机答题，则他能获奖的概率为（）。A.1/16B.3/16C.5/16D.7/16解析：本题考查二项分布与概率计算。答对3道的选择题有C(5,3)=10种，答对3道填空题有C(4,3)=4种，答对3道选择题2道填空题有C(5,3)×C(4,2)=40种，答对4道选择题有C(5,4)=5种，答对4道填空题有C(4,4)=1种。获奖情况为答对3道以上，即10+4+40+5+1=60种。总情况为2^9=512种。概率为60/512=15/128。选项A、B、C、D均计算错误。正确答案为无选项。5.在一个不透明的袋子里装有标号为1、2、3、4、5的5个小球，每次随机取出1个球记下号码后放回，连续取3次，则取出的3个号码都不相等的概率为（）。A.8/27B.1/3C.2/9D.1/27解析：本题考查独立重复试验与古典概型。每次取球后放回，取到不同号码的概率为(5-1)/5×(5-1)/5×(5-1)/5=4/5×4/5×4/5=64/125。选项A、C、D计算错误，可能混淆了概率公式或独立事件计算。正确答案为B。6.某小组有6名男生和4名女生，现要排成一排，其中甲、乙两名女生不能相邻的排法共有（）种。A.1440种B.2880种C.720种D.480种解析：本题考查排列与插空法。先排6名男生有6!种，男生间有7个空位，插入甲、乙两名女生有A(7,2)=42种。总数为6!×42=2880种。选项A、C、D计算错误，可能未考虑插空法或排列顺序。正确答案为B。7.从1到100这100个自然数中任取3个不同的数，使其乘积为偶数的选法共有（）种。A.5400种B.6400种C.7200种D.8000种解析：本题考查分类计数与组合计算。乘积为偶数，可能情况为：1偶2奇、3偶、2偶1奇。1偶2奇有C(50,1)×C(50,2)=122500种，3偶有C(50,3)=19600种，2偶1奇有C(50,2)×C(50,1)=12500种。总数为122500+19600+12500=156500种。选项A、B、C、D均计算错误。正确答案为无选项。8.一个盒子里有10张卡片，分别标有数字1到10，现从中随机取出3张，则取出的3张卡片数字都不相邻的概率为（）。A.1/20B.3/10C.1/12D.1/6解析：本题考查排列组合与概率计算。总取法数为C(10,3)=120种。不相邻的取法为(1,3,5)、(1,3,6)、...、(8,10)共8种。概率为8/120=1/15。选项A、B、C、D均计算错误。正确答案为无选项。9.某班级有60名学生，现要随机分成6个小组，每组10人，则某两名学生分在同一组的概率为（）。A.1/6B.1/60C.1/10D.1/1510.在一个不透明的袋子里装有标号为1、2、3、4、5的5个小球，每次随机取出1个球记下号码后放回，连续取3次，则取出的3个号码的数字之和为奇数的概率为（）。A.1/8B.3/8C.1/4D.1/2解析：本题考查独立重复试验与概率计算。取到奇数的概率为3/5，取到偶数的概率为2/5。数字之和为奇数的情况为：奇偶奇、偶奇偶、奇奇偶，概率为(3/5)×(2/5)×(3/5)+(2/5)×(3/5)×(2/5)+(3/5)×(3/5)×(2/5)=27/125+12/125+18/125=57/125。选项A、B、C计算错误，可能混淆了奇偶性概率或独立事件计算。正确答案为D。二、填空题（总共10题，每题2分，共20分）1.从6名男生和4名女生中选出3名代表参加数学竞赛，其中至少包含1名女生，则不同的选法共有___种。参考答案：100种解析：分类计数：1女2男有C(4,1)×C(6,2)=60种，2女1男有C(4,2)×C(6,1)=36种，3女有C(4,3)=4种。总数为60+36+4=100种。2.从1到10这10个自然数中任取3个不同的数，使其和为3的倍数的选法共有___种。参考答案：80种解析：分类计数：3个奇数有C(5,3)=10种，3个偶数有C(5,3)=10种，1偶2奇中3+6+9、5+6+8等共60种。总数为10+10+60=80种。3.一个盒子里有5个红球、4个白球和3个黑球，现从中随机取出4个球，则取出的4个球颜色各不相同的概率为___。参考答案：2/21解析：总取法数为C(12,4)=495种。颜色各不相同的取法为C(5,1)×C(4,1)×C(3,1)=60种。概率为60/495=2/21。4.某校举行数学竞赛，共有5道选择题和4道填空题，规定每题至少答对3道才能获奖。某学生随机答题，则他能获奖的概率为___。参考答案：15/128解析：答对3道的选择题有C(5,3)=10种，答对3道填空题有C(4,3)=4种，答对3道选择题2道填空题有C(5,3)×C(4,2)=40种，答对4道选择题有C(5,4)=5种，答对4道填空题有C(4,4)=1种。获奖情况为答对3道以上，即10+4+40+5+1=60种。总情况为2^9=512种。概率为60/512=15/128。5.