2025-2026年对口升学考试数学数列知识点巩固习题

2025-2026年对口升学考试数学数列知识点巩固习题一、单选题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，若a_3+a_7=12，a_5=4，则该数列的通项公式a_n为（）A.2n-6B.2n-8C.3n-15D.4n-22解析：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，代入a_5=4得2a_5=12，解得a_5=6。设公差为d，则a_5=a_1+4d=6，a_3=a_1+2d=4，联立方程解得a_1=2，d=1。故通项公式a_n=2+(n-1)×1=2n-6。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=3^n-1，则b_4的值为（）A.24B.48C.72D.96解析：由数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=S_1=2。当n≥2时b_n=3^n-1-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}。验证n=1时成立，故b_4=2×3^3=54。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=c_n+2n+1，则c_8的值为（）A.64B.81C.100D.121解析：由递推关系c_{n+1}=c_n+2n+1，可得c_2=c_1+3=4，c_3=c_2+5=9，观察发现c_n=n^2。用数学归纳法证明：当n=1时c_1=1=1^2成立；假设n=k时c_k=k^2成立，则c_{k+1}=c_k+2k+1=k^2+2k+1=(k+1)^2，故c_8=8^2=64。4.在等比数列{d_n}中，若d_2d_8=64，d_5=4，则该数列的前6项和为（）A.63B.64C.127D.128解析：由等比数列性质d_2d_8=d_5^2，代入d_5=4得d_2d_8=16=64，解得d_2=2。设公比为q，则d_2d_8=2×2q^6=64，解得q=2。故前6项和S_6=2(1+2+4+8+16+32)=126。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n(n+1)/2，则e_5的值为（）A.10B.15C.20D.25解析：由数列前n项和与通项关系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时e_1=T_1=1。当n≥2时e_n=n(n+1)/2-(n-1)n/2=2n-1。验证n=1时成立，故e_5=2×5-1=9。6.若数列{f_n}满足f_1=2，f_{n+1}=f_n/(f_n+1)，则f_4的值为（）A.1/8B.1/6C.1/4D.1/2解析：由递推关系f_{n+1}=f_n/(f_n+1)，可得f_2=f_1/(f_1+1)=2/3，f_3=f_2/(f_2+1)=2/5，f_4=f_3/(f_3+1)=2/7。观察发现f_n=2/(2n-1)，故f_4=2/7。7.在等差数列{g_n}中，若a_1+a_9=20，a_4+a_6=14，则该数列的前10项和为（）A.100B.150C.200D.250解析：由等差数列性质a_1+a_9=2a_5=20，解得a_5=10；a_4+a_6=2a_5=14，矛盾，故题设错误。重新设a_1=x，d=y，则x+9y=20，4x+5y=14，联立解得x=17，y=-1。前10项和S_10=10×17+10×(-1)×9/2=80。8.已知数列{h_n}的前n项和U_n=2^n-1，则h_6+h_7+h_8的值为（）A.64B.128C.192D.256解析：由数列前n项和与通项关系h_n=U_n-U_{n-1}（n≥2），当n=1时h_1=U_1=1。当n≥2时h_n=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^{n-1}。验证n=1时成立，故h_6+h_7+h_8=2^5+2^6+2^7=64+128+256=448。9.若数列{i_n}满足i_1=1，i_{n+1}=i_n+1/n，则i_5的值为（）A.1+1/2+1/3+1/4+1/5B.1+1/2+1/3+1/4C.1+1/2+1/3+1/4+1/6D.1+1/2+1/3+1/5解析：由递推关系i_{n+1}=i_n+1/n，可得i_2=i_1+1=2，i_3=i_2+1/2=5/2，i_4=i_3+1/3=11/6，i_5=i_4+1/4=25/12。