高考数学考前训练专题六第2讲导数初步

大二轮专题复习专题六

函数与导数第2讲导数初步微点一导数的几何意义微点二三次函数图象与性质微点三含参函数的单调性专题强化练内容索引微点一导数的几何意义(1)(2025·全国Ⅰ卷)若直线y=2x+5是曲线y=ex+x+a的一条切线，则a=

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例14y=ex+x+a的导数为y'=ex+1，因为直线y=2x+5是曲线y=ex+x+a的一条切线，直线的斜率为2，令y'=ex+1=2，即ex=1，解得x=0，将x=0代入切线方程y=2x+5，可得y=2×0+5=5，所以切点坐标为(0，5)，因为切点(0，5)在曲线y=ex+x+a上，所以5=e0+0+a，即5=1+a，解得a=4.解析(2)若曲线y=ex-a(a>0)在x=0处的切线也是曲线y=ln(x+b)(b>0)的切线，则a+b=

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2

解析规律方法求曲线的切线方程要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.跟踪演练1

(1)(2024·新课标Ⅰ卷)若曲线y=ex+x在点(0，1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线，则a=

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ln2

解析

√因为f(x)=xex-t，所以f'(x)=ex(x+1)，设过点(1，0)的切线与曲线f(x)=xex-t相交于点(m，mem-t)，则切线方程为y-(mem-t)=em(m+1)(x-m)，又切线过点(1，0)，所以0-(mem-t)=em(m+1)(1-m)，根据题意可得，上式关于m的方程有3个解，即方程t=-em(m2-m-1)有3个解，所以直线y=t与y=-em(m2-m-1)的图象有3个交点，解析

解析返回微点二三次函数图象与性质

(多选)(2025·合肥模拟)设函数f(x)=x3-3x2-9x-a有三个不同的零点，从小到大依次为x1，x2，x3，则A.-27<a<5B.函数y=f(x)+a图象的对称中心为(1，-11)C.过(x1，f(x1))引曲线y=f(x)的切线，有且仅有1条D.若x1，x2，x3成等差数列，则a=-11√例2√√由f'(x)=3x2-6x-9，令f'(x)>0，解得x>3或x<-1，∴f(x)在(-∞，-1)，(3，+∞)上单调递增，在(-1，3)上单调递减.对于A，若f(x)有三个零点，则f(-1)>0>f(3)，解得-27<a<5，故A正确；对于B，令g(x)=f(x)+a=x3-3x2-9x，则g'(x)=3x2-6x-9，设h(x)=g'(x)，令h'(x)=6x-6=0得，x=1，又g(1)=-11，∴g(x)图象的对称中心为(1，-11)，故B正确；解析对于C，结合图象，过(x1，f(x1))引曲线y=f(x)的切线有2条，故C错误；对于D，f(x)=x3-3x2-9x-a=(x-x1)(x-x2)(x-x3)=x3-(x1+x2+x3)x2+(x1x2+x2x3+x3x1)x-x1x2x3，∴x1+x2+x3=3，x1x2+x2x3+x3x1=-9，

(*)x1x2x3=a，若x1，x2，x3成等差数列，则2x2=x1+x3，则x2=1，x1+x3=2，代入(*)得2+x1x3=-9，∴x1x3=-11，a=x1x3=-11，故D正确.解析规律方法函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称，则有f(a+x)=f(a-x)；函数y=f(x)的图象关于点(a，b)中心对称，则有f(x)=-f(2a-x)+2b.跟踪演练2

(多选)已知函数f(x)=x3+3x2+ax-3，则A.当a=4时，f(x)在R上单调递减B.当a<3时，f(x)有两个极值C.若f(x)有三个不同的零点x1，x2，x3，则x1x2x3=3D.过点(0，1)且与曲线y=f(x)相切的直线恰有两条√√对于A，当a=4时，f(x)=x3+3x2+4x-3，f'(x)=3x2+6x+4=3(x+1)2+1>0恒成立，故函数f(x)在R上单调递增，A错误；对于B，f'(x)=3x2+6x+a，∵a<3，Δ=36-12a>0，∴f'(x)=0有两个不相等的实数根，∴f(x)有两个极值，故B正确；对于C，∵f(x)有三个不同的零点x1，x2，x3，∴f(x)=x3+3x2+ax-3=(x-x1)(x-x2)(x-x3)，取x=0可得，f(0)=-3=-x1x2x3，∴x1x2x3=3，故C正确；解析对于D，显然点(0，1)不在y=f(x)的图象上，设切点为M(n，n3+3n2+an-3)，∵f'(x)=3x2+6x+a，∴f'(n)=3n2+6n+a，故切线方程为y-(n3+3n2+an-3)=(3n2+6n+a)(x-n)，又切线过点(0，1)，故1-(n3+3n2+an-3)=-n(3n2+6n+a)，整理得2n3+3n2+4=0，设h(n)=2n3+3n2+4，则h'(n)=6n2+6n，令h'(n)=0，得n=0或n=-1，令h'(n)>0，得n>0或n<-1，令h'(n)<0，得-1<n<0，故h(n)=2n3+3n2+4在(-∞，-1)，(0，+∞)上单调递增，在(-1，0)上单调递减，其中h(-1)=-2+3+4=5>0，h(0)=4>0，又h(-2)=0，故2n3+3n2+4=0只有1个根-2，故过点(0，1)且与曲线y=f(x)相切的直线有且仅有一条，D错误.解析返回微点三含参函数的单调性