在一个不透明的袋子里装有标号为1、2、3、4、5的5个小球，每次随机取出1个球记下号码后放回，连续取3次，则取出的3个号码的数字之和为偶数的概率为___。参考答案：3/8解析：取到偶数的概率为2/5，取到奇数的概率为3/5。数字之和为偶数的情况为：偶偶、偶奇偶、奇偶偶、奇奇，概率为(2/5)×(2/5)+(2/5)×(3/5)×(2/5)+(3/5)×(2/5)×(2/5)+(3/5)×(3/5)=4/25+12/125+12/125+9/25=56/125=3/8。6.某小组有6名男生和4名女生，现要排成一排，其中甲、乙两名女生不能相邻的排法共有___种。参考答案：2880种解析：先排6名男生有6!种，男生间有7个空位，插入甲、乙两名女生有A(7,2)=42种。总数为6!×42=2880种。7.从1到100这100个自然数中任取3个不同的数，使其乘积为奇数的选法共有___种。参考答案：10000种解析：乘积为奇数，必须全为奇数。奇数有50个，选法为C(50,3)=19600种。8.一个盒子里有10张卡片，分别标有数字1到10，现从中随机取出3张，则取出的3张卡片数字都不相邻的概率为___。参考答案：1/15解析：总取法数为C(10,3)=120种。不相邻的取法为(1,3,5)、(1,3,6)、...、(8,10)共8种。概率为8/120=1/15。9.某班级有60名学生，现要随机分成6个小组，每组10人，则某两名学生分在同一组的概率为___。参考答案：1/610.在一个不透明的袋子里装有标号为1、2、3、4、5的5个小球，每次随机取出1个球记下号码后放回，连续取3次，则取出的3个号码的数字之和大于10的概率为___。参考答案：1/5解析：所有可能情况为5×5×5=125种。和大于10的情况为：1+4+5、1+5+4、2+3+5、2+4+4、2+4+5、2+5+3、2+5+4、3+3+4、3+3+5、3+4+3、3+4+4、3+4+5、3+5+3、3+5+4、4+2+5、4+3+3、4+3+4、4+3+5、4+4+2、4+4+3、4+4+4、4+4+5、4+5+2、4+5+3、4+5+4、5+1+4、5+2+3、5+2+4、5+3+3、5+3+4、5+4+2、5+4+3、5+4+4、5+4+5共25种。概率为25/125=1/5。三、判断题（总共10题，每题2分，共20分）1.从6名男生和4名女生中选出3名代表参加数学竞赛，其中至少包含1名女生，则不同的选法共有C(6,3)+C(4,3)=40种。（×）解析：错误。正确选法为C(4,1)×C(6,2)+C(4,2)×C(6,1)+C(4,3)=60+36+4=100种。2.从1到10这10个自然数中任取3个不同的数，使其和为偶数的选法共有C(5,3)+C(5,1)×C(5,2)=100种。（√）解析：正确。三偶数有C(5,3)=10种，两奇一偶有C(5,2)×C(5,1)=50种。总数为60种。3.一个盒子里有5个红球、4个白球和3个黑球，现从中随机取出4个球，则取出的4个球颜色各不相同的概率为C(5,1)×C(4,1)×C(3,1)/C(12,4)=1/33。（×）解析：错误。正确概率为C(5,1)×C(4,1)×C(3,1)/C(12,4)=60/495=2/21。4.某校举行数学竞赛，共有5道选择题和4道填空题，规定每题至少答对3道才能获奖。某学生随机答题，则他能获奖的概率为C(5,3)+C(4,3)+C(5,2)×C(4,2)=55/128。（×）解析：错误。正确概率为60/512=15/128。5.在一个不透明的袋子里装有标号为1、2、3、4、5的5个小球，每次随机取出1个球记下号码后放回，连续取3次，则取出的3个号码的数字之和为奇数的概率为3/8。（√）解析：正确。和为奇数的情况为：奇偶奇、偶奇偶、奇偶偶、奇奇，概率为3/8。6.某小组有6名男生和4名女生，现要排成一排，其中甲、乙两名女生不能相邻的排法共有6!×A(7,2)=10080种。（√）解析：正确。先排6名男生有6!种，男生间有7个空位，插入甲、乙两名女生有A(7,2)=42种。总数为6!×42=2880种。7.从1到100这100个自然数中任取3个不同的数，使其乘积为奇数的选法共有C(50,3)=19600种。（√）解析：正确。乘积为奇数，必须全为奇数。奇数有50个，选法为C(50,3)=19600种。8.一个盒子里有10张卡片，分别标有数字1到10，现从中随机取出3张，则取出的3张卡片数字都不相邻的概率为C(8,3)/C(10,3)=56/120=7/15。（×）解析：错误。正确概率为8/120=1/15。9.某班级有60名学生，现要随机分成6个小组，每组10人，则某两名学生分在同一组的概率为C(58,9)/C(60,10)=1/6。（√）解析：正确。某两名学生分在同一组，可视为固定一组，剩余58人分成5组，方法数为C(58,9)×C(49,9)×C(40,9)×C(31,9)×C(22,9)/5!。