故i_5=2-1/2-1/3-1/4+1/5。10.在等比数列{j_n}中，若j_1=1，j_3=8，则j_6的值为（）A.32B.64C.128D.256解析：设公比为q，则j_3=j_1q^2=8，解得q=2。故j_6=j_1q^5=1×2^5=32。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若等差数列{a_n}的前n项和为S_n=3n^2-2n，则该数列的通项公式a_n=________。解：由S_n=3n^2-2n，得a_n=S_n-S_{n-1}=6n-5（n≥2），当n=1时a_1=S_1=1，故a_n=6n-5。2.已知数列{b_n}的前n项和T_n=2^n-1，则b_4=________。解：由T_n=2^n-1，得b_n=T_n-T_{n-1}=2^{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=T_1=1，故b_4=2^3=8。3.若数列{c_n}满足c_1=2，c_{n+1}=c_n+3n，则c_5=________。解：由递推关系c_{n+1}=c_n+3n，可得c_2=c_1+3=5，c_3=c_2+6=11，c_4=c_3+9=20，c_5=c_4+12=32。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，则该数列的公比q=________。解：由d_4=d_2q^2，代入d_2=6，d_4=54，解得q=3。5.已知数列{e_n}的前n项和U_n=n(n+1)/2，则e_6=________。解：由U_n=n(n+1)/2，得e_n=U_n-U_{n-1}=n（n≥2），当n=1时e_1=U_1=1，故e_6=6。6.若数列{f_n}满足f_1=3，f_{n+1}=f_n/(f_n+2)，则f_3=________。解：由递推关系f_{n+1}=f_n/(f_n+2)，可得f_2=f_1/(f_1+2)=3/5，f_3=f_2/(f_2+2)=3/8。7.在等差数列{g_n}中，若a_1=5，d=-2，则该数列的前10项和S_10=________。解：由S_n=n/2[2a_1+(n-1)d]，代入n=10，a_1=5，d=-2，得S_10=10/2[2×5+(10-1)×(-2)]=10。8.已知数列{h_n}的前n项和T_n=2^n-1，则h_5+h_6+h_7+h_8+h_9+h_10的值为________。解：由T_n=2^n-1，得h_n=2^{n-1}（n≥2），故h_5+h_6+...+h_{10}=2^4+2^5+...+2^9=2^4(1+2+4+8+16)=640。9.若数列{i_n}满足i_1=1，i_{n+1}=i_n+1/n^2，则i_4=________。解：由递推关系i_{n+1}=i_n+1/n^2，可得i_2=i_1+1=2，i_3=i_2+1/4=9/4，i_4=i_3+1/9=37/36。10.在等比数列{j_n}中，若j_1=2，q=3，则j_7=________。解：由j_n=j_1q^{n-1}，代入j_1=2，q=3，得j_7=2×3^6=1458。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和为S_n=2n^2+3n，则该数列是等差数列。（）解：由S_n=2n^2+3n，得a_n=S_n-S_{n-1}=4n+1（n≥2），当n=1时a_1=S_1=5，故a_n=4n+1，是等差数列。2.在等比数列{b_n}中，若b_3=8，b_5=32，则b_4=16。（）解：由b_5=b_3q^2，代入b_3=8，b_5=32，解得q=2，故b_4=b_3q=8×2=16。3.若数列{c_n}满足c_{n+1}=c_n+1，则该数列是等差数列。（）解：由递推关系c_{n+1}=c_n+1，可得c_n=c_1+(n-1)，是等差数列。4.在等差数列{d_n}中，若a_1+a_9=20，则a_5=10。（）解：由等差数列性质a_1+a_9=2a_5，代入a_1+a_9=20，解得a_5=10。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n(n+1)/2，则e_n=n（n≥2）。（）解：由T_n=n(n+1)/2，得e_n=U_n-U_{n-1}=n（n≥2），当n=1时e_1=U_1=1，故e_n=n。6.若数列{f_n}满足f_{n+1}=f_n/(f_n+1)，则该数列是递减数列。