第7章 -方差分析（课件）-《应用统计学（第2版）》同步教学（电子工业版）

方差分析

1

第一节方差分析的基本原理

目目录录第二节单因素方差分析的过程

第三节双因素方差分析

CCOONNTTEENNTTSS

2

应用统计学

第一节方差分析的基本原理

3

应用统计学

例：消费者常会因产品或服务质量问题向消费者协会投诉。为了

对交通货运4个部门的服务质量进行评价，消费者协会在航空货

运、铁路货运、公路货运及水路货运分别抽取了不同的企业作为

样本，不同的部门投诉均值是否存在差异？

航空货运铁路货运公路货运水路货运

32444844

41372955

34643964

35525173

53484558

456860

56

4

应用统计学

方差分析的基本原理

因素(A)i

水平A1水平A2…水平Ak

5

应用统计学

方差分析的基本原理

•设因素有k个水平，每个水平的均值分别用1,2,,

k表示

§H0：12…k

§H1：1,2,，k不全相等

•方差分析：(AnalysisofVariances，简记为：ANOVA)研

究一种或多种因素对某一结果的是否有显著影响的模型

•因素：一个或多个分类型自变量

•结果：一个数值型因变量

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应用统计学

方差分析的基本原理

u组间方差

因素的不同水平之间数据误差的平方和

比如，不同行业之间的被投诉次数之间的差异

这种差异可能是由于行业本身所造成的，所形成的误差

是由系统性因素造成的，称为系统误差

u组内平方和

因素的同一水平下数据误差的平方和。

比如，同一行业下不同企业被投诉次数之间的差异。

这种差异可以看成是随机因素的影响，称为随机误差。

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方差分析的基本原理

l方差分析核心：利用组间方差与组内方差的比较来判断因素水

平对试验结果的影响。

l条件和结果：

1.若因素水平无显著影响：组间方差类似组内方差，主要

由随机差异组成，比值约为1。

2.若因素水平有显著影响：组间方差包含系统差异，超过

组内方差，比值显著大于1。

l显著性判定：方差比值超过特定临界点时，表明因素水平间存

在显著差异。

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应用统计学

方差分析的基本原理

•方差分析的基本假定

(1)每个总体都应服从正态分布：

§对于因素的每一个水平，其观察值是来自服从正态

分布总体的简单随机样本。

§比如，每个行业被投诉的次数必须服从正态分布。

(2)各个总体的方差必须相同：

§各组观察数据是从具有相同方差的总体中抽取的。

§比如，4个行业被投诉次数的方差都相等。

（3）观测值是独立的。不同观测结果之间不会相互影响。

9

应用统计学

第二节单因素方差分析的过程

10

应用统计学

•1.提出假设

•例：设1为航空货运被投诉次数的均值，2为铁路货运被投

诉次数的均值，3为公路货运被投诉次数的均值，4为水路

货运被投诉次数的均值，提出的假设为：

§H0：1234

§H1：1,2,3,4不全相等

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应用统计学

2.计算总体误差平方和

l全部观察值与总平均值x的离差平方和

l反映全部观察值的离散状况

l其计算公式为：

kni

2

SST(xijx)

i=1j1

其中，

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应用统计学

3.计算组间误差平方和

•各组平均值与总平均值x的离差平方和

•反映各总体的样本均值之间的差异程度

•计算公式为

knik

22

SSA(xix)ni(xix)

i=1j1i=1

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应用统计学

4.计算组内误差平方和

•各组样本数据与其组平均值的离差平方和

•反映各组样本观察值离散状况

•计算公式为

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应用统计学

总离差平方和(SST)、误差项离差平方和(SSE)、水平项

离差平方和(SSA)之间的关系：

SST=SSA+SSE

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应用统计学

5.计算均方差

•各误差平方和的大小与观察值的多少有关，为消除观察值

多少对误差平方和大小的影响，需要将其平均，这就是均

方，也称为方差

•由误差平方和除以相应的自由度求得

•三个平方和对应的自由度分别是

nSST的自由度为n-1，其中n为全部观察值的个数

nSSA的自由度为k-1，其中k为因素水平(总体)的个数

nSSE的自由度为n-k

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应用统计学

5.计算均方差

l组间方差MSA，计算公式为：

l组内方差MSE，计算公式为：

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应用统计学

6.计算检验统计量

18

应用统计学

方差分析的基本原理

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应用统计学

6.计算检验统计量

•将MSA和MSE进行对比，即得到所需要的检验统计量F。

•当H0为真时，二者的比值服从分子自由度为k-1、分母自由度

为n-k的F分布，即:

20

应用统计学

7.进行统计检验

F检验统计量值与给定显著性水

平下的临界值F进行比较，

作出决策：

§若F>F，

拒绝原假设H0，各总体均值

不全相等

§若F<F，

不拒绝原假设H0，各总体均

值无显著统计差异

21

应用统计学

方差分析表

方差来源平方和自由度均方F统计量

组间误差SSAk-1MSAMSA/MSE

组内误差SSEn-kMSE

总误差SST=SSA+SSEn-1---

22

应用统计学

方差分析表

方差来源平方和自由度均方F统计量

组间误差

1092.958333364.319443.45>3.1

=F0.05(3,20)

组内误差

211220105.6拒绝原假设

总误差3204.9583323

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应用统计学

单因素方差分析中的多重比较

若方差分析的结果为因子A各水平之间有显著差异，

需要进行各水平均值的两两比较,进一步检验到底哪些

均值之间存在差异。

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应用统计学

单因素方差分析中的多重比较

•通过对总体均值之间的配对比较来可采用Fisher提出的最

小显著差异方法，简写为LSD。

•LSD方法是对检验两个总体均值是否相等的t检验方法的总

体方差估计加以修正(用MSE来代替)而得到。

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应用统计学

单因素方差分析中的多重比较

1.提出假设

§H0:i=j(第i个总体的均值等于第j个总体的均值)

§H1:ij(第i个总体的均值不等于第j个总体的均值)

2.计算检验的统计量:

3.计算,自由度df=n-k

4.决策：若，拒绝H0；

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应用统计学

第三节双因素方差分析

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应用统计学

双因素方差分析

无交互作用的假定因素A和因

双因素方差分析素B的效应之间

双因是相互独立的，

素方(无重复双因素分析)

差分不存在相互关系

析的

类型

有交互作用的假定因素A和因素

双因素方差分析B的结合会产生出

(重复双因素分析)一种新的效应

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应用统计学

无重复双因素方差分析

某商品有五种不同的包装方式（因素A），在五个不同地区销

售（因素B），现从每个地区随机抽取一个规模相同的超级市场，

得到该商品不同包装的销售资料如下表.

包装方式(A)

A1A2A3A4A5

销B12012201014

售B2221020126

地

B32414181810

区

B41648618

(B)

B52622162010

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应用统计学

无重复双因素方差分析

因素A

A1A2…Ar

B1X11X12…X1r

因

BXXX

素22122…2r

B

………………

BkXk1Xk2…Xkr

…

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应用统计学

无重复双因素方差分析

•每个总体都服从正态分布:

§对于因子的每一个水平，其观察值是来自正态分布总体的简单随机

样本。

•各个总体的方差必须相同:

§对于各组观察数据，是从具有相同方差的总体中抽取的。

•观察值是独立的。

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应用统计学

无重复双因素方差分析

32

应用统计学

无重复双因素方差分析

由离差平方和与自由度可以计算均方差：

SSA

对因素A而言：MSA

r1

对因素B而言：SSB

MSB

k1

对误差而言：SSE

MSE

(r1)(k1)

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应用统计学

无重复双因素方差分析

误差来源离差平方和自由度均方差F值

A因素SSAr-1MSA=SSA/(r-1)FA=MSA/M

SE

Ｂ因素SSBk-1MSB=SSB/(k-1)FB=MSB/M

SE

误差SSE(r-1)(k-1)MSE=SSE/(r-1)---

(k-1)

合计SSTn-1------

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应用统计学

无重复双因素方差分析

①建立假设

对因素A：

H0：12345,包装方式之间无差别。

1,2,3,4,5

H1：，不全相等,包装方式之间有差别。

对因素B：

H0：12345，地区之间无差别。

H1：1,2,3,4,5，不全相等，地区之间有差别。

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应用统计学

无重复双因素方差分析

335.36

接下来：MSA83.84

51

199.36

MSB49.84

51

346.24

MSE21.64

(51)(51)

MSA83.84

因此F3.87

AMSE21.64

MSB49.84

F2.30

B