概率为1/6。10.在一个不透明的袋子里装有标号为1、2、3、4、5的5个小球，每次随机取出1个球记下号码后放回，连续取3次，则取出的3个号码的数字之和大于10的概率为1/5。（√）解析：正确。所有可能情况为125种。和大于10的情况为25种。概率为25/125=1/5。四、简答题（总共4题，每题4分，共16分）1.某班级有6名男生和4名女生，现要选出3名代表参加数学竞赛，其中至少包含1名女生，则不同的选法共有多少种？请写出计算过程。参考答案：不同的选法共有100种。解析：分类计数：1女2男有C(4,1)×C(6,2)=60种，2女1男有C(4,2)×C(6,1)=36种，3女有C(4,3)=4种。总数为60+36+4=100种。2.从1到10这10个自然数中任取3个不同的数，使其和为3的倍数的选法共有多少种？请写出计算过程。参考答案：不同的选法共有80种。解析：分类计数：3个奇数有C(5,3)=10种，3个偶数有C(5,3)=10种，1偶2奇中3+6+9、5+6+8等共60种。总数为10+10+60=80种。3.一个盒子里有5个红球、4个白球和3个黑球，现从中随机取出4个球，则取出的4个球颜色各不相同的概率是多少？请写出计算过程。参考答案：概率为2/21。解析：总取法数为C(12,4)=495种。颜色各不相同的取法为C(5,1)×C(4,1)×C(3,1)=60种。概率为60/495=2/21。4.在一个不透明的袋子里装有标号为1、2、3、4、5的5个小球，每次随机取出1个球记下号码后放回，连续取3次，则取出的3个号码的数字之和为偶数的概率是多少？请写出计算过程。参考答案：概率为3/8。解析：取到偶数的概率为2/5，取到奇数的概率为3/5。数字之和为偶数的情况为：偶偶、偶奇偶、奇偶偶、奇奇，概率为(2/5)×(2/5)+(2/5)×(3/5)×(2/5)+(3/5)×(2/5)×(2/5)+(3/5)×(3/5)=4/25+12/125+12/125+9/25=56/125=3/8。五、应用题（总共4题，每题6分，共24分）1.某学校举行数学竞赛，共有5道选择题和4道填空题，规定每题至少答对3道才能获奖。某学生随机答题，求他能获奖的概率。案例背景：某学生随机答题，求他能获奖的概率。参考答案：他能获奖的概率为15/128。解析：答对3道的选择题有C(5,3)=10种，答对3道填空题有C(4,3)=4种，答对3道选择题2道填空题有C(5,3)×C(4,2)=40种，答对4道选择题有C(5,4)=5种，答对4道填空题有C(4,4)=1种。获奖情况为答对3道以上，即10+4+40+5+1=60种。总情况为2^9=512种。概率为60/512=15/128。2.一个盒子里有10张卡片，分别标有数字1到10，现从中随机取出3张，求取出的3张卡片数字都不相邻的概率。案例背景：现从中随机取出3张，求取出的3张卡片数字都不相邻的概率。参考答案：概率为1/15。解析：总取法数为C(10,3)=120种。不相邻的取法为(1,3,5)、(1,3,6)、...、(8,10)共8种。概率为8/120=1/15。3.某班级有60名学生，现要随机分成6个小组，每组10人，求某两名学生分在同一组的概率。案例背景：现要随机分成6个小组，求某两名学生分在同一组的概率。参考答案：概率为1/6。4.在一个不透明的袋子里装有标号为1、2、3、4、5的5个小球，每次随机取出1个球记下号码后放回，连续取3次，求取出的3个号码的数字之和大于10的概率。案例背景：连续取3次，求取出的3个号码的数字之和大于10的概率。参考答案：概率为1/5。解析：所有可能情况为5×5×5=125种。和大于10的情况为：1+4+5、1+5+4、2+3+5、2+4+4、2+4+5、2+5+3、2+5+4、3+3+4、3+3+5、3+4+3、3+4+4、3+4+5、3+5+3、3+5+4、4+2+5、4+3+3、4+3+4、4+3+5、4+4+2、4+4+3、4+4+4、4+4+5、4+5+2、4+5+3、4+5+4、5+1+4、5+2+3、5+2+4、5+3+3、5+3+4、5+4+2、5+4+3、5+4+4、5+4+5共25种。概率为25/125=1/5。【标准答案及解析】一、单选题1.A2.B3.C4.无5.B6.B7.无8.无9.A10.D二、填空题1.1002.803.2/214.15/1285.3/86.28807.100008.1/159.1/610.1/5三、判断题1.×2.√3.×4.×5.√6.√7.√8.×9.√10.√四、简答题1.参考答案：100种。解析：分类计数：1女2男有C(4,1)×C(6,2)=60种，2女1男有C(4,2)×C(6,1)=36种，3女有C(4,3)=4种。总数为60+36+4=100种。2.参考答案：80种。解析：分类计数：3个奇数有C(5,3)=10种，3个偶数有C(5,3)=10种，1偶2奇中3+6+9、5+6+8等