（）解：由f_{n+1}=f_n/(f_n+1)，可得f_{n+1}<f_n，故该数列是递减数列。7.在等比数列{g_n}中，若g_1=1，g_3=8，则g_5=32。（）解：设公比为q，则g_3=g_1q^2=8，解得q=2，故g_5=g_3q^2=8×4=32。8.已知数列{h_n}的前n项和U_n=2^n-1，则h_n=2^{n-1}（n≥2）。（）解：由U_n=2^n-1，得h_n=U_n-U_{n-1}=2^{n-1}（n≥2），当n=1时h_1=U_1=1，故h_n=2^{n-1}。9.若数列{i_n}满足i_{n+1}=i_n+1/n，则该数列是等差数列。（）解：由递推关系i_{n+1}=i_n+1/n，可得i_n=i_1+(1+1/2+...+1/n)，不是等差数列。10.在等比数列{j_n}中，若j_1=2，j_4=16，则j_2=4。（）解：设公比为q，则j_4=j_1q^3=16，解得q=2，故j_2=j_1q=2×2=4。四、简答题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.已知数列{a_n}的前n项和S_n=n^2+n，求该数列的通项公式a_n。解：当n=1时a_1=S_1=2。当n≥2时a_n=S_n-S_{n-1}=2n。故a_n=2n。2.在等比数列{b_n}中，若b_1=3，b_4=81，求该数列的前6项和S_6。解：设公比为q，则b_4=b_1q^3=81，解得q=3。前6项和S_6=3(1+3+9+27+81)=3×121=363。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=2c_n+n，求c_5的值。解：由递推关系c_{n+1}=2c_n+n，可得c_2=3，c_3=7，c_4=15，c_5=31。4.在等差数列{d_n}中，若a_1=5，d=-3，求该数列的前10项和S_10。解：由S_n=n/2[2a_1+(n-1)d]，代入n=10，a_1=5，d=-3，得S_10=10/2[2×5+(10-1)×(-3)]=10。五、应用题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）1.某工厂计划每年比上一年增产设备10台，若第一年生产设备50台，求该工厂第5年的产量。解：设第n年产量为a_n，则a_n=50+(n-1)×10。第5年产量a_5=50+4×10=90台。2.某城市人口每年增长2%，若2020年人口为100万，求2025年的人口数量。解：设2020年人口为a_1=100万，增长率q=1.02，则2025年人口a_5=a_1q^4=100×1.02^4≈108.24万。3.某林场计划每年比上一年多植树2000棵，若第一年植树5000棵，求该林场第6年的植树数量。解：设第n年植树数量为b_n，则b_n=5000+(n-1)×2000。第6年植树数量b_6=5000+5×2000=15000棵。4.某公司投资一个项目，第一年投资100万元，以后每年比上一年多投资20万元，求该公司前5年的总投资额。解：设第n年投资为c_n，则c_n=100+(n-1)×20。前5年总投资S_5=5/2[2×100+(5-1)×20]=1500万元。【标准答案及解析】一、单选题1.A2.B3.A4.B5.A6.D7.C8.B9.A10.A解析：1.由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，代入a_5=4得a_1+4d=4，a_3=a_1+2d=2，联立解得a_1=2，d=1。2.由S_n=3^n-1，得b_n=S_n-S_{n-1}=2×3^{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=S_1=2，故b_4=2×3^3=54。3.由递推关系c_{n+1}=c_n+2n+1，可得c_n=c_1+(1+3+...+(2n-1))=1+n^2。4.由等比数列性质d_2d_8=d_5^2，代入d_5=4得d_2d_8=16=64，解得d_2=2，q=2。5.由S_n=n(n+1)/2，得b_n=U_n-U_{n-1}=n（n≥2），当n=1时b_1=1，故b_4=4。二、填空题1.6n-52.2^{n-1}3.324.35.n6.3/87.108.6409.37/3610.1458解析：1.由S_n=3n^2-2n，得a_n=S_n-S_{n-1}=6n-5。2.由T_n=2^n-1，得b_n=U_n-U_{n-1}=2^{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=1，故b_4=8。3.