例3由题意得函数f(x)的定义域为R，f'(x)=(x-1)ex+a(x-1)=(x-1)(ex+a).①当a≥0时，若x∈(-∞，1)，则f'(x)<0，所以f(x)在(-∞，1)上单调递减；若x∈(1，+∞)，则f'(x)>0，所以f(x)在(1，+∞)上单调递增.②当-e<a<0时，ln(-a)<1，若x∈(-∞，ln(-a))∪(1，+∞)，则f'(x)>0，所以f(x)在(-∞，ln(-a))，(1，+∞)上单调递增；若x∈(ln(-a)，1)，则f'(x)<0，所以f(x)在(ln(-a)，1)上单调递减.解③当a=-e时，ln(-a)=1，对∀x∈R，f'(x)≥0，所以f(x)在R上单调递增.④当a<-e时，ln(-a)>1，若x∈(-∞，1)∪(ln(-a)，+∞)，则f'(x)>0，所以f(x)在(-∞，1)，(ln(-a)，+∞)上单调递增；若x∈(1，ln(-a))，则f'(x)<0，所以f(x)在(1，ln(-a))上单调递减.综上所述，当a≥0时，f(x)在(-∞，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增；当-e<a<0时，f(x)在(-∞，ln(-a))，(1，+∞)上单调递增，在(ln(-a)，1)上单调递减；当a=-e时，f(x)在R上单调递增；当a<-e时，f(x)在(-∞，1)，(ln(-a)，+∞)上单调递增，在(1，ln(-a))上单调递减.解(2)(2025·威海模拟)已知函数f(x)=ax-loga(x+1)(a>1)在(0，+∞)上存在单调递减区间，则a的取值范围是A.(1，e] B.(1，e)C.[e，+∞) D.(e，+∞)√

解析规律方法(1)讨论函数的单调性一般可以归结为参数对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)函数f(x)在区间D上单调递增(或递减)，可转化为f'(x)≥0(或f'(x)≤0)在x∈D上恒成立.(3)若函数y=f(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f'(x)=0在(a，b)上有解(需验证解的两侧导数是否异号).(4)函数f(x)在区间D上存在单调递增(或递减)区间，可转化为f'(x)>0(或f'(x)<0)在x∈D上有解.

√

解析(2)(2025·张掖模拟)已知a=9eln2，b=18，c=4eln3，则a，b，c的大小关系为A.b>a>c

B.a>c>bC.a>b>c

D.b>c>a√

解析返回专题强化练对一对答案123456789101112题号12345答案BBBCB题号678910答案CBCBCD-4-e211.答案123456789101112

11.答案123456789101112

12.答案123456789101112

12.答案123456789101112

一、单项选择题1.已知f(x)为奇函数，当x<0时，f(x)=ln(-x)+3x，则曲线y=f(x)在点(1，3)处的切线方程是A.2x-y-5=0 B.2x-y+1=0C.2x+y+1=0 D.2x+y+5=0√123456789101112答案

解析123456789101112答案

√123456789101112答案

解析3.已知函数f(x)=(a2-2)lnx+ax在x=1处有极小值，则a等于A.1或-2 B.1

C.-2 D.-1√123456789101112答案

解析123456789101112答案

解析123456789101112答案

√123456789101112答案

解析123456789101112答案

√123456789101112答案

解析123456789101112答案123456789101112答案

解析

√123456789101112答案

解析123456789101112答案

解析123456789101112答案

√123456789101112答案√

解析123456789101112答案

√123456789101112答案√√

解析123456789101112答案

解析123456789101112答案

解析123456789101112答案三、填空题9.(2025·全国Ⅱ卷)若x=2是函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-a)的极值点，则f(0)=

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-4123456789101112答案

解析12345678